Теплонспользующие установки промышленных предприятий

Планы второго порядка

Двухуровневое планирование эксперимента с ис­пользованием матриц полнофакторного или дробнофакторного эксперимента позволяет при минимальном объеме эксперимента получить линейное уравнение регрессии (функции цели).

Методы планирования предполагают не только минимизацию объема эксперимента, но и отыскание оптимума (экстремума) функции цели. В таком случае уравнение регрессии должно аппроксимироваться полиномом второго порядка вида

У = Ро + Е № + Е Р//ВД + & (15.6)

1=1 , /—1 I—!

Для определения коэффициентов регрессии в уравнении (15.6) двухуровневые факторные эксперименты не пригодны, так как вектор-столбцы X* и Х в матрице планирования неразличимы. Поэтому для построения полинома второй степени необходимо варьирование факторов хотя бы на трех уровнях.

Двухуровневый эксперимент и линейную форму уравнения регрессии целесообразно использовать при отыскании подобла­сти экстремума (оптимума) функции цели. Переход к трех­уровневому эксперименту и квадратичной форме уравнения регрессии следует осуществлять лишь после установления не­адекватности линейной функции связи в подобласти экстре­мум а.

Согласно результатам исследований [58] наиболее рацио­нальным является центральное композиционное планирование. Центральный композиционный план второго порядка получают достройкой некоторого количества точек к ядру линейного двух­уровневого эксперимента. Если количество факторов /г менее пяти, за ядро плана принимают полнофакторный план экспери­мента типа 2*, если же более пяти — то полуреплику от ПФЭ типа 2*. Такой выбор ядра обусловлен тем, что от ядра требу­ется раздельная оценка всех линейных эффектов и парных эф­фектов взаимодействий.

Для трех факторов схема центрального композиционного плана второго порядка изображена на рис. 15.2. Чтобы полу­чить центральный композиционный план второго порядка для трех факторов, к полнофакторному эксперименту 23 добавляют шесть «звездных» точек с коэффициентами (/, 0, 0); (—I, 0, 0); (0, I, 0); (0, —/, 0); (0, 0, I); (0, 0, —/) и некоторое число п0 точек в центре плана. Центральный композиционный план для трех факторов можно представить матрицей вида (табл. 15.8).

15.8. Матрица центрального композиционного плана вто­рого порядка для трех факторов

Содержание

Плана

Х.

Х,

X,

X,

Х, хг

ХаХя

Х2

У 2

Лз

У

План типа

1

+ 1

+ 1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

У1

28

2

+ 1

— 1

+1

+1

—1

—1

+1

4-і

+1

+1

У*

3

+ 1

+ 1

—1

+1

—1

+1

—1

+1

+1

У*

4

+ 1

—1

—1

+1

+1

—1

—1

+1

+1

У4

5

+ 1'

+ 1

+1

—1

+1

—1

—1

+1

+1

Уш

6

+ 1

— 1

+1

—1

—1

+1

—1

+1

4-1

+1

Ун

7

+1

—1

-1

—1

—I

+1

+1

+1

+1

У7

8

+ 1

— 1

—1

—1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

У*

«Звездные»

9

+

0

0

0

0

0

0

' 0

У>

То чки

10

+

0

0

0

0

0

И

И

У го

11

+

0

0

0

0

0

С

И

Уи

12

+

0

0

0

0

0

0

И

^12

13

+

0

0

0

0

0

0

0

Ущ

14

+

0

0

0

0

0

0

0

У и

Нулевая

15

+

П

0

0

0

0

0

0

0

0

V

Точка

Ортогонализация матрицы планирования осуществляется преобразованием квадратичных членов X? новой переменной х[

N

Х = Х]-!-=^- = Х*-ХТ2: (15.7)

После замены Х на X,- сумма построчных произведений столбцов

2 Ха, Х'ц = 2 X?/ — АГХГ2 - 0. (15.8)

/=| =і

Так, в матрице центрального композиционного плана (см. таблицу 15.8) получим

Е Хо, Хи = 2 х0,{хЬ-хт2) = Е *?/- 15ХГ2 - 1=1 /=1 ,=|

= 8 + 21»_к£±иЭ = О.

Аналогично находим для переменных Хг и Хз. Ортогонализация соотношения

ЕХ?/Хи, Ф0 (I Ф и, I, и= 1, 2, к) (15.10)

/=!

Достигается выбором звездного плеча I (табл. 15.9).

Количест­во факто­ров

Ядро

Плана

Количест­во допол­нительных опытов

«Звездное» плечо 1

2

5

1,000

3

7

1.215

4

24

9

1.414

5

25—1

11

1.547

15.9. Значения звездного плеча I, вычис - (діОі'І) ленные для различного числа факторов

1-1,0,01 •*

(0, -1,0)

подпись: (0, -1,0)

Рис. 15.2. Схема центрального компо­зиционного плана второго порядка для трех факторов

подпись: рис. 15.2. схема центрального композиционного плана второго порядка для трех факторов Планы второго порядка

Если ортогональность выбрать за достаточный критерий опти­мальности плана, то на число опытов в центре плана не накла­дывается никаких ограничений и /г = 1.

Подставляя I = 1,215 в уравнение (15.9) и в аналогичные для Хч. и Х3, получаем ортогональный центральный композиционный план второго порядка для трех факторов в виде матрицы (табл. 15.10).

Ортогональность, однако, не есть [58] достаточно сильный критерий оптимизации композиционного плана второго порядка. Наиболее эффективно использование центральных композици­онных планов, отвечающих требованию ротатабельности, т. е. планов, позволяющих получать модель, способную предсказы­вать значения параметров оптимизации с одинаковой точностью независимо от направления на равных расстояниях от центра плана.

