Основы ТЕХНОЛОГИИ МАШИНОСТРОЕНИЯ

ПОСТРОЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА

Известно, что технологический процесс, функционирование техно­логической системы подвержены воздействию многочисленных случай­ных факторов. В этом случае на помощь исследователю приходят прие­мы и способы моделирования, основанные на методах теории вероятно­стей и математической статистики. Теория вероятностей изучает случай­ные события, случайные величины и их распределение. Математическая статистика дает информацию, получаемую при конкретных реализациях случайных событий и величин. Если какой-либо процесс описывается тем или иным законом распределения, то математическую запись этого закона распределения уже можно рассматривать как математическую модель данного процесса.

С помощью вероятностно-статистических моделей решаются раз­личного рода задачи проектирования, изготовления и контроля изделий, в частности, при расчетах и исследованиях точности процессов и обору­дования, суммарных погрешностей изготовления изделий, размерных цепей, а также разработке и выборе статистических методов контроля качества изделий.

В технологии машиностроения наиболее часто встречаются вероят­ностно-статистические модели, описываемые следующими законами рас­
пределения: закон Бернулли (биноминальное распределение), закон нор­мального распределения (закон Гаусса), закон Пуассона, закон равной вероятности, закон Симпсона и многие другие и их комбинации.

Распределением Бернулли описываются процессы, которые предпо­лагают условие независимости испытаний при неизменной вероятности р = const появления события при каждом эксперименте или при вероят­ности q = 1 - р того, что событие не состоится.

Тогда вероятность осуществления т успехов в серии из п экспери­ментов

Я„(ш) = От(1-р)

П\

Где с; =----------- :-------- число сочетаний из п элементов по т.

Т\(п - т)\

Это распределение служит математической моделью многих про­цессов, в частности, может описывать ситуацию обработки партии оди­наковых деталей на одном станке.

Закон нормального распределения служит моделью процессов, ре­зультат которых зависит от большого числа независимых факторов при­мерно одного порядка. Такому распределению часто подчиняются про­цессы измерения при автоматическом или близком к нему изготовлении деталей на станках и др.

Функция распределения случайной величины X, подчиняющейся нормальному закону:

ПОСТРОЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА

Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратичное откло­нение описываются так:

М{х} = а, d{x} = ст2; о[лг] = о.

Распределение Пуассона описывает процессы, которые относятся к так называемым редким событиям. Функция распределения случайной величины, подчиняющаяся закону Пуассона, имеет вид

Xl

Это распределение широко используют в теории надежности, в за­дачах, связанных с обслуживанием заявок, поступающих в систему.

Из других законов распределения следует упомянуть распределение по закону равной вероятности. Он моделирует поведение случайных ве­личин, появляющихся при ошибках округления по шкале до ближайшего целого деления, в ошибках электрических синхронных передач ступенча­того типа, в направлении векторных ошибок в механизмах, например, ошибок от эксцентриситетов, перекосов осей и т. д.

Область возможных значений случайной величины, подчиненной закону равной вероятности, определяется от b до с.

С-Ь' ---------

О, х > с.

Плотность вероятности

О, х < Ь\

Ф(х) = <------- , Ь<х<с\

Математическое ожидание, дисперсия и ее среднеквадратическое отклонение:

ПОСТРОЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА

Приведенные выше модели являются простейшими вероятностными моделями распределения одной величины.

Более сложная задача - описание зависимости между двумя величи­нами х и у. Пытаясь построить график зависимости у от х, исследователь поступает следующим образом: задавая значение входа х, он измеряет значение выхода/ Если бы случайные факторы отсутствовали, то выход у получался бы однозначно. Но на самом деле при одном и том же значе­нии х исследователь получит целый ряд выходных значений у (рис. 1.8.29, а). Становится очевидным, что между X и / связь можно оп­ределить, лишь обратившись к методам теории вероятностей и математи­ческой статистики.

Теоретически просто найти кривую / =/(х), если х, у заданы совме­стным распределением вероятностей. Тогда в качестве кривой берется условное математическое ожидание случайной величины у при условии, что величина х приняла определенное значение:

Л/(у|х = х0) = ф(х).

/

Хі Xj К

ПОСТРОЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА

Y

В)

ПОСТРОЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА

Д) е)

Рис. 1.8.29. Точечные диаграммы

Эта функция и будет искомой зависимостью в среднем между у и. v. Уравнение у =f(x) называется уравнением регрессии >> нах.

