СВАРОЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ И НАПРЯЖЕНИЯ

ИСТОЧНИКИ МГНОВЕННОГО ДЕЙСТВИЯ Точечный источник мгновенного действия

В бесконечно малую прямоугольную призму с ребрами dx, dy, dz бесконечно большого термически изотропного теплопрово­дящего тела в момент времени t = 0 введем Q калорий тепла. При этом температура этой призмы в тот же момент определится фор­мулой

Т*с=0~ cydxdydz’

где с — теплоемкость в кал! г - °С; у — удельный вес el см3', су — объемная теплоемкость в кал! см3 ■ °С.

Отсюда в пределе при dx dy dz = dw —> 0 получим, что тем­пература самого источника, помещенного в начале координат, в начальный момент t = 0 бесконечно велика, а температура во всех других точках тела вне источника в тот же момент равна нулю. Так как для неограниченного тела граничные условия отсутствуют, то, начиная с этого момента, тепло в силу теплопро­водности постепенно распространится по всему телу, причем температура будет определяться из уравнения теплопроводности Фурье

= (2.2)

где а =—------------ коэффициент температуропроводности в см21сек.

К — коэффициент теплопроводности в кал! см-сек-°С.

Коэффициенты с, Я, у вместе с изменением температуры при сварке изменяются в достаточно широких пределах [103, 130]. С целью упрощения решения задачи эти коэффициенты принимают постоянными, равными их средним значениям в рассматриваемом интервале температур [103]. При этих условиях нетрудно убе­диться простой подстановкой, что частным решением дифферен­циального уравнения (2.2) при начальном условии (2.1) будет:

(2'3>

где

R2 = х2 + у2 - f - z2.

Этот результат позволяет сделать следующие выводы.

2*

В любой момент t Ф 0 температура самого источника (R = 0)

, 3

отлична от нуля и с течением времени уменьшается по закону t~~Y, оставаясь выше температур других точек тела.

Вместе с удалением от источника температура понижается по

R8

закону нормального распределения е~ш. Изотермическими по­верхностями являются сферы с центром в источнике и темпера­турное поле в данный момент времени зависит лишь от радиуса.

Температура в любой точке вне источника сначала возрастает, а затем убывает. Момент достижения максимального значения температуры в данной точке найдется из условия

= о

dt

которое дает

н, следовательно,

Чем ближе рассматриваемая точка к источнику, тем выше Ттах.

Отметим, что при изучении температурного поля сварки изде­лий значительной толщины используется модель полубесконеч - ного теплопроводящего тела и температурное поле (2.3) мгновен­ного точечного источника.

Линейный источник мгновенного действия

В линейный элемент теплопроводящего тела, имеющий форму бесконечно длинной призмы с бесконечно малым основанием dxdy, в начальный момент времени t — 0 внесем тепло, распределенное равномерно - по длине этой призмы с интенсивностью Qj в кал/см. Температурное поле, получающееся от действия мгновенного линейного источника, в силу линейности задачи можно получить наложением температурных полей бесконечного числа мгновенных точечных источников, распределенных вдоль оси z, совпадающей с осью призмы, и вносящих в элемент длиной dz тепло

dQ = Qi dz.

При этом для температуры любой точки тела в соответствии с формулой (2.3) получим

" Q, dz - хЧ"'+гг

Т (г, t) = [ Qx е ш

J су (4я at)/

■—СО

га *“+</5+zl

ПМ) =--------------------- ( е Ш dz =

су (4яа/)3/

—СО

**+і/2

<2і« 4о<

су (4 nat)^2 Введя новую переменную

11 Уш ’

будем иметь

СО 2* СО

J е 4а/ dz = Aat j е - ч* drj.

—со —со

Но известно [102], что

со

| e~v2dii = Ул.

— СО

При этом формула (2.4) примет вид

е~й = - шг‘~£г-<25>

где

Я = суп; г2 = х2 + г/2.

Этот результат позволяет сделать следующие выводы:

а) температурное поле мгновенного линейного источника в дан­ный момент времени зависит лишь от плоского радиуса-вектор а

и его изотермические поверхности — круговые цилиндры, ось которых совпадает с осью источника;

б) максимальная в данной точке температура имеет место в мо­мент времени, определяемый из условия

dt

которое дает

JL

1 шах 4а ’

Если из теплопроводящего тела вырежем пластинку малой толщины h двумя плоскостями, нормальными к оси г, и в его элемент hdxdy в начальный момент времени внесем тепло Q в кал, то при условии, что боковые поверхности этой пластины непро­ницаемы для тепла, мгновенный линейный источник тепла с ин­тенсивностью

Q1 = ~ кал/см

создает плоское температурное поле (2.4). Оно используется для изучения температурного поля, возникающего при сварке тонких листов.

Плоский источник мгновенного действия

Возьмем бесконечное теплопроводящее тело и в его элемент, представляющий бесконечный плоский слой толщиной dx, вы­рождающийся в пределе в плоскость yz, в начальный момент внесем тепло, равномерно распределенное по его площади с ин­тенсивностью Q2 в кал/см2. Температурное поле, вызываемое этим плоским источником, можно найти суммированием полей мгновенных точечных источников, распределенных по всей пло­скости yz. Полагая

dQ = Q2 dy dz и используя (2.3), получим

СО СО *2-H/2~Hz2 х2

т== Г г _Qadydz ш = Qz^-ш ' (26)

J J су (4яа/) су (4зга*)

—СО —00

Таким образом, температурное поле мгновенного плоского источ­ника зависит лишь от расстояния х до плоскости yz источника и изотермическими поверхностями являются плоскости, парал­лельные плоскости yz. Например, если возьмем теплопроводящее тело в форме бесконечно длинной прямоугольной призмы с пло­щадью поперечного сечения F, боковые грани которой непро­ницаемы для тепла и в элемент его объема Fdx в начальный момент внесем тепло с интенсивностью Q2 в кал/см2, то температура в лю­бом его поперечном сечении | х | будет постоянна и определится по формуле (2.6). При этом наибольшая температура в любом сечении |x| будет иметь место в момент времени

^ |г+тпшх 2а

и для нее получим

Т™х = су (2яе)1/2 1*1 *