СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска

В разделе 4.10 мы рассматривали поведение замкнутой системы управления поло­жением считывающей головки. Обратимся еще раз к этой системе, структурная схе­ма которой приведена на рис. 4.33. Здесь мы продолжим процедуру синтеза (после­довательность действий вторично представлена на рис. 5.50) и перейдем к шагу 3, на кото­ром определяется желаемое качество системы. Мы попытаемся выбрать такое значение коэффициента усиления Ка, при котором качество системы было бы наилучшим.

Рис. 5.49

Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска

Реакция на ступенчатый входной сигнал системы управления углом крена самолета, полученная путем моделирования в Simulink

Щелкните правой кнопкой мыши в области экрана, чтобы вызвать всплывающее окно для задания параметров графика

Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска

Нашей целью является получение наилучшего быстродействия при отработке сту­пенчатого сигнала r(t) с учетом (1) ограничения на величину перерегулирования и колеба­тельный характер реакции и (2) необходимости уменьшения влияния возмущения на по­ложение считывающей головки. Требования к качеству системы сведены в табл. 5.8

Таблица 5.8. Требования к переходной характеристике

Показатель качества

Желаемое значение

Относительное перерегулирование

Менее 5%

Время установления

Менее 250 мс

Максимальная величина реакции на единичное ступенчатое возмущение

Менее 5 • 10 3

Рассмотрим модель второго порядка для двигателя и рычага, в которой мы прене­брегли индуктивностью обмотки двигателя. В этом случае замкнутая система имеет вид рис. 5.51. Для входной переменной при условии D(s) = 0 можно записать:

У(Д)= — R(s) = , 5К°-------- R(s) = ------- ^--------- T R(sy (5.74)

5(5+20)+5/С 0 s' +20s+5Ka s~ +2Cfi>„s+w~

D(s)

Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска

Рис. 5.51. Модель системы управления второго порядка

R(s)

r(s)

Отсюда следует, что cof, = 5Ка и 2£со„ = 20. Далее мы можем определить реакцию сис­темы с помощью скрипта MATLAB, приведенного на рис. 5.52. В табл. 5.9 представлены показатели качества, соответствующие различным значениям Ка.

Таблица 5.9. Реакция системы второго порядка на ступенчатый входной сигнал

ка

20

30

40

60

80

Относительное

перерегулирование

0

1,2%

4,3%

10,8%

16,3%

Время установления (с)

0,55

0,40

0,40

0,40

0,40

Коэффициент затухания

1

0,82

0,707

0,58

0,50

Максимальное значение выходной

переменной y(t) при единичном

-10-10'3

-6,6-10-3

-5.2 10 3

-3,710-3

-2.9-10"3

ступенчатом возмущении

Рис. 5.52 а)

Реакция системы на единичный ступенчатый входной сигнал, rt) = 1. / > 0.

(а) Скрипт MATLAB.

(б) Реакции системы при Ка = 30 и Ка — 60

Ка=30; ч-----------------------------------

t=[0:0.01:1];

nc=[Ka*5]; dc=[1]; sysc=tf(nc, dc); ng=[1]; dg=[1 20 0]; sysg=tf(ng. dg) sys1=series(sysc, sysg); sys=feedback(sys1 ,[1]); J" [y. T]=step(sys, t); plot(T. y),grid хІаЬеІ(‘Время (c)‘) ylabel(‘y(t)’)

Выбор K„

Вычисление передаточной функции замкнутой системы

Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска

Нреэде іеі

Нарис. 5.53 изображены зависимости^/), полученные при единичном ступенчатом возмущении для Ка = 30 и Ка = 60. При увеличении Ки до 60 влияние возмущения умень­шается почти в 2 раза. Если мы хотим удовлетворить требования, предъявляемые к систе­ме, то нам придется выбрать компромиссное значение Ка. Очевидно, в данном случае наи­лучшим компромиссом будет значение Ка = 40. Однако это значение не удовлетворяет всем требованиям. В следующей главе мы вернемся к процедуре синтеза, изображенной на рис. 5.50, и изменим конфигурацию системы, как это предусмотрено шагом 4.

Резюме

В этой глав мы познакомились с определением качества системы управления и способами его измерения. Было обсуждено понятие показателей качества и подчеркнута важность ис­пользования типовых тестовых сигналов. Были приведены некоторые показатели качест­ва, характеризующие систему при типовых тестовых сигналах. Сюда относятся, например, перереіулирование, время максимума и время установления переходной характеристики при ступенчатом входном сигнале. Было отмечено, что часто требования к качеству систе­мы вступают в противоречие и требуется компромиссное решение. Была рассмотрена связь между расположением на j-плоскости корней характеристического уравнения систе­мы и ее временными характеристиками. Наиболее важным показателем качества системы является ее установившаяся ошибка при входном сигнале заданного вида. Эта зависимость

Рис. 5.53 а)

Реакция системы на единичное ступенчатое возмущение,

D{s) = 1/s.

(а) Скрипт MATLAB.

(б) Реакции системы при Ка — 30 и Ка = 60

t—[0:0.01:1];

пс=[Ка*5]; dc=[1]; sysc=tf(nc, dc); ng=[1]; dg=[1 20 0]; sysg=tf(ng, dg); sys=feedback(sy sg ,sysc);

Выбор Kc,

Возмущение приложено к сумматору со знаком минус

sys—sys; ^ step(sys. t);

хІаЬеІ(‘Время (c)‘) ylabel('y(t)’)

б)

Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска

0 0.1 0 2 0.3 0.4 0.6 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Время(с>

Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска

о

х

Я

И

10

Время (с)

была установлена с помошью теоремы о конечном значении функции. Данное свойство си­стемы с обратной связью проиллюстрировано на рис. 5.54. В заключение была подчеркну­та важность применения интегральных оценок качества, и на ряде примеров было показа­но, как можно минимизировать соответствующую оценку. Таким образом мы сделали ак­цент на определение и количественные оценки качества систем управления с обратной связью.

