СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Построение корневого годографа

Этап 1: Записать характеристическое уравнение в виде

1 + F(s) = О (7.22)

и, если необходимо, модифицировать его так, чтобы варьируемый параметр К входил в уравнение как множитель:

1 + KP(s) = 0. (7.23)

Этап 2: Представить P(s) в виде дроби, используя полюсы и нули этой функции:

м

FH5+z')

1 + Л:--^------------ =0. (7.24)

Этап 3: Разместить полюсы и нули на s-плоскости, отметив их выбранными услов­ными обозначениями. Обычно представляют интерес траектории корней при изменении параметра К от 0 до со. Из (7.24) мы имеем:

п М

П(*+;>/)+*П (*+**)=а (?-25)

7=1 /=1

При К = 0 корни характеристического уравнения просто совпадают с полюсами P(s), а при К = оо они совпадают с нулями P(s). Следовательно, при изменении К от 0 до со траекто­рии корней характеристического уравнения 1 +KP(s) = 0 начинаются в полюсах P(s) и заканчиваются в нулях /*(.*). У большинства функций Р(.ч), с которыми мы будем иметь

дело, некоторые нули располагаются в бесконечности на 5-плоскости. Это объясняется

тем, что у этих функций P(s) полюсов больше, чем нулей. При 77 полюсах и М нулях, если п>М, п -Мветвей корневого годографа стремятся к п - М нулям, расположенным в беско­нечности.

Этап 4: Выделить отрезки действительной оси, которые принадлежат корневому го­дографу. Участки корневого годографа, совпадающие с действительной осью, всегда лежат слева от нечетного числа полюсов и нулей. Этот факт вытекает из анализа угло­вого критерия (7.17). Все четыре первых этапа построения корневого годографа мы про­иллюстрируем примером.

Пример 7.1. Система второго порядка

Одноконтурная система управления имеет следующее характеристическое уравнение (этап 1):

1 + GH (s) = 1 + -* (°’5* = 0. (7.26)

ї(0,25ї + I)

Этап 2: Передаточную функцию C, H(s) перепишем с использованием её полюсов и нулей:

1+ 2Kis+2K0, (7.27)

s(f+4)

где варьируемый параметр представлен в виде явного множителя 2К. Для построения корне­вого годографа (этап 3) мы сначала поместим на действительную ось полюсы и нуль разо­мкнутой системы, как показано на рис. 7.6 (а). Наконец, заметим, что угловой критерий удов­летворяется на дейсгвительной оси между точками 0 и -4, т. к. аргумент полюсар, в начале ко­ординат равен 180°, а аргументы нуля и полюсар2 в точке. у = -4 равны нулю. Корневой годог­раф начинается в полюсах и заканчивается в нулях, как показано на рис. 7.6 (б), причём направление возрастания параметра К отмечено стрелками. Заметим также, что поскольку ра-

Участки

корневого

Построение корневого годографа

Нуль

р1

Построение корневого годографа

-2

Полюсы

а)

-4

б)

^—|s, +4|“*i

в)

Построение корневого годографа

Рис. 7.6. (a) Нуль и полюсы системы второго порядка.

(б) участки корневого годографа и (в) модули каждого вектора при корне s,

зомкнутая система имеет два действительных полюса и один действительный нуль, то второй участок годографа заканчивается в нуле в минус бесконечности. Чтобы найти значение К, со­ответствующее определённому положению корней, воспользуемся амплитудным критерием

. Например, если один из корней, s = = — 1 , то мы имеем:

2А>, + 2|

или

|s,||s, + 4| І-1Ц-1+ 4|

К =

(7.28)

2|-1+2|

Это значение можно также найти графически, как показано на рисунке 7.6 (в). При К = 3/2 вто­рой корень располагается слева от полюса в точке -4 . Положение этого корня определяется графически: он находится в точке s = - 6 , как показано на рис. 7.6 (е).

Теперь перейдем к следующим этапам построения корневого годографа.