Содержание

Плана

ЛЬ

Пп.

*0

*1

*2

*3

Х, Х2

*2*3

*1*3

*1 - 0.73

А:|—о,7з

Х£_о,73

У

План 23

1

+ 1

+1

+ 1

+ 1

+ 1

+1

+1

+0.27

+0,27

4-0,27

Ух

2

+ 1

-1

+ 1

+ 1

—1

+1

—1

+0.27

+0,27

+0,27

У 2

3

+ 1

— 1

+ 1

—1

—1

+1

+0,27

+0,27

+0.27

Уг

4

+ 1

—1

— 1

+ 1

+ 1

—1

—1

+0,27

+0,27

+0,27

У*

5

+ 1

+ 1

+ 1

—1

+ 1

—1

—1.

+0,27

+0.27

+0,27

Уь

6

+1

— 1

+ 1

— 1

— 1

—1

+1

+0,27

+0.27

+0,27

У6

7

+ 1

+ 1

—1

—1

+1

—1

+0,27

+0.27

+0,27

У 7

8

+ 1

—1

— 1

— 1

+ 1

+1

+1

+0,27

+0,27

+0,27

Уа

«Звездные»

9

+ 1.

+ 1,215

0

0

0

0

0

+0,746

—0,73

—0,73

У9

Точки /= 1,215

10

+ 1

—1.215

0

0

0

0

0

+0,746

—0,73

—0.73

У10

11

+ 1

0

+ 1.215

0

0

0

0

—0,73

+0,746

—0.73

У XX

12

+ 1

0

— 1.215

0

0

0

0

—0.73

+0,746

—0,73

У12

13

+ 1

0

0

+1,215

0

0

0

—0,73

—0.73

+0.746

Ух 3

14

+ 1

0

0

—1.215

0

0

0

—0,73

—0.73

+0,746

Уи

Нулевая

Точка

15

+ 1

0

0

0

0

0

0

—0,73

—0,73

—0.73

Ухъ

327

Ротатабельность достигается выбором значения «звездного»

Плеча для ядра, содержащего полный факторный эксперимент, из к

Соотношения 1 = 24 (15.11), а для ядра, содержащего дробную

К—р

Реплику,— из соотношения / = 2 4 (15.12). Для ротатабельного планирования второго порядка важное значение имеет выбор

Числа опытов в центре плана, так как оно определяет характер

Распределения получаемой информации о поверхности отклика (уравнении регрессии). Число опытов в центре плана выбирается так, чтобы обеспечить так называемое униформпланирование. Униформпланирование возможно, если

} _ й (пс + По) /.г 104

* - (Г+2К • (15ЛЗ)

Где п:, — количество опытов в центре плана; пс = N — п0; N — общее количество опытов; к — число факторов. Необходимо, чтобы X было немного меньше единицы (табл. 15.11).

15.11. Данные для построения матриц, центрального компо­зиционного ротатабельного планирования второго порядка

Количество факторов к

Ядро

Плана

Количество точек ядра пя

Количество «звездных» точек П[

Количество нулевых то­чек и0

«Звездное» плечо 1

Общее ко­личество опытов N

2.

21

4

4

5

1.414

13

3

23

8

6

6

1.682

20

4

24

8

7

2,0

31

■5

23

32

10

10

2,378

52

5

2Г)-|

16

10

6

2.0

32

6

26

04

12

15

2,828

91

6

2«-1

32

12

9

2,378

53

7

27

128

14

21

3,363

163

7

2?-1

04

14

14

2.828

92

Коэффициенты уравнения регрессии определяем, используя известные выкладки 158]:

2Цк +2) £ -2 ХС 2 £ Ху У;

(15.14)

(15.15)

(15.16)

подпись: (15.14)
(15.15)
(15.16)
Ьо =

N

/=1

подпись: /=1£=1 1=1

&. = -£-£ ХцУп

Л /■= I

Г2 N

Ь, и = дД X, ХчХщУг,

Ьи = - ы - |с2 [(/г + 2) X - к £ Х2ЦУ, +

+ С* (1-Х) І £ ХїіУ і —2С £ У,, (15.17)

(=1 /=1 •=!

Где

Теплонспользующие установки промышленных предприятий

Составление математической модели

Математическая модель должна с достато­чной точностью описывать определенные свойства объекта ис­следования. В настоящее время используются следующие ме­тоды получения математических моделей: теоретико-аналитиче­ский, экспериментально-статистический, статистического моде­лирования (Монте-Карло). Применение того или иного метода …

Выбор функцйи цели — критерия оптимизации

Подчеркнем еще раз, что проблема оптимиза­ции возникает в тех случаях, когда необходимо решать компро­миссную задачу улучшения двух и более характеристик, различ­ным образом влияющих на процесс. Поэтому при выборе критериев оптимальности …

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ ТЕПЛОИСПОЛЬЗУЮЩИХ УСТАНОВОК И АППАРАТОВ

Любая теплоиспользующая установка или систе­ма многовариантна. Выбор наилучшего варианта требует выяв­ления прежде всего критерия или критериев оптимальности, эффективности или функции цели. Параметры, позволяющие реализовать различные варианты, назовем управляющими воз­действиями, или …

Как с нами связаться:

Украина:
г.Александрия
тел./факс +38 05235  77193 Бухгалтерия
+38 050 512 11 94 — гл. инженер-менеджер (продажи всего оборудования)

+38 050 457 13 30 — Рашид - продажи новинок
e-mail: msd@msd.com.ua
Схема проезда к производственному офису:
Схема проезда к МСД

Оперативная связь

Укажите свой телефон или адрес эл. почты — наш менеджер перезвонит Вам в удобное для Вас время.