Рис. 5.54

Реакция системы с обратной связью на линейный входной сигнал при К = 1. 2 и 8 в случае С (s) = K/s[s + 1)(s + 3). Установившаяся ошибка уменьшается с ростом К но приобретает колебательный характер при К = 8

Упражнения

У-5.1. Система управления двигателем дисковода компьютера должна ослаблять влияние возмуще-
ний и изменения параметров, а также минимизировать установившуюся ошибку. Желательно,
чтобы система позиционирования головки, имеюшая вид рис. 5.18 при H{s) = 1. обладала нуле-
вой установившейся ошибкой, (а) К какому типу должна относиться данная система? (Сколько
интеграторов она должна содержать?) (б) Если входной сигнал является линейным, то каким
должен быть тин системы, чтобы установившаяся ошибка равнялась нулю?

У-5.2. На рис. 5.2(У) изображена модель
системы управления скоростью го-
ночного автомобиля, (а) Определи-
те установившуюся ошибку при
ступенчатом изменении заданной
скорости, (б) Определите относите-
льное перерегулирование >’(/) при
ступенчатом изменении входного
сигнала.

Ответ: (а) еЛЛ = /4/11; (б) 20,8%.

У-5.3. Долгие годы железнодорожная компания Амтрак пытается привлечь пассажиров для поездок
на Средний Запад, используя транспортные средства, разработанные десятилетия назад. В то
же время иностранные компании проектируют новые железнодорожные системы, которые
успешно могут конкурировать с авиаперевозками. Две из таких систем — французская TCV и
японская Шинкансен — способны обеспечивать скорость движения до 250 км/ч. На
рис. 5.3(У), (а) изображен американский экспериментальный поезд на магнитной подушке
Трансрапид-06.

Использование магнитной подушки и электромагнитной силовой установки обеспечивает
движение поезда без контакта с направляющими, что принципиально от личает его от сущест-
вующей конструкции Метролайнер. Днище вагона ТР-06 (где у обычного вагона располага-
лись бы колеса) охватывает направляющий рельс. Взаимодейст вие магнит ов на рельсе и элект-
ромагнитов на днище вагона удерживает вагон в подвешенном состоянии примерно в сант и-
метре над рельсом (см. задачу 2.27).

Рис. 5.3 (У)

Система управления
подвеской вагона

Динамика

изменения

зазора

л

К

- Y( s)

J

s(s+14)

Зазор

т _

Ток в обмотке электромагнита

Автомобиль

100

ад

Заданная

скорость

о-

Скорость

(s+2)(s+5)

Рис. 5.2 (У). Система управления скоростью гоночного автомобиля

Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска

б)

На рис. 5.3(У), (б) изображена система управления подвеской вагона, (а) С помощью табл. 5.6 выберите значение К. обеспечивающее оптимальную реакцию системы на ступенчатый вход­ной сигнал по критерию ИВМО. (б) С помощью рис. 5.8 определите ожидаемое перерегулиро­вание при ступенчатом входном сигнале I(s).

Ответ: К = 100; 4,6%.

У-5.4. Система в разомкнутом состоянии имеет передаточную функцию

.s(j+ 4)

(а) Определите передаточную функцию замкнутой системы с единичной отрицательной об­ратной связью, T(s) = Y(s)/R(s). (б) Определите реакцию системы у(1) на ступенчатый входной сигнал r(0 = A, t > 0. (в) С помощью рис. 5.13(a) определите относительное перерегулирова­ние. (г) Используя теорему о конечном значении, определите установившееся значение^*). Ответ, (б) у(() = 1— 1,07е'3' sin(V7» + 1,2) .

У-5.5. На рис. 5.5(У), (а) изображен малоинерционный плоттер, а на рис 5.5(У),(б) — его структур­ная схема, (а) Определите установившуюся ошибку при линейном входном сигнале, (б) Выбе­рите значение К. обеспечивающее максимально возможное быстродействие системы при от­сутствии перерегулирования.

Укажите положение полюсов и нулей данной системы и обсудите доминирующую роль комп­лексных полюсов. Какое перерегулирование вы ожидаете в случае ступенчатого входного сиг­нала?

Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска

У-5.6. Существенную помощь людям, страдающим диабетом, может оказать система автоматиче­ской инъекции инсулина, включающая в себя насос и датчик, измеряющий содержание сахара в крови. Структурная схема такой системы изображена на рис. 5.6(У). Выберите значение К, при котором реакция системы на ступенчатое входное воздействие имела бы перерегулирова-

Рис. 5.5 (У) а)

(а) Плоттер фирмы Хьюлетт-Паккард.

Y(s) Положение

(б) Структурная схема плоттера

Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска

Рис. 5.6 (У)

Система управления содержанием сахара е крови

ние порядка 7%. На схеме R(s) соответствует желаемому содержанию сахара в крови, a Y(s) — его действительному значению. (Подсказка: воспользуйтесь рис.5.13(a).)

Ответ: К = 1,67.

У-5.7. Система позиционирования головки дисковода гибкого диска в замкнутом состоянии имеет передаточную функцию

0,313(5+ 0,8)

(s + 0,6)(s2 + 4s + 5)

Изобразите диаграмму расположения полюсов и нулей данной системы и обсудите доминиру­ющую роль комплексных полюсов. Какое перерегулирование можно ожидать при ступенча­том входном сигнале?

У-5.8. Система, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии имеет вид

G(s) =---------------------- ,

s(s+yl2K)

охвачена единичной отрицательной обратной связью.