Этап 5: Определить число ветвей корневого годографа, SL. Поскольку корневой го­дограф начинается в полюсах и заканчивается в нулях передаточной функции разомкну­того контура, а число полюсов всегда больше или равно числу нулей, то число отдель­ных ветвей годографа равно числу полюсов. Так, корневой годограф на рис. 7.6 состо­ит из двух ветвей, поскольку система имеет два полюса и один нуль.

Этап 6: Корневой годограф должен быть симметричен относительно действитель­ной оси, т. к. комплексные корни могут появляться только комплексно-сопряжёнными парами.

Этап 7: К нулям, расположенным в бесконечности, корни стремятся вдоль асимптот, проведенных из центра в точке оА под углами ц>А. Если число конечных нулей функции P(s), г., меньше числа её полюсов, пр, то N ветвей корневого годографа должны при К —> со заканчиваться в нулях, расположенных в бесконечности (здесь N = пр - п.). Асимп­тоты корневого годографа образуют /V-лучевую звезду, центр которой находится на дей­ствительной оси. Координата центра определяется выражением:

м

V Df V Г п/ 5^ Pj) Z' )

У полюсов Р(я)~ У нулей P(s) J = l

(7.29)

1=1

Пр-п.

Пр-П1

Ф а =(2?+1--180г

ИР "Л;

<7= 0, 1,2, ..., (пр — п: — 1). (7.30)

Углы наклона асимптот к действительной оси имеют значения:

Это правило особенно полезно при определении примерного вида корневого годог­рафа. Выражение (7.30) легко может быть получено из рассмотрения точки корневого го­дографа, расположенной на s-плоскости на большом расстоянии от конечных полюсов и нулей. Чистое изменение аргумента в этой точке равно 180°, потому что она принадлежит корневому годографу.

Конечные полюсы и нули функции P(s) находятся на большом расстоянии от этой удалённой точки, поэтому углы ф векторов, проведенных в неё из каждого полюса и нуля, одинаковы и, следовательно, собственный аргумент этой точки равен <р (пр - и,), где пр и п. есть соответственно число конечных полюсов и нулей. Таким образом, мы имеем:

ф(Ир - и:) = 180°.

или, что то же самое,

180°

<р =

Произведя вычисления для всех возможных ветвей корневого годографа, мы получим фор­мулу (7.30).

Центр симметрии прямолинейных асимптот, часто называемый центроидом, нахо­дится по характеристическому уравнению 1 + GH(s) = 0 (уравнение вида 7.24). При боль­ших значениях s определяющую роль играют члены высшего порядка, поэтому характе­ристическое уравнение сводится к виду:

Однако при такой аппроксимации центр симметрии (п — М) асимптот находится в начале координат, s = 0. Лучшей аппроксимацией является представление характеристического уравнения в виде:

где центроид находится в точке аА.

Положение центроида определяется из рассмотрения первых двух членов уравнения (7.24), записанного в виде:

Построение корневого годографа

/=і

л

Построение корневого годографа

1+

/cj^Os+z,)

м

)=•

На основании выражения (6.5) можно записать:

м

П

Построение корневого годографа

Учитывая только два первых члена разложения функции P(s), имеем

К

В свою очередь, уравнение

К

1+-

/ л _ п - М

(s-oA )

с учетом первых двух членов принимает вид:

1 + —------------------------------------------------------------------------- =0.

п-М и—М-1

►У —(n-M)<JAs Приравнивая коэффициенты при s" м~ получим: что эквивалентно выражению (7.29). Например, для системы, изображённой на рис. 7.2, характеристическое уравнение имеет вид:

1+ К = 0. s(s + 2)

Поскольку пр-п, = 2, то следует ожидать, что две ветви корневого годографа будут закан­чиваться в нулях, расположенных в бесконечности. Асимптоты корневого годографа име­ют центр в точке сА =--=-1 2 и составляют с действительной осью углы Ф/l = 90°> <7=0 и Фа - 270°, <7=1. Следовательно, легко можно построить корневой годограф, как это и было продемонстри­ровано на рис 7.3. Ниже мы ещё на одном примере покажем, как можно использовать асим­птоты корневого годографа.

