СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Связь между переходной характеристикой и положением корней на s-плоскости

Переходную характеристику замкнутой системы управления можно связать с положением полюсов ее передаточной функции. В общем случае передаточная функция замкнутой сис­темы имеет вид:

где A(.v) = 0 есть характеристическое уравнение системы.

Для одноконтурной системы, изображенной на рис. 5.14, характеристическое урав­нение записывается в виде 1+ G(s) = 0. Переходная характеристика, вообще говоря, опре­деляется полюсами и нулями Ts). Но для замкнутой системы полюсами 7s) являются корни характеристического уравнения Д(л) = 0 и полюсы выражения Р, А> (s) При еди­ничном ступенчатом воздействии и отсутствии кратных корней (если коэффициент уси­ления системы равен 1) изображение по Лапласу выходного сигнала можно представить в виде разложения на дроби:

(5.21)

где А„ Вк и Ск — константы. Корни системы должны быть либо вещественными, вида s = —cjj, либо образовывать комплексно-сопряженные пары типа s = - ак± jak. Тогда обрат­ное преобразование Лапласа для (5.21) дает переходную характеристику системы в виде суммы членов:

где константа Dk выражается через Вк, Ск, а* и со*. Переходная характеристика образована установившимся значением y(t), экспоненциальными членами и затухающими синусоида­льными компонентами. Чтобы переходная характеристика была ограниченной (а систе­ма соответственно, устойчивой), необходимо, чтобы вещественные части корней, - Сj и

-ак, были расположены в левой половине s-плоскости. На рис. 5.17 изображены реакции системы на импульсное воздействие, соответствующие различному положению корней на s-плоскости. Такое наглядное графическое представление очень полезно при выборе жела­емого расположения корней на s-плоскости.

При анализе линейной системы управления важно понимать связь между ее пред­ставлением в области комплексной частоты в виде полюсов и нулей передаточной функ­ции и поведением системы во времени в виде реакции на ступенчатое и иные входные воздействия. Например, многие вычислительные методы анализа и синтеза в таких при­кладных задачах, как управление и обработка сигналов, применяются именно на основе представления модели системы в виде полюсов и нулей передаточной функции T(s). С другой стороны, качество системы часто оценивается по ее переходной характеристике, в особенности когда речь идет о системах управления.

Опытный проектировщик должен ясно представлять, как повлияет на временные ха­рактеристики системы добавление, удаление или перемещение на s-плоскости полюсов и нулей T(s). Он также должен понимать, как следует изменить полюсы и нули T(s), чтобы добиться желаемого вида временных характеристик.

Опытный проектировщик всегда представляет, как влияют нули передаточной функ­ции на реакцию системы. Полюсы T(s) определяют отдельные составляющие переходной характеристики, а нули 7T(s) определяют относительный вес каждой из этих составляю­щих. Например, чем ближе нуль передаточной функции расположен к какому-то ее полю­су, тем меньше вклад в переходную характеристику составляющей, соответствующей данному полюсу.

Можно написать компьютерную программу и задать в ней произвольный набор по­люсов и нулей передаточной функции линейной системы. Затем компьютер рассчитает и

построит графики реакции системы на импульсное и ступенчатое воздействия. Кроме этого можно изобразить те же характеристики в уменьшенном масштабе вместе с диа­граммой размещения полюсов и нулей. После того, как программа будет выполнена для исходного набора полюсов и нулей, пользователь может изменить положение одного или нескольких из них. В результате будет получена диаграмма, отражающая старое и новое расположение полюсов и нулей и старые и новые реакции системы на импульсное и сту­пенчатое воздействия.