ФИЗИКА ЖИЗНЕННЫХ ПРОЦЕССОВ

ТЕОРИЯ СТАЦИОНАРНОГО МЫШЕЧНОГО СОКРАЩЕНИЯ

Из всего изложенного выше очевидно, что теоретический вы­вод уравнения Хилла должен основываться на рассмотрении внутреннего трения в мышце. Сама форма уравнения Хилла сви­детельствует о том, что оно описывает вязкое течение и не со­держит упругости. Представление о внутреннем трении есте­ственно фигурирует в феноменологической теории Оплатки (см. стр. 238).

Соответствующая теория развита в работах [124] (см. также [ЮЗ]). В этих работах содержались ошибки, не сказывающиеся на конечных результатах, здесь эти ошибки исправлены.

Уравнение Хилла описывает стационарное укорочение мыш­цы. Получим это уравнение, исходя из скользящей модели с тре­нием. Тянущее или толкающее усилие возникает в результате замыкания мостика и следующих за этим событий, состоящих в превращении химической энергии АТФ в энергию конформацион- ной перестройки белковой сократительной системы. Каждый мостик при замыкании развивает напряжение /о. Именно про­цесс замыкания и размыкания мостика и создает трение между перемещающимися нитями. Второй закои Ньютона для такой системы запишется в виде

MV = P'-P-BV, (5.42)

Где М — перемещаемая масса, Р — приложенное напряжение, Р' — развиваемое напряжение, BV — сила трения. В стационар­ных условиях V — 0. Представим Р в виде n0f, где п0 — макси­мальное возможное число работающих мостиков. Мостики рабо­тают асинхронно и при данной нагрузке в данный момент в уко­рочении мышцы участвует лишь некоторое эффективное число мостиков п = wn0, где w 1. Именно эти мостики, замыкаясь, развивают напряжение Р' = nf0 = wnaf0. Тем самым они уже от­ветственны за внутреннее трение, следовательно, В = = $wn0. Величина w зависит от Р, т. е. от /. Получаем для стационарного режима

Wfo—f — = 0, (5.43)

Откуда

Физическое предположение состоит в том, что w = njtiQ непо­средственно зависит от силы /. Зависимость w от v возникает лишь вследствие зависимости силы от скорости. Очевидно, что это предположение независимо от закона сил (5.42), (5.43) и с ним согласуется. Определим вид функции w(f). При максималь­ной нагрузке Ро груз поддерживают все мостики, т. е. n(f0) = = n0w(f0) = n0 и w(f0)= 1. Соответственно согласно уравнению (5.44), при f = fo находим v = 0.

Напротив, при нулевой нагрузке работает минимальное число мостиков «(0) = nQw (0) = «mm и w(0) — «min/fio = г < 1. Макси - мальная скорость укорочения при f = 0 равна

Umax = /о/Э - (5.45)

Сделаем естественное предположение о том, что напряжение, развиваемое мышцей при изометрическом сокращении, или груз, поддерживаемый мышцей при изотоническом сокращении, ли­нейно зависит от числа работающих мостиков, поскольку каж­дый из них развивает постоянное напряжение /.0. Следовательно,

P=n0f = (C + Dn)f0,

При / = /о имеем п = по и п0 — С -f Dn0, при / = 0 получаем п = rtmin 3= ГПо и С = —Drn0. Находим

W = n/n0 = r + (l-r)f/f0. (5.46)

Подставляя это выражение в (5.44), получаем уравнение Хилла в форме

F (т^7 f°+f)=J7^7(h-П. (5-47)

Следовательно, константы а и b имеют вид

« = - Г—ї°> (5-48)

B = T^7J> (5.49)

Опыт дает а » 0,25/о. Следовательно, г/(1 — г) 0,25 и г » 0,2. Из уравнения (5.47) следует, что при f — 0

= (5.50)

Таким образом, уравнение Хилла описывает пластическое тече­ние вещества с внутренним трением, характеризуемым коэффи­циентом р. Следующая задача состоит в истолковании этого коэффициента, т. е. в переходе от феноменологического уравне­ния (5.47) к молекулярному.