Пример 7.2. Система четвёртого порядка

Одноконтурная система с обратной связью имеет характеристическое уравнение

1 + СЯ(*)=1+ Я*+ 1} - . (7.31)

ф+2)(*+4)2

Найдём вид корневого годографа в зависимости от параметра К. Положение на s-плоскости полюсов и нуля показано на рис. 7.7 (а). Участки корневого годографа, принадлежащие дейст­вительной оси, должны быть слева от нечётного числа полюсов и нулей; на рис. 7.7 (а) это по­казано жирными линиями. Центр асимптот находится в точке

(-2)+2И)-(-1)__9 ^ 4-1 3

Поскольку пр - п. = 3, то мы имеем три асимптоты, расположенные под углами

(рА = + 60°, q = 0 , ipA = 180°, <7=1,

ц>А = 300°, q = 2 .

Кроме этого, мы знаем, что ветви корневого годографа должны начинаться в полюсах, поэто­му два корня начнут своё движение из кратного полюса в точке s = - 4 . Располагая асимптота­ми, мы можем изобразить вид корневого годографа, как это показано на рис. 7.7 (б). Точный вид годографа вблизи центроида оА при необходимости можно определить графически.

Участки корневого

Рис. 7.7

Корневой

годограф

системы

четвертого

порядка

Построение корневого годографа

годографа

■Ж---

I -4 -2 -1 0

Кратный

полюс

Продолжим рассмотрение этапов построения корневого годографа.

Этап 8: Определить точки, в которых корневой годограф пересекает мнимую ось (если такие точки имеются). Пересечение корневым годографом мнимой оси легко установить с помощью критерия Рауса-Гурвица.

Этап 9: Определить точки отрыва корневого годографа от действительной оси (если такие точки имеются). Точка отрыва корневого годографа от действительно оси — это то место, где сходятся несколько корней, как правило, два. На рис. 7.8 (а) показана точка отрыва для системы второго порядка, а на рис. 7.8 (б) — для частного случая системы четвёртого порядка. Согласно угловому критерию, касательные к корневому годогра­фу в точке отрыва разделены углами, составляющими целую часть от 360°. Так, на рис. 7.8 (а) мы видим, что в точке отрыва угол между двумя ветвями корневого годографа составляет 180°, а на рис. 7.8 (б) четыре ветви разделены углами в 90°.

(7.33)

Точку отрыва на действительной оси можно определить графически или аналитиче­ски. Наиболее простой метод состоит в модификации характеристического уравнения так, чтобы варьируемый параметр К был выделен в одной части от знака равенства. Иначе говоря, характеристическое уравнение записывается в виде:

p(s) = К

-1+/1

Построение корневого годографа

-•т/1

б)

Например, для системы с единичной обратной связью, которая в разомкнутом состоянии имеет передаточную функцию

Построение корневого годографа

Построение корневого годографа

Рис. 7.8

Иллюстрация точки отрыва

(а) для системы второго порядка и

(б) для системы четвертого порядка

-4 -3 -2

Точка отрыва

0

о)

характеристическое уравнение имеет вид:

1+G(s) = l+

К

(7.34)

= 0.

(s+ 2X^+4)

Это уравнение преобразуется к виду:

К = p(s) = - (s + 2)(s + 4) . (7.35)

Корневой годограф этой системы изображен нарис. 7.8 (а). Мы ожидаем, что точка отрыва

будет находиться вблизи s = а = - 3, поэтому в
окрестностях этой точки построим график
p(s)s = а> как эт0 показано на рис. 7.9. В данном
случае p(s) = 0 в полюсах s = - 2 и s = - 4. Г рафик
p(s) симметричен относительно точки а, а его
максимум имеет место при s = а = - 3, что соот-
ветствует точке отрыва.

Тот же результат можно получить аналити-
чески путём нахождения максимума функции
p(s) = К. Для этого необходимо приравнять нулю
производную функции p(s) и найти корни полу-
ченного уравнения:

dK _ dp(s)
ds ds

Уравнение (7.36) просто является аналитической интерпретацией графической процеду-
ры, представленной на рис. 7.9, и оно даёт правильный результат только если его порядок
меньше, чем общее количество ПОЛЮСОВ И нулей (т. е. Пр + п. — 1).