На практике точный вид распределения почти всегда неизвестен, поэтому вид уравнения у = у(х) также неизвестен. В распоряжении ис­следователя есть лишь некоторый набор наблюдений - "облако" данных (рис, 1.8.29,6). В этом случае поступают так: сначала для различных
входных значений х строят соответствующие точки у, затем при каждом значении х, т. е. по каждой вертикали, усредняют имеющиеся значения у (рис. 1.8.29, в). Эти средние значения и будут аналогом условного матема­тического ожидания выхода по входу; они дают возможность построить приближенно график зависимости Y от X. Затем полученную кривую можно аппроксимировать (приблизить) какой-либо известной функцией, которая и будет математической моделью неизвестного уравнения рег­рессии.

Примером таких математических моделей может служить точечная диаграмма размера обработанных деталей. Так, действие случайных фак­торов и систематического износа режущего инструмента описывается линейной моделью: у = ах + b (рис. 1.8.29, г). Действие нескольких слу­чайных и систематических факторов (рис. 1.8.29, д) можно описать моде­лью, представляющей собой тригонометрическую функцию

У =As\nK\X + BcosK2x + С.

Уравнение регрессии у = f(x) неизвестно и из экспериментального материала его нельзя вывести аналитически. Поэтому исследователь по­ступает следующим образом: по внешнему виду "облака" данных он под­бирает математическую модель - какую-либо аналитическую зависи­мость/ отх, обычно в виде такой зависимости применяется многочлен

Рп{х) = а0 + а\Х + а2х2 + ... + а„х".

В математическом анализе имеется теорема, утверждающая, что любую непрерывную функцию у = <р(х) с любой заданной точностью Т можно описать многочленом р„{х) определенной'степени.

Коэффициенты многочлена выбирают таким образом, чтобы его график как можно ближе, теснее прилегал к экспериментальным точкам. В качестве меры отклонения графика от имеющихся значений обычно берут сумму квадратов отклонений в соответствующих точках х.

Если исследуемая величина / зависит более чем от одного фактора, т. е. / = /(*), ..., х„) является функцией нескольких переменных (факто­ров), то в этом случае для построения уравнения регрессии используют методы планирования эксперимента.

К планированию эксперимента обращаются тогда, когда пренебречь зависимостью / от нескольких факторов, кроме одного, невозможно, не исказив картину процесса. К планированию эксперимента прибегают и тогда, когда необходимо получить какую-либо аналитическую зависи­мость между параметрами процесса, которую нельзя вывести на основе причинно-следственных связей, так как последние неизвестны. К таким задачам можно отнести задачу определения зависимости силы резания от параметров процесса: глубины резания, твердости материала, геометрии режущего инструмента и т. п.; к этой же задаче можно отнести задачу определения периода стойкости инструмента.

Определение коэффициентов уравнения регрессии иначе можно на­звать идентификацией объекта как "черного ящика", функционирование которого описывает это уравнение.

Перечисленные способы, однако, становится трудно применять для идентификации сложных технических объектов, когда зависимость^ от х существенно нелинейна. В этом случае прибегают к методу Монте-Карло или статистических испытаний.

Схема его применения такова. Пусть функция у = f(x) существенно нелинейна (сложна) и отсутствуют удовлетворительные методы решения этой задачи. Датчик случайных чисел дает возможность построить по­следовательность случайных чисел хь х2, ■■■, xN с требуемым законом распределения. С помощью исходной формулы (т. е. проведя экспери­мент), можно получить последовательность значений

У]=/(х,), y2=f(x2),-,yn=f(xN),

Представляющую некоторую случайную последовательность. Проведя достаточно большое число вычислений и обработав последовательность ух, у2,......... > yN, можно с любой заданной точностью определить статисти­ческие свойства случайной величины У и найти интересующий закон распределения. Таким образом, выход "черного ящика" моделируется как случайная величина с определенным законом распределения.

Один из возможных способов применения метода Монте-Карло оптимизация режимов резания при нелинейном критерии оптимизации (например, себестоимость механической обработки изделия). Автомати­зация технологических процессов и управления ими ставит новые задачи, некоторые из них можно решить с помощью метода стохастической ап­проксимации.

Метод стохастической аппроксимации состоит в следующем. С по­мощью датчика случайных чисел определяется ^ = ^ (моделируется слу­чайное возмущение). Для этого ^ = решается неслучайная задача ка­ким-либо методом оптимизации и находится значение управляемого па­раметра х = X]. Далее по новому случайному значению £ = находят х = х2. Вычисляют

Х2 = х, + а[(х2 - Х[).

Этим же способом определяют х = х3 и следующее приближение: Зс3 = Зс2 + а2(х3 - х2) и т. д.