Трение определяется всей совокупностью событий, происхо­дящих при замыкании мостиков. Будем рассматривать как эле­ментарный акт замыкание мостика, гидролиз одной молекулы АТФ, конформационное превращение мостика, производство им работы foL, где L — укорочение, производимое мостиком, и раз­мыкание мостика. Обратный микроскопический акт приведет к синтезу одной молекулы АТФ из АДФ и Ф„ и к производству элементарной работы /0L над системой.

Воспользуемся теорией внутреннего трения жидкостей, раз­витой Эйрингом [125]. Изменение состояния системы можно пред­ставить кривой свободной энергии, показанной на рис. 5.21. Здесь 1 — состояние системы до замыкания мостика, 2 — после замыкания и всех последующих событий. Вся совокупность со­бытий, объединенных в рассматриваемый элементарный акт, требует энергии активации. Это очевидно и непосредственно из сильной зависимости b от температуры (см. стр. 230). Приходя­щаяся на мостик внешняя сила, равная Р/п — ti0fln = fjw, пре­пятствует переходу 1-+2 и способствует обратному переходу £->-/• Эта сила направлена вдоль мышечного волокна и, следо­
вательно, под некоторым углом 0 к мостику (рис. 5.22). Тем са­мым на мостик действует сила fcosQ/w, которой отвечает энер­гия fl cos Q/w, где I — длина химической или хелатной связи, сое­диняющей выступ ТММ с активным центром актина.

(5.51)

ТЕОРИЯ СТАЦИОНАРНОГО МЫШЕЧНОГО СОКРАЩЕНИЯ

-fw%9/w

Рис. 5.21. Кривая свободной энергии.

(5.52)

(5.53)

Скорость укорочения представится выражением

И = (v+ — v_) L = vL,

Где v+ и V - — числа элементарных актов перехода через актива - ционный барьер в единицу времени соответственно в направле-

Ниях 1-*2 и 2—(см. рис. 5.21). Ра­счет проводится применительно к од­ному мостику на основе микроскопи­ческой обратимости. Переходы 1-+2 означают укорочение, переходы 2 —* 1

F

ТЕОРИЯ СТАЦИОНАРНОГО МЫШЕЧНОГО СОКРАЩЕНИЯ

ТММ

Рис. 5.22. Схема работающего мостика.

— удлинение системы. Согласно теории Эйринга имеем (см. рис. 5.21)

Кът ( G+ Л Н т ( а_\

Где h — постоянная Планка,

G+ = G + fl cos 0/2w — >/2 ДG, G - = G — fl cos 0/2w + '/2 AG,

T. e.

Fl cos в

2wkBr

■ AG

JW

V = Vj

K „Г = - f-2sh

Определим AG. Мы знаем, что при f = f0 скорость v = 0, т. е. v+ = v_. При этом w = 1. Получаем AG = /У cos 0, и (5.54) при­обретает вид

KnT ґ G \ г /cosG / / \-| v = ехр ( - 2 sh [tj-jt (/о - -) J. (5.55)

Если

(6.56)

(F0-f/®)/cos9 <2/гБГ,

То

/ cos 6

(5.57)

Л

И

(5.58)

/ cos Є / й \ /. f \ IL cos в f О \ /, f \

Мы получили уравнение, аналогичное (5.44). Сравнивая уравне­ния (5.44) и (5.58), находим

(5.59)

(5.60)

(5.61)

Таким образом, |3, b, итах выражены через молекулярные пара­метры fo, I, cos 0, G.

Проведем численные оценки. Прежде всего необходимо убе­диться в справедливости условия (5.56). Напряжение поддержи­вается в каждой половине саркомера. Для портняжной мышцы лягушки число мостиков N в объеме, равном произведению 1 см2 на длину половины саркомера 1,1 мкм, составляет 6,5-1012 [126]. Опыт дает Рц порядка 3 кГ/см2 = 3-Ю6 дин/см2. Один мостик создает силу f0 = P0/N = 4,6- Ю-7 дин. Примем длину связи 1 = 2 А и cos 0 (он меньше единицы) положим равным 0,5. По­лучаем Ы cos 0 = 4,6-Ю-15 эрг = 0,055-2kBT. Условие (5.56) выполнено.

