ТЕОРИЯ сварочных процессов

Дифференциальное уравнение теплопроводности

Дифференциальное уравнение теплопроводности

X

x+dx

ч

д Ч2(х-и1х)

F

X

%2х

dx

II

Рис. 5.9. Накопление теплоты в элементе Fdx при линейном рас­пространении теплоты

Закон теплопроводности, дока­занный в п. 5.I, устанавливает связь между теплопроводностью металла, градиентом температуры и тепловым потоком. Для вычисления темпера­туры точек тела необходимо не только установить тепловой поток, проходящий через рассматриваемое сечение, но и определить количество теплоты, которое поступает в неко­торый элементарный объем тела, а также уходит из этого объема.

Если количество теплоты в этом объеме увеличивается, то температура его повышается, и наобо­рот. Сложный процесс изменения температуры точек тела с коор­динатами х, у, z во времени t описывается дифференциальным уравнением теплопроводности.

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности рас­смотрим на примере линейного распространения теплоты в стержне (рис. 5.9). Вследствие наличия градиента температуры теплота в стержне с сечением F на рассматриваемом участке будет рас­пространяться слева направо.

Согласно закону Фурье, удельный тепловой поток в каждом сечении

qix— — ХдТ/дх. (5.24)

Приращение удельного теплового потока dq2x на длине dx составит

d4ix=-^rdx= — dx. (5.25)

Это означает, что слева через сечение / — /, где градиент температуры несколько выше, входит больше теплоты, чем выхо­дит через сечение 11 —11, где градиент ■ температуры меньше. За время dt в элементарном объеме Fdx накапливается количество теплоты

dQx= qixd tF — q2(x + ix)dtF = — dq2xFdt.

Однако через боковую поверхность стержня за время dt часть теплоты отдается в окружающее пространство

dQp= q2ppdxdt, (5.26)

где q2p = alT — Тс) —удельный тепловой поток с поверхности стержня (см. п. 5.2); р — периметр стержня.

Суммарное количество теплоты, которое накапливается в эле­ментарном объеме, составит

dQi =dQx — dQp. (5.27)

Теплота dQi повышает температуру элементарного объема с теплоемкостью ср на dT = (dT/dt)dt:

dQi = cpFdx(dT/dt) dt. (5.28)

Приравнивая варажения (5.27) и (5.28), а также используя уравнение (5.25) и (5.26), находим

cpFdT/dt = XF{d2T/dx2) - ар{Т-Тс). (5.29)

Сокращая, получим частный случай дифференциального урав­нения теплопроводности для стержня:

dT/dt = [X/(cp)} (д2Т/дх2)-Ь(Т-Тс), (5.30)

где b = ap/(cpF) — коэффициент температуроотдачи для стержня (по аналогии с пластиной).

Если рассматривать элементарный кубик в пластине, то, кроме потока в направлень і х, в уравнении (5.27) следует учесть влияние теплового потока в направлении у. Тогда получим дифференци­альное уравнение теплопроводности для пластины

l=i(5-+ <53»

В общем случае трехмерного тела при отсутствии теплообмена с окружающим пространством общее уравнение теплопроводности имеет вид

дт_ X ( д2Т, cFT, <Э2Л _ у2г

dt ср дх2 ду‘ д г v ’ (5.32)

где V2T — оператор Лапласа; а — Х/{ср) — коэффициент темпера­туропроводности, см2/с.

В дифференциальных уравнениях (5.30)...(5.32) Т означает температуру или приращение температуры в точке равномерно нагретого тела. Если начальная температура тела равномерна и равна Ти, то полное значение температуры Т равно АТ--Ти, где АТ — приращение температуры.

Решения уравнений (5.30)... (5.32) дают разнообразные случаи распределения температуры в телах. При выводе указанных уравнений предполагалось, что коэффициенты X, ср, а и а постоян­ны. Учет зависимости этих коэффициентов от температуры приво­дит к нелинейным дифференциальным уравнениями, что чрезвы­чайно усложняет получение решения аналитическими методами. Для технических целей в ряде случаев точность решения оказы­вается достаточной, если выбирать средние значения коэффициен­тов X, ср, а и а в диапазоне температур, характерном для рассмат­риваемого процесса. Судить о том, насколько удачно выбраны постоянные коэффициенты, можно на основании сравнения опыт­ных и расчетных значений температур. Значения коэффициентов для расчетов температур при сварке сталей и других материалов рекомендуется выбирать по табл. 5.1.

Материал

Коэффициент теплопровод­ности, Вт/(см - К)

Объемная

теплоемкость

со.

Дж/(см3- К)

Коэффициент температуро­проводности а, см2/с

Низкоуглеродистые и низко­

0,38...0,42

4,9...5,2

0,075...0,09

легированные стали

Коррозионно-стойкие аусте-

0,25...0,33

4,7...4,8

0,053...0,07

нитные стали

Медь

3,7...3,8

3,85...4,0

0,95...0,96

Латунь

1,17

3,45

0,34

Алюминий

2,7

2,7

1,0

Технический титан

0,17

2,8

0,06

ТЕОРИЯ сварочных процессов

Граничные условия

Чтобы решить дифференциальное уравнение теплопроводно­сти, необходимо задать распределение температур в начальный момент времени (начальное условие) и условия взаимодействия тела с окружающей средой на его границах (граничные условия). Начальное условие определяется …

Основные допущения и упрощения, принятые в классической теории распространения теплоты при сварке

На современном уровне развития математики аналитическое решение уравнения теплопроводности в общем виде (5.21) еще не найдено, однако при введении некоторых допущений и упрощений можно получить пригодные для практического использования ча­стные …

Дифференциальное уравнение теплопроводности

Сложный процесс изменения температуры точек тела с коор­динатами jc, у, z во времени t описывается дифференциальным уравнением теплопроводности. Для вывода этого уравнения необ­ходимо рассмотреть баланс теплоты в некотором элементарном объеме …

Как с нами связаться:

Украина:
г.Александрия
тел./факс +38 05235  77193 Бухгалтерия
+38 050 512 11 94 — гл. инженер-менеджер (продажи всего оборудования)

+38 050 457 13 30 — Рашид - продажи новинок
e-mail: msd@msd.com.ua
Схема проезда к производственному офису:
Схема проезда к МСД

Оперативная связь

Укажите свой телефон или адрес эл. почты — наш менеджер перезвонит Вам в удобное для Вас время.