Схема указанной процедуры в общем виде может быть представлена

Так:

Хк + 1 = хк + ak(xk + l ~ хк)>

Где ак - коэффициент; к - номер шага процедуры, которая выполнима при следующих условиях:

А*—>0; 1а4=<ю; 1а* <оо.

Эту процедуру можно изобразить графически (см. рис, 1.8.29, е). Выполняя эту процедуру для каждого заданного значения а, можно смо­делировать зависимость/ от х в среднем.

Метод стохастической аппроксимации универсален. С его помощью можно решать задачи на оптимум. Метод стохастической аппроксимации используют при создании адаптивных систем управления технологиче­ским оборудованием, предназначенных для повышения точности размера.

Особое значение в технологии машиностроения имеет моделирова­ние процессов, параметры и характеристики которых изменяются с тече­нием времени. Сюда можно отнести все процессы механической обра­ботки деталей, временные связи технологических процессов, задачи ак­тивного контроля размеров. Эти задачи и другие, им подобные, решаются с привлечением аппарата теории случайных процессов (случайных функций),

Значения случайного процесса X{t) при каждом t являются случай­ными величинами. Основные характеристики случайного процесса:

- функция A(t) = Mx(t), называемая средним значением случайного процесса;

- корреляционная матрица B{B(tK, /,)}, составленная из значений функции B(s, t) = Лфс(я) - Я(я)][х(/) - А (г)], называемая корреляционной функцией процесса и служит моделью взаимосвязи значений процесса в различные моменты времени.

Каждое значение х(?) случайного процесса, являясь случайной вели­чиной, формально зависит от некоторого элементарного события (исхо­да). Рассматривая случайный процесс при каждом элементарном исходе, мы имеем соответствующую функцию, которая называется реализацией или траекторией или выборочной функцией случайного процесса. Реаль­но наблюдая случайный процесс, фактически можно наблюдать одну из его возможных траекторий. Представим, что имеется некоторая совокуп­ность X всех возможных траекторий и некоторый "механизм случайно­сти" избирает одну из этих функций x(t). Общая теория случайных про­цессов имеет несколько частных теорий: стационарных случайных про­цессов, цепей Маркова, диффузионных процессов. Пользуясь методами теории случайных процессов, можно решать задачи прогнозирования и регулирования.

Широко применяют эту теорию в задачах активного контроля раз­меров. Известно, что погрешности размеров являются результатом со­вместного действия ряда факторов, носящих случайный характер (изна­шивание и затупление режущего инструмента, тепловые и силовые де­формации технологической системы), степень влияния которых на про­цесс механической обработки изменяется в процессе обработки, т. е. с течением времени. При моделировании действия этих факторов исполь­зование аппарата случайных процессов (случайных функций) позволяет получить гораздо больший объем интересующей информации, чем ис­пользование для этой цели лишь одной реализации случайной величины. Теорию случайных процессов применяют также при создании различного рода систем автоматического регулирования, следящих систем.

Основы ТЕХНОЛОГИИ МАШИНОСТРОЕНИЯ

СОСТОЯНИЕ ЭЛЕМЕНТНОЙ БАЗЫ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ МЕХАНОСБОРОЧНОГО ПРОИЗВОДСТВА

ЭБ - это множество связанных между собой элементов технологи­ческих процессов, обрабатывающих и сборочных технологических систем. Связи между элементами возникают из обслуживания изделий тех­нологическими процессами, а последних - технологическими системами. В …

РАЗРАБОТКА ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО МАРШРУТА И ОПЕРАЦИЙ СБОРКИ ИЗДЕЛИЯ

Разработка технологического маршрута сборки изделия начинается с установления последовательности сборочного процесса. В соответствии с делением изделия на сборочные единицы различают общую сборку из­делия и сборку его сборочных единиц. Разработку последовательности …

Разработка технологической операции

Исходными данными для разработки операции являются изготавли­ваемые на операции МП, МПИ, их МТИ, а также МТБ, заготовительные модули, тип станка, такт выпуска, общее количество изготавливаемых деталей и др. В результате …

Как с нами связаться:

Украина:
г.Александрия
тел./факс +38 05235  77193 Бухгалтерия
+38 050 512 11 94 — гл. инженер-менеджер (продажи всего оборудования)

+38 050 457 13 30 — Рашид - продажи новинок
e-mail: msd@msd.com.ua
Схема проезда к производственному офису:
Схема проезда к МСД

Оперативная связь

Укажите свой телефон или адрес эл. почты — наш менеджер перезвонит Вам в удобное для Вас время.