Максимальная скорость укорочения портняжной мышцы ля­гушки при 0 °С VWx равна 1,33Л0/с, где А0 — начальная длина мышцы. В наших расчетах следует взять Ло = 1,1 мкм — поло­вину длины саркомера. Следовательно, итах=1,5 мкм/с и b = 0,4-Ю-5 см/с. Элементарный шаг L имеет значение порядка 100 А. Подставляя в (5.61) значения f0L, cos 9, I, из эксперимен­тально найденной величины итах (или b) находим G = = 14 ккал/моль. При повышении температуры на 10° (с 300 до 310 К) b должно возрастать в 2,14 раза. Опыт дает увеличение в 2,05 раза. Излагаемая теория хорошо объясняет температур­ную зависимость константы Ь.

ТЕОРИЯ СТАЦИОНАРНОГО МЫШЕЧНОГО СОКРАЩЕНИЯ

Ь

ТЕОРИЯ СТАЦИОНАРНОГО МЫШЕЧНОГО СОКРАЩЕНИЯ

(5.62)

Из написанных уравнений следует
т. е. число одновременно работающих мостиков убывает с уве­личением скорости v. Если v = О, то w — 1; если v = ymax = = b(l—r)/r, то w = wmln = г:

= Г = ь+1тах. (5.63)

Естественно, что изложенная теория дает результаты, экви­валентные теории Хаксли — Дещеревского (см. стр. 244). Сопо­ставим формулы. Из уравнений (5.38) и (5.48) следует

(5.64)

Подставляя в уравнение (5.34) стационарное значение т — = nv/Lk2 из (5.35), находим

П = п0 — + Р) п (5.65)

И при п = 0 получаем стационарное отношение п/по = w. При­равнивая его выражению (5.62), получаем

Kii^+^J^vy1 = b/(b + v). (5.66)

Из (5.60), (5.61), (5.64) и (5.66) находим

'.--МгМ-^т^-тч<5'67>

= (5.68)

Таким образом, можно выразить ki и k2 через молекулярные постоянные.

В изложенной теории трение возникает в результате замыка­ния и размыкания мостиков, так как эти процессы требуют энер­гии активации. Коэффициент трения, естественно, оказывается экспоненциально зависящим от температуры. В макроскопиче­ской теории молекулярная модель заменяется формальной мо­делью Хаксли — Дещеревского — мостик либо тянет, либо тор­мозит, хотя в действительности эти явления должны происходить одновременно. Преимущество излагаемой теории состоит в том, что она согласуется с принципом микроскопической обратимости и непосредственно выражает кинетические константы через мо­лекулярные параметры L, cos0, G, fe. Тем самым объясняется температурная зависимость b и, как мы увидим, /0-

В изложенной теории предполагается, что мостики замы­каются независимо друг от друга. Насколько основательно это предположение? Нет ли здесь кооперативности в том смысле, что замыкание одного мостика влияет на замыкание других?

Идея о кооперативных, аллостерических свойствах актина и мио­зина высказывалась не раз.

Введем кооперативность в кинетику действия мостиков, пред­положив, что свободная энергия активации G сама является функцией числа работающих мостиков

G = G0 - wG' = G0 - [г + (1 - г) Ш G'. (5.69)

Характеристическое уравнение получается в виде (b имеет преж­нее значение с G, замененным на G0)

(a + f)v = b ехр ехр [^f-■] (/о - П. (5.70)

При заметных значениях G'/ksT кривая v(f) оказывается вы­пуклой, а не вогнутой. Для согласования с опытом следует предположить, что G' < ЙбТ. В этом случае

(a + f)v*b[l+±j^-(a + f)-Јjr](f0-f), (5.71)

Т. е. кооперативность рассматриваемого типа вносит лишь незна­чительную поправку в уравнение Хилла, чго не представляет особого интереса.

