СВАРОЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ И НАПРЯЖЕНИЯ

ИЗОТЕРМИЧЕСКИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ Области упругих и упруго-пластических деформаций

Рассмотрим сначала упруго-пластические деформации одно­родного начально изотропного тела, вызываемые в его точках внешними силами, при нормальных температурных условиях. В простейших случаях (растяжение, сжатие, сдвиг) верхней гра­ницей области чисто упругих деформаций (нижней границей области упруго-пластических деформаций) для материалов, диа­граммы ог, ег и т, у которых имеют площадку текучести, является начальная точка площадки текучести. Для материалов, диаграммы ог, е, и т, у которых не имеют площадки текучести, за нижнюю границу области упруго-пластических деформаций условно при­нимают ту точку диаграммы ог, ег, где пластическая часть отно­сительного удлинения имеет заданное значение. Обычно за эту границу принимают ту точку диаграммы, где остаточное относи­тельное удлинение достигает значения es0 = 0,2%. Величина es0 называется техническим допуском на пластическую деформацию на условной границе текучести, и этот допуск удовлетворяет основ­ным требованиям современной техники. Однако за последние годы появился ряд работ по экспериментальному исследованию границ текучести при весьма малых допусках, например 0,01%. Этот допуск меньше полуширины петли гистерезиса стали и его при­менение может привести к недоразумениям [117]. Опыт показы­вает, что [117] в случае плоского напряженного состояния начальная граница текучести изотропного материала вполне удов­летворительно описывается эллипсом Мизеса. Если ог и о2 — главные напряжения при плоском напряженном состоянии, а„ — предел текучести для такого материала при простом растяжении или сжатии, то уравнением указанной границы текучести будет

<71 — <7102 + <72 = 0^,

так что в области, где

условно, в пределах принятого допуска, будут иметь место чисто упругие деформации, а в области, где

о — С&2 + С2 Os, (4.3)

будут иметь место упруго-пластические деформации.

В случае объемного напряженного состояния, характеризуе­мого главными напряжениями Ох >а2 > стз. за поверхность текучести изотропного материала, обобщая результаты опытов по линейному и плоскому напряженным состояниям, принимают эллипсоид Мизеса:

о + о! + о! — ощ 2 — а2а3 — a3Oi = о[3], (4.4)

или

(а — с2)2 + (а-2 — с3)2 + (а3 — ai)2 = 2а2. (4.5)

Левые части уравнений (4.1) и (4.4) равны квадрату интенсив­ности напряжений а і [44, 117] и с точностью до постоянного мно­жителя представляют второй инвариант девиатора напряжений Л [49]. Отсюда следует, что граница текучести изотропного мате­риала не зависит от среднего нормального напряжения о и от третьего инварианта девиатора напряжений J3. Первый из этих факторов, т. е. несущественность влияния среднего нормального напряжения на границу текучести изотропного материала, был подтвержден опытами Бриджмена [12]. При малых пластических деформациях приближенно можно принять, что третий инвариант девиатора напряжений J3 не оказывает влияния на границу те­кучести начально изотропного материала [117]. При этом, если во всех точках некоторой области тела имеет место неравенство

(ci — a2)2 - f (a2 — a3)2 + (о3 — ax)2 < 2a2, (4.6)

то во всей этой области деформации будут упругими и останутся справедливыми все основные уравнения теории упругости. Если же в точках некоторой другой области тела имеет место соотно­шение

(ai — a2) + (a2 — a3)2 + (a3 — at)2 ^ 2a2 (4.7)

в процессе нагружения, когда doi >0, то в этих точках дефор­

мации будут упруго-пластическими. При dot < 0 будет проис­ходить разгрузка по закону Гука.

Если материал в упруго-пластической области обладает не­значительным упрочнением и это упрочнение в процессе пласти­ческих деформаций можно не учитывать, принимая схему идеаль­ной текучести Прандтля, то получим условие текучести Мизеса *

(ах — а2)2 + (а2 — а3)2 + (а3 — ах)2 = 2а2. (4.8)

Независимо от наличия или отсутствия упрочнения в упруго­пластической области останутся справедливыми уравнения рав­новесия, уравнения совместности деформаций и граничные усло­вия, если часть границы указанной области совпадает с соответ­ствующей частью граничной поверхности тела, а на остальной части ее границы должны быть выполнены условия непрерывности напряжений и деформаций на поверхности раздела упругой и упруго-пластической областей. Для получения полной системы уравнений для упруго-пластической области необходимо уста­новить закон связи между напряжениями и деформациями в этой области.

Связь между напряжениями и деформациями в уируго-пластической области

Необходимо различать случаи простого и сложного нагруже­ния [44]. Нагружение называется простым, если все составля­ющие тензора напряжений в процессе нагружения возрастают пропорционально одному и тому же параметру, например вре­мени. При простом нагружении остается справедливой как теория малых упруго-пластических деформаций [44], так и теория те­чения [49, 129]. При сложном нагружении, когда в пространстве напряжений путь нагружения резко изменяет направление, теория малых упруго-пластических деформаций не дает удовле­творительных результатов.

Теория малых упруго-пластических деформаций. При простом нагружении начально изотропного материала справедливы сле­дующие положения.