(а) Определите относительное перерегулирование и время установления (по критерию 2% от конечного значения) при отработке единичного ступенчатого входного сигнала.

(б) При каких значениях К время установления будет менее 1 с?

У-5.9. Система управления второго порядка имеет в замкнутом состоянии передаточную функцию T(s) = Y(s)/R(s). При ступенчатом входном воздействии к качеству системы предъявляются следующие требования:

1) Относительное перерегулирование < 5%;

2) Время установления < 4 с ;

3) Время максимума переходной характеристики Тр < 1 с.

Укажите допустимую область расположения полюсов T(s), при которой будут обеспечены вы­двинутые требования. Время установления определяется по критерию 2% от конечного значе­ния.

У-5.10. На рис. 5.10(У) изображена система с единич­ной отрицательной обратной связью. Определи­те установившуюся ошибку при ступенчатом и линейном входных сигналах, если 10(s+4)

s(s+l)(s+3)(s+8)

У-5.11. Всем известна карусель Ферриса, используе­мая в качестве аттракциона на ярмарках и карна­валах. Джордж Феррис родился в 1859 г. в Гейлс-

берге, шт. Иллинойс. Позже он переехал в Неваду и в 1881 г. закончил Ренсселерский политех­нический институт. К 1891 г. Феррис уже имел большой опыт строительства металлических конструкций и мостов. Он задумал и построил свою знаменитую карусель для выставки в честь Колумба, проходившей в Чикаго в 1893 г. Во избежание падения пассажиров потребуем, чтобы

G(s) = -

*<s>_Lq

Y(s)

G(s)

Рис. 5.10 (У). Система с единичной обратной связью

Возмущение

D(s)

Динамика карусели и привода

(s+2)(s+4)

Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска

F(s)

Ка)

(s+6)

Скорость

вращения

Желаемая

скорость

Регулятор

к

(s+9)

Рис. 5.11 (У). Регулирование скорости вращения карусели Ферриса

в системе на рис. 5.11(У) установившаяся скорость удерживалась в пределах 5% от желаемой скорости.

(а) Определите значение К, при котором будет выполняться предъявляемое к системе требова­ние. (б) При коэффициенте К, найденном в п. (а), вычислите и изобразите графически ошибку e(t), вызванную возмущением D(s) = 1/ s. Изменяется ли при этом скорость более чем на 5%? [Для простоты вычислений примите R(s) = 0.]

У-5.12. Для системы с единичной обратной связью на рис. 5.10(У) определите установившуюся ошибку в случае ступенчатого и линейного входных сигналов, если

10

G(s) = — .

s + 14s + 50

оо при линейном входном сигнале.

Ответ: ess = 0,83 при ступенчатом сигнале и е(,

Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска

Рис. 5.13 (У). Система с обратной связью

У-5.13. Нарис. 5.13(У) изображена сис­тема с обратной связью.

(а) Определите установившуюся ошибку при единичном ступенча­том входном сигнале, если К = 0,4 и Gp(s) = 1.

(б) Выберите такое значение Gp(s). при котором в случае еди­ничного ступенчатого входного сигнала установившаяся ошибка будет равна нулю.

У-5.14. Замкнутая система управления имеет передаточную функцию

Г(,) = М = яо.

R(s) (s + 10)(s2 + 10s+50)

В случае ступенчатого входного сигнала R(s) постройте графикиy(t), если (а) используется ис­ходное выражение T(s) и (б) используются только доминирующие комплексные полюсы. Сравните результаты.

У-5.15. Дана система второго порядка:

г, , У(s) (10/z)(s + z)

R(s) (s + l)(s + 8)

Рассмотрите случай, когда 1 < z < 8. Разложите T(s) на простые дроби и изобразите графики >(7) в случае ступенчатого входного сигнала r(t) для значений z = 2; 4; 6.

У-5.16. Передаточная функция замкнутой системы T(s) имеет два доминирующих комплексно-со­пряженных полюса. Выделите в левой половине s-плоскости область, в которой должны нахо­диться эти полюсы, чтобы система удовлетворяла следующим требованиям.

(а) 0,6 < С, < 0.8 и ы„ < 10.

(б) 0,5 < <; < 0,707 и со,, > 10.

(в) С > 0,5 и 5 < со„ < 10. «)

Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска

y(t)

(г) С < 0,707 и 5 < ы„ < 10.

(д) С > 0,6 со„ < 6.

Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска

Рис. 5.17 (У)

У-5.17. Для системы, изображенной на рис.5.17(У), (а), реакция на еди­ничное ступенчатое воздействие б)

при К = 1 приведена на рис. 5.17(У), (б). Определите значение К, при котором установившаяся ошибка равнялась бы нулю.

Ответ: К = 1,25.

Задачи

3-5.1. В телевидении серьезную проблему представляют скачки или подергивания изображения, возникающие из-за перемещения камеры. Этот эффект особенно проявляется тогда, когда ка­мера находится на движущемся автомобиле или на самолете. Чтобы исключить это явление, специально была спроектирована система Диналенс, изображенная на рис. 5.1(3). Предполага­ется, что максимальная скорость сканирования составит 25 °/с. Будем считать, что Kg = К, = 1, а постоянной времени можно пренебречь, (а) Получите выражение для ошибки системы Е(s). (б) Определите, каким должен быть коэффициент усиления в контуре, КдКщКр если допу­скается установившаяся ошибка в 1 °/с. (в) Двигатель имеет постоянную времени тш = 0,40 с. Определите, каким должен бьггь коэффициент усиления в контуре, чтобы время установления (по критерию 2% от конечного значения vt) не превышало 0,03 с.

3-5.2. Необходимо синтезировать замкнутую систему управления, которая обладала бы передемп - фированной реакцией на ступенчатое входное воздействие. К качеству системы предъявляют­ся следующие требования:

20% > относительное перерегулирование > 10%; время установления < 0,6 с.