Исходная идея изложенной теории состоит во влиянии внеш­ней силы f на активационный процесс замыкания мостика и кон - формационного превращения белка. В свое время Полиссар предполагал экспоненциальную зависимость скорости некой не­известной реакции, определяющей. сокращение, от внешней силы [127] (см. также [53]). Т. Хилл также вводил сходную экспоненциальную зависимость в своей теории фазового пере­хода в мышце [119]. Эти работы, однако, не давали возможности получить характеристическое уравнение и истолковать его кон­станты. Нельзя считать изложенную теорию молекулярной в ис­тинном смысле слова, так как она не дает реальной молекуляр­ной модели работы мышцы. Построение молекулярной теории невозможно на современном уровне знаний о строении и взаи­модействии мышечных сократительных и регуляторных белков и об их конформационных превращениях. Соответственно за­дачи исследования структуры и свойств этих белков, исследова­ния их поведения в надмолекулярной мышечной системе осо­бенно актуальны.

§ 5.7. ТЕОРИЯ ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МЫШЦЫ

В мышце, рассматриваемой как изолированная система, ра­бота и тепло, выделяемые в элементарном акте, выражаются через уменьшение химической энергии

F0L + q0 Z Иг Ащ, (5.72)

Или, согласно закону сохранения энергии,

AE = TAS + fQL + Zv-i (5.73)

І

Причем TAS — qo - Изменение свободной энергии в рассмотрен­ном элементарном акте составляет, как мы видели, fal cos 0 (см. стр. 249). Имеем

AG — AE — T AS = f0L + Е Ащ = fQl cos Є,

І

Откуда

Z » і

= - Г^ГВ ■ (5-74)

Максимальная сила f0 (и, следовательно, Р0) должна слабо ра­сти с температурой как химический потенциал, т. е. пропорцио­нально абсолютной температуре. Это согласуется с опытом.

Коэффициент полезного действия мышцы, согласно изложен­ной теории, равен

FoL + % L n« Д",

І

Если бы выполнялся закон сохранения энергии (5.73), то

1 - (l/L) cos Є '

1

QQ = T\S = - f0l cos9, п'

При cos0>O получаем ц' > 1, т. е. мы приходим к противо­речию.

Как мы видели, проблема теплопродукции мышцы не проста (см. § 5.4). Она не может быть решена на основе столь про­стых соображений. Необходимо учесть запасание энергии и раз­личные способы ее выделения. Соответствующая модельная тео­рия предложена в работе [66]. Авторы этой работы считают, что энергия, освобождаемая при сокращении мышцы, должна сла­гаться из запасенной энергии, диссипируемой в центрах одного типа, и энергии, получаемой за счет распада АТФ в центрах дру­гого типа. Теплота укорочения получается из диссипированной энергии. Предполагается, тем самым, что в двух типах центров действуют две различные актомиозиновые АТФ-азы. Факты, свидетельствующие в пользу такого предположения, состоят в следующем.

1. Центры Р и S, связывающие две молекулы АТФ (или АДФ), находятся в головках миозина [128]; в Р-центре лими­тирующая стадия для Mg-зависимой АТФ-азы есть отделение
продукта, т. е. АДФ и Фн от миозина [129], в S-центре лимити­рующая стадия есть гидролиз АТФ [55].

Актин активирует гидролиз АТФ в S-центре миозина.

Реакция Р-центра с АТФ необходима для сокращения.

Актин ускоряет освобождение продукта Р-центрами [129].

Энергия запасается в комплексе миозин — продукт. Факты, свидетельствующие об этом, приведены в работе [66]. И, на­конец,

При контакте с актином в присутствии АТФ миозин не образует «комплекса окоченения» (rigor complex) с актином, т. е. миозин всегда нагружен продуктом и (или) субстратом.

Из этих шести положений и из предположений, приведенных на стр. 237, следует модель работы актомиозиновой АТФ-азы [66]:

Быстро -„ X

М + АТФ »- М —>• М + АДФ + Ф„, (I)

М + АТФ + FA М • (АТФ) • FA М + FA + АДФ + Ф„ + G, (II)

H ~

>-М + РА + АТФ + 02. (III)

Здесь М — миозин, М—комплекс миозин — продукт, т. е. комп­лекс М-АДФ-Фн, запасающий энергию, FA — F-актин, G\— сво­бодная энергия, выделяющаяся при гидролизе одной молекулы АТФ, Gi — энергия, выделяемая М, т—время жизни запасенной энергии, /о, /ь І2 — реакционные потоки (скорости реакций).