1. Среднее относительное удлинение, равное относительному изменению объема, пропорционально среднему нормальному на­пряжению

е = Ко, (4.9)

где

'=-5-е+ * + *>:) (4.10)

О = - з>1 + с2 + а3)|

К =--* - — модуль объемной деформации; Е — модуль

упругости; еъ ег, е3 — главные деформации. Как показывает опыт, при пластических деформациях коэффициент Пуассона

р = 0,5 и в соответствии с (4.9) имеем е = 0, т. е. изменение объема

имеет место только в области упругих деформаций, а в пластиче­ской области *, где |х *=» 0,5, оно практически отсутствует.

* В пластической области для стали р достигает значения 0,5 при относитель­ном удлинении ег = 0,8-н 0,9% [117].

5 Г. Б. Талыпов

2тj. , Ті

■0 = -^ТЛеуу — е) Гуг = ^гУуг,

2 Ті . . тс

-0 = ^r(ezz — е); Тгх=—У;х-

Отсюда, введя обозначение

(4.16)

получим соотношения Генки [49] для несжимаемого материала (е = 0):

?хх = ~c7f №®хх Qyy ®zz)> Уху — ~Q А{/>

6G

'Ф/п . Ф т

еуу—1 QQ ЦУ °гг ахх)> Тyz Q A/z>

Аг = CG (^Аг ®хх 0„), YZJ; Ал

где ф — подлежащая определению скалярная функция инва­риантов тензоров напряжений и деформаций. Так как сумма левых трех уравнений (4.15) или (4.17) дает тождество, то для определения шести неизвестных составляющих тензора напря­жений (или деформаций) вместе с (4.9) имеем всего пять урав­нений. Недостающее уравнение определяется законом активной
упруго-пластической деформации, сформулированным в следу­ющем пункте.

3. Интенсивность касательных напряжений является вполне определенной для данного материала функцией интенсивности деформаций сдвига ус, не зависящей от характера напряженного состояния, т. е.

Д = Ф Ы - (4.18)

Эта кривая для данного материала может быть получена по его диаграмме простого растяжения или кручения тонкостенной трубы. Имея соотношения (4.15), (4.18), можно составить урав­нения упруго-пластического равновесия или в смещениях (ана­логичные уравнениям Ламе) или в напряжениях (аналогичные уравнениям Бельтрами—Митчеля). Эти уравнения не выписы­ваются ввиду их сложности. В конкретных случаях эти уравне­ния могут быть составлены непосредственно. В силу нелинейности уравнений упруго-пластического равновесия к их решению не применимы общие методы, изложенные в п. 15 предыдущей главы. Для решения этих уравнений можно использовать или метод упругих решений А. А. Ильюшина 144] или численные методы.

Теория течения. Как показывает опыт, при сложном нагру­жении, когда путь нагружения в упруго-пластической области резко изменяет направление, соотношение (4.11) не описывает удовлетворительным образом зависимость между напряжениями и деформациями. Предложен ряд теорий пластичности при слож­ном нагружении. Краткое описание этих теорий можно найти в работе [117]. Рассмотрим простейшую из этих теорий для изотропного материала. Последняя базируется на следующих положениях.

1. Среднее относительное изменение объема пропорциональ­ности среднему нормальному напряжению

е = Ко, (4.19)

или

de = Kdo. (4.20)

2. Полные приращения составляющих деформаций склады­ваются из приращений упругой и пластической деформации

den = de'ij + devih (4.21)

3. Девиатор напряжений D0 и девиатор приращений пласти­ческой деформации подобны и коаксиальны:

D(deP)=№0, (4.22)

где К — подлежащая определению скалярная функция.

Из последнего соотношения в силу dePa = 0 следует, что

delj — I (оц — 6,7с),

где символ Кронекера

бг; = 1 при і = /; д1} = 0 при і Ф j.

При этом для полных приращений составляющих деформации получим:

— £ №&хх №(dGyy~~do1!^] -)- Я(<Тд-Л о),

(4.24)

Уравнения (4.24) при условии текучести Мизеса

(4.25)

были предложены Рейсом [109]. Эти уравнения обычно называют уравнениями теории течения. Исследования показали [49], что при простом нагружении уравнения теории течения и теории малых упруго-пластических деформаций дают одинаковые ре­зультаты.

Найдем приращения работы пластической деформации

dAp = oxxdexx + • ■ - + тxydyxy - j - - - •

Подставив сюда значения приращений пластических деформаций по формулам (4.23), получим

dAp = 2Ят/,

откуда

т. е. функция Я пропорциональна приращению работы пласти­ческой деформации и не может иметь отрицательное значение.

При развитых пластических деформациях в уравнениях (4.24) составляющими упругой деформации можно пренебречь и при этом получим уравнения теории Сен-Венана—Мизеса:

которые обычно записываются в скоростях деформаций [46]

"Чхх ІРXX ®)t

(4.30)

где

= "і^Г+ ' •' + Vl-w + • • )• (4.31)

Уравнения (4.24) содержат напряжения и их бесконечно малые приращения. Эти уравнения неразрешимы относительно напря­жений. Поэтому в этом случае не удается составить уравнения равновесия в смещениях, аналогичные уравнениям Ламе. Системы уравнений в напряжениях, аналогичных уравнениям Бельтрами— Митчеля, могут быть составлены, но они кроме производных напряжений по координатам будут содержать производные по координатам от бесконечно малых приращений составляющих напряжения. Для решения этих уравнений могут быть исполь­зованы только численные методы. Задача значительно упро­щается, если составляющими упругой деформации можно пре­небречь по сравнению с составляющими пластической деформации и использовать уравнения (4.29).