а) Момент двигателя

Рис. 5.1 (3)

Камера

Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска

Система управления телекамерой

б)

Vc

Гироскоп

Усилитель

Двигатель

кв

+

Ка

кт

Скорость

STg+1

STm+l

камеры

Тахогенератор

Скорость

мехов

К,

(а) Укажите желаемую область расположения доминирующих полюсов системы, (б) Опреде­лите наименьшее значение третьего полюса, если реакция в основном должна определяться комплексно-сопряженными полюсами, (в) Передаточная функция замкнутой системы T(s) (при единичной обратной связи) имеет третий порядок. Определите передаточную функцию прямой цепи G(s) = Y(s)/E(s), если задано время установления (по критерию 2% от конечного значения) 0,6 с и относительное перерегулирование 20%.

Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска

3-5.3. Лазерный луч можно использовать для сварки, сверления, гравировки, резки и разметки ме­таллических деталей, как показано на рис. 5.3(3), (а). Предположим, что нам необходимо с по­мощью замкнутой системы управления на рис. 5.3(3), (б) начертить на металле параболиче­скую линию. Определите, каким должен быть коэффициент усиления, чтобы при r(t) = Г см установившаяся ошибка составляла не более 5 мм.

Рис. 5.3 (3)

Система управления лучом лазера

б)

r(s)

R(s>

к

г

S2

3-5.4. Разомкнутая система имеет передаточную функцию

п, л К G(s) =-- .

s(s + 2)

При замыкании единичной отрицательной обратной связи реакция системы на ступенчатый входной сигнал должна удовлетворять следующим требованиям:

время максимума Тр= 1,1 с; относительное перерегулирование = 5%.

(а) Определите, могут ли оба требования быть удовлетворены одновременно, (б) Если невоз­можно одновременно удовлетворить оба требования, то определите компромиссное значение К. при котором показатели качества меньше всего отличались бы от заданных.

3-5.5. Для выполнения астрономических наблюдений на орбиту выводится космический телескоп. Система управления наведением должна обладать точностью 0,01 угловой минуты и следить за движением объектов со скоростями до 0,21 угловой минуты в секунду. Космический теле­скоп изображен на рис. 5.5(3), (а), а система управления — на рис.5.5(3), (б). Пусть т, = 1 с, а т2 = 0 (примем такую аппроксимацию), (а) Определите значение К = К, К2, при котором реак­ция на ступенчатый входной сигнал будет иметь как можно меньшее время установления, а пе­ререгулирование не будет превышать 5%. (б) Определите установившуюся ошибку системы при отработке ступенчатого и линейного входных сигналов, (в) Определите значение К, К2 для системы, оптимальной по критерию ИВМО, в случае (1) ступенчатого и (2) линейного входно­го сигнала.

а)

Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с дискаНаземная станция

Рис. 5.5 (3). (а) Космический телескоп, (б) Система управления наведением телескопа

Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска

б)

F(s) Угловое положение

ж ко

а)

Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска

10 20 30 40

Время (с)

б)

Y(s)

Траектория

движения

R(s)

О

G(s)

3-5.6. Робот запрограммирован так, чтобы обеспечивать движение инструмента по заданной тра­ектории. Пусть эта траектория представлена графиком пило­образного вида на рис. 5.6(3), (а).

В системе нарис. 5.6(3), (б) пе­редаточная функция G(s) име­ет вид:

50(s +1)

s(s + 6 )(s + 9)

G(s) =

Определите установившуюся ошибку.

3-5.7. Астронавт Брюс МакКендлесс 7 февраля 1984 года совершил первую прогулку в космосе без страховочного фала, используя газовый реактивный двигатель. Его фото во время этой про­гулки приведено на рис. 5.7(3), (а). Регулятор можно представить в виде коэффициента К2, как показано на рис. 5.7(3), (б). Момент инерции человека вместе с оборудованием, которое он держит в руках, составляет 25 кг • м2. (а) Определите значение коэффициента К3, необходимое для поддержания установившейся ошибки, равной 1 см, при входном воздействии r(t) = / (в метрах), (б) Приняв это значение К3, определите коэффициент КХК2, при котором величина пе­ререгулирования не будет превышать 10%. (в) Аналитически найдите величину КХК2, при ко­торой в случае ступенчатого входного сигнала оценка качества ИКО будет минимальной.

Рис. 5.6 (3). Управление движением робота

Рис 5.7 (3)

Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска

(а) Астронавт Брюс МакКендпесс в нескольких метрах от находящегося на орбите космического челнока «Челленджер».

Он пользуется управляемым вручную реактивным устройством, создающим струю газа азота.

(б) Структурная схема системы

а)

Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска

6)

3-5.8. Солнечные батареи генерируют напряжение постоянного тока, которое может быть исполь­зовано для питания электродвигателей или преобразовано в напряжение переменного тока, на­правляемое в электросеть. Мощность на выходе батарей желательно поддерживать максима­льной, независимо от изменения положения Солнца в течение дня. Одна из возможных систем, предназначенных для решения этой задачи, приведена на рис. 5.8(3). Передаточная функция объекта

G(s) = -^—. s+10

где К = 20. Определите (а) постоянную времени замкнутой системы и (б) время установления (по критерию 2% от конечного значения выходной переменной) при действии возмущения (например, при появлении облаков).

Возмущение

P(t)

Выходная

мощность

Производная мощности ■+

при ее ------------ *

максимальном

уровне

Интегратор

-1

-А—

G(s)

S

+ w

о-

Дифференциатор

H(s)

dp

dt

3-5.9. Антенна, с помощью которой осущест­вляется связь с телекоммуникационным спутником Телстар, является самой крупной из когда-либо построенных ан­тенн рожкообразной формы. Эта антен­на. работающая в сантиметровом диа­пазоне, имеет длину 54 м, весит 340 т и вращается на рельсах по окружности.

Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска

На рис. 5.9(3) приведено фото этой ан­тенны. Спутник Телстар имеет диаметр 85 см и вращается вокруг Земли на вы­соте 4000 км со скоростью 26000 км/ч.

Антенна должна быть направлена на спутник с точностью 0,1°. т. к. микро­волновый луч имеет ширину 0,2° и си­льно уменьшает свою мощность с уве - Рис. 5.9 (3). Антенна для связи

личением расстояния. Если антенна со спутником Телстар в Андовере, шт. Мэн должна следить за движущимся спутни­ком, определите, какое значение Kv для этого должна иметь система управления.

3-5.10. При управлении по цепи якоря скоростью вращения двигателя постоянного тока в качестве сигнала обратной связи используется япротивоЭДС. (а) Изобразите структурную схему такой системы (см. пример 2.5). (б) Определите установившуюся ошибку системы, если на вход по­дается ступенчатый сигнал, в соответствии с которым скорость должна принять новое значе­ние. Примите Ra = La = J-b = Km = Kh= 1. (в) Выберите коэффициент противоЭДС таким обра­зом, чтобы переходная характеристика имела перерегулирование 15%.

3-5.11. Разомкнутая система имеет передаточную функцию

cw=fr--

E(s) s

Данная система охватывается единичной отрицательной обратной связью, и на вход подается ступенчатый сигнал амплитуды А. Задано начальное условие y(t0) = О, где y(t) — выходной сигнал системы. Качество системы определяется оценкой

1 = fe2(t)dl.

Jo

(а) Покажите, что 1 = (A - Q)2I2K. (б) Определите параметр К, минимизирующий данную оцен­ку качества. Имеет ли этот коэффициент практическую ценность? (в) Выберите величину К, имеющую практический смысл, и определите соответствующее значение оценки качества.

3-5.12. По мере создания высокоскоростных электропоездов будет возрастат ь интенсивност ь пасса­жиропотоков, т. к. поездка из города в город по времени станет сравнима с авиаперелетом. В Японии между Токио и Осакой уже циркулирует экспресс, покрывающий расстояние в 515 км за 3 ч 10 мин со средней скоростью 163 км/ч. Эта скорость еще более увеличится при использова­нии новых систем, таких как магнитная подвеска над алюминиевым направляющим рельсом. Для поддержания заданной скорости предлагается система управления, обеспечивающая нуле­вую установившуюся ошибку при линейном входном сигнале. Для этого достаточно иметь сис­тему третьего порядка. Определите оптимальную передаточную функцию замкнутой системы T(s), исходя из оценки качества ИВМО. Оцените время установления (по критерию 2% от конеч­ного значения) и перерегулирование при ступенчатом входном сигнале, если (о„ = 10.

3-5.13. Систему четвертого порядка требуется аппроксимировать моделью более низкого порядка. Исходная система имеет передаточную функцию

, s3+7s2 + 24s+24 s3 + 7s2 + 24s+24

H(S) = 5-------- ^------------------ =---------------------------------------- .

s4 + 10s3 + 35s2 + 50s +24 (s + l)(s + 2)(s + 3)(s + 4)

Покажите, что применение метода, описанного в разделе 5.10, если не заданы полюсы и нуль L(s), позволит получить модель второго порядка с передаточной функцией _ 0,2917s + 1 0,731(5 + 3,428)

5 0,399s2 + 1,375s +1 (s+ l,043)(s+ 2,4)

3-5.14. Для исходной системы из задачи 5.13 требуется получить модель пониженного (второго) по­рядка, если заданы ее полюсы, равные -1 и -2, а ее единственный нуль не определен. Покажи­те, что эта модель имеет передаточную функцию

r. . 0,986s + 2 0,986(s + 2,028)

±jS ) » — .

s + 3s + 2 (s+ l)(s+ 2)

Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска

3-5.15. На рис. 5.15(3) изображен

магнитный усилитель с малым

выходным сопротивлением,

соединенный последовательно

с низкочастотным фильтром и тг, ч

Тг K(s) *

предусилителем. Усилитель *

имеет высокое входное сопро­тивление, коэффициент усиле-

ния. равный 1. и используется рис. 515 (3). усилитель с обратной связью

в качестве сумматора. Выбери­те значение емкости С так, что­бы передаточная функция K0(s)/K,(s) имела коэффициент затухания 1/V2. Постоянная времени

магнитного усилителя т = 1 с, а его коэффициент усиления К = 10. Определите время установ­ления (по критерию 2%) для данной системы.

3-5.16. Электрокардиостиму лятор способен регулировать частоту сердечных сокращений. На рис. 5.16(3) изображена замкнутая система, включающая в себя кардиостимулятор и датчик часто­ты сердечных сокращений. Передаточная функция кардиостимулятора и объекта управления (сердца) имеет вид:

G(s) = — .

s(s/12+ 1)

Определите коэффициент К. при котором в случае ступенчатого возмущения время установле­ния будет менее 1 с. Перерегулирование реакции на ступенчатое изменение заданной частоты сердечных сокращений не должно превышать 10%. (а) Определите подходящий диапазон зна­чений К. (б) Если номинальное значение К = 10, определите чувствительность системы к ма­лым изменениям К. (в) Оцените чувствительность из п. (б) на нулевой частоте (при s = 0).

(г) Оцените величину чувствительности при нормальной частоте сердечных сокращений 60 ударов/ мин.

Возмущение

Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска

3-5.17. Обратитесь к исходной системе третьего порядка из примера 5.9. Определите аппроксими­рующую модель первого порядка, в которой нуль отсутствует, а полюс не задан.