Процесс (I) представляет реакции в Р-центре. Энергия, за­пасенная в комплексе М, выделяется в процессах (II) или (III). При исчерпании запасенной энергии комплекс М освобождает АДФ и Фн и затем вновь реагирует с АТФ и запасает энергию. Процессы (II) и (III) происходят при сокращении мышцы, в Р-центре. АТФ-аза катализирует гидролиз АТФ в S-центре, ис­пользуя часть запасенной энергии, генерируемой в Р-центре. Это — своеобразная аллостерическая система.

Изменение свободной энергии в единицу времени в процес­сах (II) и (III) равно

- G = AGj + J2G2. (5.76)

В стационарном режиме

/0 = /1 + /2. (5.77)

Поток /1 выражает скорость гидролиза АТФ в S-центре. Он ра­вен произведению числа комбинаций актин — миозин, создаю­щих напряжение (числа работающих мостиков), на число оборо­тов реакции (II). Первый сомножитель пропорционален нагрузке

Р, второй линейно зависит от скорости укорочения V. Поэтому

H = P(KiV+ K^ = KiPV + K2P, (5.78)

Где К і и К.2 — константы. Перепишем (5.76) в виде

- G = /0G, - /2 (G, - G2) (5.79)

И предположим, что поток /2 линейно зависит от «сродства» А = Gj — G2 и нагрузки

—/2 = с, Л + с2Р. (5.80)

Наконец, пусть скорость укорочения линейно зависит от тех же величин

— V = c3A + с4Р. (5.81)

Из соотношений (5.77), (5.78), (5.80) и (5.81) следует уравнение Хилла в форме

Определим коэффициенты Cj. При Р — 0 имеем V = Fmax, А = Лт, /2 = /о и

= = (5.83)

Am Am

При P = P0 имеем l/=0, A = A0 и

С4=-Сз (5<84)

C2 = /e2+ r "(5.85)

Подставляя эти значения ct в (5.82), находим

(г> і ^ ir Л

Т. е. снова получаем уравнение Хилла, в котором

А =/„//Climax, b = Jq/KiPo - (5.87)

Одновременно имеем

А=-^А0 + ^-Ат. (5.88)

Го V шах

При выводе уравнения Хилла сократились все члены, содержав­шие К2 и значения «сродства» А0 и Лт при нулевой и максималь­ной скорости укорочения. Сопоставление с теорией, изложенной в § 5.6, показывает, что в расчете на один мостик

, ь fal cos 0 г / G \ ,е 0„,

= Т-= —Г~ 7=7 ехР(~ Т^г ) (5-89>

И

Ki = (f0L)~l, (5.90)

Т. е. уравнение (5.78) имеет вид

H = + (5-91)

Считая, что энтальпия гидролиза АТФ примерно равна соот­ветствующей свободной энергии [58], находим количество тепла, выделяемое в единицу времени

Q = - G-PV =/,G, + J2G2-PV. (5.92)

При Р = Р0 и V7 = 0 имеем

Qo = KibPo [G, - А0 (1 - Ki/KM - (5.93)

По определению скорость выделения тепла укорочения равна

Q-Q0 = aV. (5.94)

Из приведенных формул и уравнения Хилла получим

Где х = Р/Р0.

Для нахождения Лт и Л0 это сложное уравнение приравни­вается выражению (5.27) а/Ро = 0,16 0,18 х при х = 0 и х = 0,5. В области 0 < х < 0,5 получается хорошее согласие с результатами Хилла. То же относится к полной скорости выде­ления энергии. Эффективность мышцы (как функции х) , , ч PV Ь х (1-х)

Вычисленная на основании излагаемой теории, хорошо согла­суется с найденной Хиллом (рис. 5 23).

Из экспериментальных данных следует, чго Gu т. е. измене­ние свободной энергии при гидролизе одной молекулы АТФ есть величина порядка 10 ккал/моль.