3-5.18. В замкнутой системе управления с единичной отрицательной обратной связью прямая цепь имеет передаточную функцию

G(s) = ^—1----------

s(s + 6s+ 12)

(а) Определите передаточную функцию замкнутой системы T(s). (б) С помощью метода, опи­санного в разделе 5.10, аппроксимируйте T(s) моделью второго порядка, (в) С помощью MAT­LAB или любой другой компьютерной программы постройте графики реакции исходной сис­темы и ее аппроксимации на единичный ступенчатый сигнал и сравните полученные результа­ты.

К

(s+10)(s+12)

Y(s)

Кг

3-5.19. Рассмотрите систему, изобра­женную на рис. 5.19(3). (а) Пола - гая £(s) = R(s) - T(s), определите зависимость установившейся ошибки т К и Ку в случае еди­ничного ступенчатого входного Рис 519 (3). Система с предусилителем К, сигнала, (б) Выберите значение

Ку так, чтобы установившаяся ошибка была равна нулю.

Задачи повышенной сложности

П-5.1. Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:

K(s)_ 96(.?+ 3)

74s) = -

R(s) (s + 8)(s2 + 8s + 3 6)

(а) Определите установившуюся ошибку при единичном ступенчатом входном воздействии, R(s) = 1/s.

(б) Полагая, что доминирующими являются комплексные полюсы, определите величину пере­регулирования и время установления (по критерию 2% от установившегося значения).

(в) Получите график переходной характеристики исходной системы и сравните его с оценка­ми, полученными в п. (б).

5440(t2s+1)

а

Y(s)

s(s +28s+432)

Рис. 5.2 (П). Система с варьируемым нулем

К

s(s+2)(TpS+l)

система управления. Постройте графики реакции системы на единичное ступен­чатое воздействие при хр = 0; 0,5; 2; 5. Представьте в виде таблицы показатели качества — относительное перерегули­рование. время нарастания, время уста­новления (по критерию 2%) для разных

П-5.2. На рис. 5.2(П) изображена замкнутая

система управления. Постройте графики _

реакции системы на единичное ступен-
чатое воздействие при tz = 0; 0,05; 0,1;

0,5. Представьте в виде таблицы показа-
тели качества — относительное перере-
гулирование. время нарастания, время
установления (по критерию 2%) для раз-

ных значений т.. Проанализируйте влияние изменения т.. Сравните относительное положение
нуля, 1/тг, с положением полюсов замкнутой системы.

П-5.3. На рис. 5.3(П) изображена замкнутая

R(s) —V— , . " — - Y(s)

Динамика

поезда

E(s)

15

о

R(s)

К

- r(s) Скорость

(s+5)(s+7)

Рис. 5.4 (П)

Система

управления

скоростью

Возмущение D(s)

-6-

значений т/г Проанализируйте влияние изменения тр. Сравните относительное положение по­люса разомкнутой системы, lip, с положением полюсов замкнутой системы.

П-5.4. На рис. 5.4(П) изображена система управления скоростью пассажирского поезда-экспресса. Получите выражение для установившейся ошибки в зависимости от К при единичном ступен­чатом воздействии КО-

(а) Вычислите установившуюся ошибку при значениях К, равных 1.10 и 100.

(б) Вычислите и изобразите графически реакции y(t) на (1) единичный ступенчатый сигнал r(lj и (2) на единичное ступенчатое возмущение d(t).

(в) Сведите в таблицу следующие показатели качества: относительное перерегулирование, время установления (по критерию 2%), е„ при отработке tit) и yld max для трех заданных зна­чений К. Выберите наилучшее компромиссное значение К.

Рис. 5.5 (П)

Система, в которой регулятор содержит параметр а

Объект

50(s+2)

(s+3)(s+4)

о~~

R(s)

Y(s)

Регулятор

+

S+CX

»(

S

+

о

Возмущение

D(s)

П-5.5. На рис. 5.5(П) изображена система с регулятором, нуль которого может варьироваться. Пусть а = 0; 10; 100.

(а) Определите установившуюся ошибку при ступенчатом входном сигнале для и = 0 и и ф 0.

(б) Изобразите графически реакцию системы на ступенчатое возмущение для трех значений а. Сравните результаты и выберите наилучшее из трех значений а.

П-5.6. На рис. 5.6(П) изображена структурная схема двигателя постоянного тока, управляемого по цепи якоря.

(а) Найдите зависимость установившейся ошибки от параметров К, Кь и Кт в случае линейно­го входного сигнала, r(t) = t, t > 0.

Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска

R(s)

Y(s)

(б) Примите Кт = 10, Kh = 0,05 и выберите К так. чтобы установившаяся ошибка была равна 1.

(в) Вычислите и изобразите графически реакции системы на единичный ступенчатый сигнал и на сигнал, изменяющийся единичной скоростью, на интервале до 20 с. Являются ли эти реак­ции приемлемыми?

Задачи на синтез систем

СС-5.1. Система управления приводом скользящей части стола металлообрабатывающего станка (см. задачи СС-1.1-СС-4.1) подвержена возмущению за счет того, что обработка детали про­должается несмотря на удаление части материала. Регулятор представлен обычным усили­телем Gc(s) = Ки. Оцените влияние единичного ступенчатого возмущения и определите наи­лучшее значение коэффициента Ка, при котором перерегулирование в случае ступенчатого задающего сигнала r(t) = A, t > 0, будет менее 5%, а влияние возмущения будет по возможности минимальным.

Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска

Рис. 5.1 (С)

Система управления углом крена

Ф(8)

Угол

крена

С-5.1. На рис. 5.1(C) приведена система управления углом крена реактивного истребителя. Задача заключается в выборе коэффициента К, при котором реакция системы на ступенчатый вход­ной сигнал ф(/) = A, t > 0, имела бы перерегулирование не более 20% и как можно меньшее вре­мя установления, (а) Определите передаточную функцию замкнутой системы Ф(.?)/<1/.$).

(б) Найдите корни характеристического уравнения при К = 0,7; 3; 6. (в) Используя понятие до­минирующих корней, предскажите ожидаемое перерегулирование и время максимума пере­ходной характеристики в аппроксимирующей системе второго порядка, (г) Постройте график реакции исходной системы и сравните показатели качества с полученными в п. (в), (д) Выбе­рите значение К, при котором от носительное перерегулирование было бы равно 16%. Каково при этом время максимума?

С-5.2. При синтезе системы управления положением наконечника сварочного аппарата необходим тщательный подбор параметров. Такая система изображена на рис. 5.2(C), где С, = 0,2, а коэф­фициент К и собственная частота ы„ могут быть выбраны, (а) Найдите такие значения К и ы„, при которых реакция системы на единичный ступенчатый входной сигнал будет иметь время максимума (момент первого выброса за заданное значение, равное единице), не превышающее 1 с, и перерегулирование не более 5%. (Подсказка: попробуйте выбрать 0,1 < А7ш„ < 0,3.)

(б) Постройте график реакции полученной системы на ступенчатый входной сигнал.

Динамика руки с нако­нечником

Усилитель и исполнительное устройство

со?

2L

S

s2+2^to„s+io^

-Ч>

— y(s)

Положение

наконечника

Рис. 5.2 (С)

Система

управления

положением

наконечника

сварочного

аппарата

R(s).

R(s)

Рис. 5.3 (С)

Система

активной

подвески

автомобиля

О-

Задающий _ сигнал

Усилитель

Электродвигатель

К

1

s(s+q)

Y(s)

Положение

вентиля

С-5.3. Применяемые в современных автомобилях системы активной подвески обеспечивают ком­фортабельные условия при поездке. При синтезе таких систем используется идея настройки амортизаторов, приспосабливая их к дорожным условиям. Как показано на рис. 5.3(C), неболь­шой электродвигатель изменяет положение (проходное сечение) вентиля гидросистемы. Вы­берите значения параметров К и q, обеспечивающие наилучшее качество системы по крите­рию ИВМО при отработке ступенчатого задающего сигнала, причем время установления (по критерию 2%) при этом не должно превышать 0,5 с. Прежде чем завершить синтез, попытай­тесь предсказать величину перерегулирования при ступенчатом входном сигнале.

Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска

Рис. 5.4 (С)

Система управления спутником

а)

б)

Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска

R(s)

Y(s)

Угол

ориентации

Gc(s)

G( s)

К

10

(s+90)

(s+l)(s+9)

С-5.4. Для изменения ориентации спутника, изображенного на рис. 5.4(C), (а), используется систе­ма управления, представленная на рис. 5.4(C), (б).

(а) Аппроксимируйте замкнутую систему моделью второго порядка.

(б) Используя модель второго порядка, выберите коэффициент К так, чтобы при отработке ступенчатого входного сигнала перерегулирование не превышало 15%, а установившаяся ошибка была менее 12%.

(в) Проверьте правильность синтеза, определив действительные показатели качества системы третьего порядка.

С-5.5. Для удаления заусениц с поверхности обработанных на станке деталей может быть использо­ван робот, который перемещает инструмент по заранее заданной траектории, определяемой входным сигналом. На практике обычно возникают ошибки из-за неточности робота, погреш­ностей обработки, больших допусков и износа инструмента. Эти ошибки можно исключить, используя обратную связь по усилию, за счет чего траектория движения инструмента коррек­тируется во время зачистки поверхности.

Хотя управление усилием в известной степени способно решить проблему точности, одновре­менно становится более трудным обеспечение устойчивости системы. Действительно, устано­вив упругий датчик усилия на запястье руки робота и замкнув соответствующую обратную связь, мы напрямую сталкиваемся с проблемой устойчивости системы.

Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска

Желаемое

положение

Желаемое

усилие

Рис. 5.5 (С). Робот для зачистки поверхности деталей

R(s)

Рис. 5.6 (С). Система управления положением

На рис. 5.5(C) изображена модель системы управления описанным выше роботом.

Определите область устойчивости системы в плоскости параметров и К2, считая, что оба они положительны.

С-5.6. На рис. 5.6(C) изображена система управ­ления положением, в которой используется двигатель постоянного тока. Целью синтеза является выбор значений Ку и К2, при кото­рых в случае ступенчатого входного сигнала время максимума переходной характеристи­ки составляло бы 0,5 с, а перерегулирование было незначительным (от 0,5% до 2%).

Л ^

Кг

s(s+l)

1+*2S

Y(s)

Задачи, решаемые с помощью MATLAB

М-5.1. Замкнутая система имеет передаточную функцию

4

т=

s2 + 4s + 4

Получите импульсную переходную характеристику аналитически и сравните ее с результатом вычислений с помощью MATLAB (функция impulse).

М-5.2. Система в разомкнутом состоянии имеет передаточную функцию

см - ”7

R(s)

s (s+ 10)

Считая, что система охвачена единичной отрицате­льной обратной связью, воспользуйтесь функцией Isim и получите реакцию замкнутой системы на ли­нейный входной сигнал, R(s) = І/s2. Рассмотрите ин­тервал времени 0 < t < 25 с. Чему равна установивша­яся ошибка?

s2 +2£(o„s+(o^

-Y(s)

М-5.3. Для синтеза систем управления очень важно твердо знать связь между расположением полю­сов системы второго порядка, изображенной на рис. 5.3(М), и ее переходной характеристикой. Имея это в виду, рассмотрите следующие четыре случая:

(1) со,, = 2 , С = 0;

Л.