Скорость выделения энергии

Е = — G = J0G| /2G2. За время At выделяется энергия

At At

(5.79)

AE = ^Gl (KiPV + K2P) dt + J J2G2 dt =

At

At

At

= G,/Ci J PV dt+ G^Kn J Pdt + J /2G2 dt & 0 0 0

А работы + А тепла. (5.97)

Процессу (III) отвечает последний интеграл в правой части. Тепло выделяется как в процессе (II), так и в (III). При Р == 0 остается лишь последний член — диссипирует запасенная энергия. При изометрическом сокращении j| V = 0, т. е. за выделенное тепло 1 W ответственны два интеграла. Чем g больше скорость укорочения, тем больше энергии превращается в тепло и тем меньше вклад процесса (II). Не имеет смысла разделять Ц.^ теплоту на теплоту укорочения и ^ теплоту поддержания. д

Химические изменения за то же время выражаются формулой

— АГАТФ1 ~К\А работы + Рис. 5.23. Зависимость эффек-

1 ' 1 г тивности мышцы от нагрузки.

S

, Сплошная линия получена теорети-

Р dt -)- \ j dt (5.98) чески [66]. пунктирная найдена на

TOC \o "1-3" \h \z о о

Где / « 0 при At < т, так как предполагается, что энергия за­пасена в комплексе М до начала сокращения. Этим изменениям соответствует энергия

ТЕОРИЯ СТАЦИОНАРНОГО МЫШЕЧНОГО СОКРАЩЕНИЯ

At At

G, (- А АТФ) = alKlА работы + QXK2 j Р dt + G, J / dt. (5.99)

Кажущееся нарушение баланса между выделившимся теплом и химическим превращением определяется тем, что

At At

J J2G2dt>G^ jdt.

9 М, В. Волькенштейн

Разность этих двух интегралов равна заранее запасенной энер­гии. Время жизни запасенной энергии

_ запасенная энергия

Т— Та '

Так как /2<32 есть скорость освобождения запасенной энергии. Численные оценки дают 0,2 c<t<0,9 с в интервале Vmai ^ > V 3-s 0, т. е. 0 < Р < Р0.

В опытах, проводимых за время, меньшее 0,2 с, / «* 0 н не наблюдается соответствия между химическим превращением и выделившимся теплом.

Теория, предложенная в работе [66], хорошо объясняет основ­ные факты, относящиеся к теплопродукции мышцы. Однако эта теория основана на модели, хотя и хорошо аргументированной, но все же содержащей ряд постулативных положений. Подлин­ный молекулярный механизм процесса остается неизвестным. Путь к его познанию идет через детальное изучение строения и свойств мышечных белков.

ФИЗИКА ЖИЗНЕННЫХ ПРОЦЕССОВ

АВТОКАТАЛИТИЧЕСКИЕ ХИМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

В биологии особое значение имеют автокаталитические хи­мические системы. Достаточно указать, что авторепродукция КДеток и организмов эквивалентна автокатализу. Вернемся сначала к феноменологическому термодинамиче­скому рассмотрению. Как мы видели, для химических процессов критерий …

ПРОИСХОЖДЕНИЕ ЖИЗНИ

Неотъемлемой особенностью биологических объектов — кле­ток и организмов — является их историчность, т. е. возникнове­ние и развитие изучаемой системы в конечном интервале вре­мени. Развитие биологической системы всегда необратимо, и в …

ЭЛЕКТРОННО-КОНФОРМАЦИОННЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

Самые общие соображения показывают, что перенос элек­трона, сдвиг электронной плотности в конденсированной ср. еде должны сопровождаться изменениями положений атомов, атом­ных ядер среды. Все степени свободы молекулярной системы, т. е. системы, …

Как с нами связаться:

Украина:
г.Александрия
тел./факс +38 05235  77193 Бухгалтерия
+38 050 512 11 94 — гл. инженер-менеджер (продажи всего оборудования)

+38 050 457 13 30 — Рашид - продажи новинок
e-mail: msd@inbox.ru
msd@msd.com.ua
Схема проезда к производственному офису:
Схема проезда к МСД

Оперативная связь

Укажите свой телефон или адрес эл. почты — наш менеджер перезвонит Вам в удобное для Вас время.