Регулятор

Объект

21

1

S

(s+2)

Y(s)

(2) ш„=2,С = 0,1;

Д(з)

(3) ш„ = 1 , С = 0;

(4) ю„ = 1 , С = 0,2.

Рис. 5.4 (М). Система управления с отрицательной обратной связью

С помощью функций impulse и subplot со­здайте в окне на экране монитора четыре диа­граммы, каждая из ко­торых соответствовала бы импульсной пере­ходной характеристике для указанных выше случаев. Сравните диаграммы с изображенными на рис. 5.17 в разделе 5.6 и проанализируйте результаты.

М-5.4. Рассмотрите систему управления, изображенную на рис. 5.4(М).

(а) Покажите аналитически, что при ступенчатом входном сигнале переходная характеристика замкнутой системы имеет перерегулирование около 50%.

(б) С помощью MATLAB получите график реакции системы на ступенчатый входной сигнал и оцените по нему величину перерегулирования. Сравните результат с предсказанным в п. (а).

М-5.5. Передаточная функция прямой цепи в системе с единичной отрицательной обратной связью имеет вид:

50

GO) =------------ .

*0+10)

С помощью MATLAB постройте переходную характеристику замкнутой системы и определи­те по графику приблизительные значения ее максимума, Мр, времени максимума, Тр, и време­ни установления, Ts (по критерию 2%). Дополните график соответствующими численными значениями Mjr Тр и 7(.

М-5.6. Для удержания самолета на заданном курсе и высоте обычно используется автопилот. Сис­тема управления в данном случае имеет вид рис. 5.6(М).

(а) Предположим, что регулятор представлен обычным коэффициентом усиления, т. е. Gc(s) = 2. С помощью функции Isim вычислите и постройте график реакции системы на воз­действие 0(//) = а/, где а = 0.5 °/с. Определите ошибку по положению спустя 10 с.

(б) Если взять более сложный регулятор, то можно уменьшить установившуюся ошибку при отработке входного сигнала. С этой целью выберем регулятор с передаточной функцией

Gc(s) = K, + ^ = 2+- .

S S

Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска

Регулятор такого типа известен как пропорционально-интегральный (ПИ) регулятор. Повто­рите для такого регулятора те же действия, что и в п. (а), и сравните установившиеся ошибки.

Желаемое

положение

Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска

Рис. 5.7 (М). Система управления скоростью ракеты

М-5.7. На рис. 5.7(М) изображена структурная схема системы управления скоростью ракеты. С по­мощью известных формул для системы второго порядка предскажите значения показателей Мр, Тр и Тч для замкнутой системы в случае единичного ступенчатого входного сигнала. С по­мощью MATLAB получите точную реакцию исходной системы и сравните показатели качест­ва с предсказанными по упрощенной модели. Объясните возникшие различия.

Ключевые термины и понятия

Время максимума. Момент времени, в который реакция системы на ступенчатый входной сигнал достигает максимального значения.

Время нарастания. Время, в течение которого реакция системы на ступенчатый входной сигнал становится равной определенной процентной доле от величины входного сигнала. Время на­растания Т,- определяется изменением выходной переменной от 0 до 100% величины входного сигнала. Как альтернатива, время нарастания Тт определяется изменением выходной перемен­ной от 10% до 90% ее установившегося значения.

Время установления. Время, в течение которого выходная переменная системы устанавливается в пределах определенной процентной доли от величины входного сигнала.

Доминирующие корни. Корни характеристического уравнения, в основном определяющие вид пе­реходной характеристики системы.

Коэффициент ошибки по скорости Kv. Коэффициент, вычисляемый как 1ітЛ_>о[іС(і)]. Установив­шаяся ошибка системы при линейном входном сигнале, изменяющемся со скоростью А. равна AIKV.

Оптимальная система управления. Система, параметры которой настроены так, что оценка каче­ства имеет экстремальное значение.

Оценка качества. Количественная мера качества системы.

Перерегулирование. Величина, на которую реакция выходной переменной превышает желаемое значение.

Тестовый входной сигнал. Входной сигнал типового вида, используемый для проверки способно­сти системы реагировать адекватным образом.

Тип системы. Число N полюсов передаточной функции G(s), расположенных в начале координат, где G(s) соответствует разомкнутой системе (прямой цепи от входа к выходу).

Требования, выдвигаемые при синтезе. Набор заранее установленных критериев качества.

СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Требования к качеству системы в частотной области

Мы постоянно должны задавать себе вопрос: какая связь существует между частотными характеристиками системы и ожидаемым видом её переходной характеристики? Другими словами, если задан набор требований к поведению системы во временной …

Измерение частотных характеристик

Синусоидальный сигнал можно использовать для измерения частотных характеристик ра­зомкнутой системы управления. На практике это связано с получением графиков зависи­мости амплитуды и фазового сдвига выходного сигнала от частоты. Затем по этим …

Пример построения диаграммы Боде

Диаграмма Боде для передаточной функции G(s), содержащий несколько нулей и полюсов, строится путём суммирования частотных характеристик, соответствующих каждому отде­льно взятому полюсу и нулю. Простоту и удобство данного метода мы проиллюстрируем …

Как с нами связаться:

Украина:
г.Александрия
тел./факс +38 05235  77193 Бухгалтерия
+38 050 512 11 94 — гл. инженер-менеджер (продажи всего оборудования)

+38 050 457 13 30 — Рашид - продажи новинок
e-mail: msd@msd.com.ua
Схема проезда к производственному офису:
Схема проезда к МСД

Оперативная связь

Укажите свой телефон или адрес эл. почты — наш менеджер перезвонит Вам в удобное для Вас время.