Доказательство (7.36) вытекает из рассмотрения характеристического уравнения

KY(s)

Построение корневого годографа

Рис. 7.9. Графическое определение точки отрыва

(7.36)

= 0.

= ft

1+^С«) = 1+

X(s)

которое можно переписать в виде:

X(s) + KY(s) = 0. Придав параметру К малое приращение, получим:

X(s) + (К + AK)Y(s) = 0. Деление последнего уравнения наЛ^л) + KY(s) даёт:

AKY(s)

(7.37)

(7.38)

= 0.

1+-

X(s)+K-Y(s)

Поскольку знаменатель дроби есть исходный характеристический полином, то в точке от­рыва находится несколько корней, и

Y(s)

(7.39)

X(s)+KY(s) (s-s, )'1 Тогда (7.38) можно записать в виде:

АКС,

(As, Г

(As. y

или, иначе:

и—і

(7.41)

(7.42)

да: _ -(Ал)

As ~ С,

Устремляя As к нулю, получим условие

^=0,

ds

которое должно выполняться в точках отрыва. Теперь рассмотрим частный случай, когда

G(s) = К

(з+2)(л+4)

Отсюда:

(7.43)

К = p(s) = -(s+2)(s + 4) = -(s2 +fo+8) Дифференцируя p(s), имеем:

dp(s)

ds

(7.44)

= -(2s+6) = 0,

откуда следует, что точка отрыва находится при s = - 3 . Далее мы рассмотрим более слож­ный пример, с помощью которого проиллюстрируем графический метод определения точ­ки отрыва.

Пример 7.3. Система третьего порядка

(7.45)

На рис. 7.10 изображена система управления, характеристическое уравнение которой имеет вид:

+G(s)H(s)=+ =0.

s(s + 2)(ї+ 3)

G(s)

R(s) ----- ►(")--------- ►

-► ад

s(i + 2)

Рис. 7.10

Замкнутая система управления

W(v)

s + 3

Разность числа полюсов и нулей, пр-п: = 2, поэтому имеются две асимптоты под углами ± 90° с центром в точке аА= — 2. Асимптоты и участки корневого годографа, принадлежащие дейст­вительной оси, показаны на рис. 7.11 (а). Т очка отрыва находится между j=-2hj — 3. Чтобы найти её точное положение, перепишем характеристическое уравнение и выделим параметрі:

ф + 2)(ї + 3) + K(s + 1) = 0,

или

-Ф±2Х£±3) = ^ (?46)

1

Построение корневого годографа

Построение корневого годографа

Рис. 7.11. Определение (а) асимптот и (б) точки отрыва

Результат вычисления p(s) при различных значениях s между s = -2 и s = -3 отражён в табл. 7-Ій представлен в виде графика на рис. 7.11 (б). Альтернативный способ заключается в дифференцировании выражения (7.46) и приравнивании производной нулю:

d ("-ф+ 2)С?+ ЗЛ _ (д3 + 5s2 + 6s) - (s + l)(3s2 + 10s + 6) _

ds I. s +1 J (s +1)2

ИЛИ

2s3 + 8s2 + 10s + 6 = 0 . (7.47)

Вещественный корень этого уравнения s = - 2.45 определяет максимальное значение p(s). Из этого примера очевидно, насколько эффективным является применение вычислений функции p(s) вблизи ожидаемой точки отрыва для определения её истинного положения.

Таблица 7.1

p(s)

0

+0.412

+0.420

+0.417

+0.390

0

s

-2.00

-2.40

-2.45

-2.50

-2.60

-3.00

Этап 10: Используя угловой критерий, определить угол выхода корневого годографа из полюса и угол его входа в нуль. Угол выхода корневого годографа из полюса равен разности между суммой аргументов векторов, проведённых в данный полюс из всех остальных полюсов, и суммы аргументов векторов, проведённых в данный полюс из всех нулей, плюс угловой критерий ±(2q + 1)180°. То же самое справедливо для угла входа корневого годографа в нуль. Углы выхода и входа представляют интерес в случае комплексных полюсов и нулей, т. к. эта информация позволяет уточнить вид корневого годографа. Например, рассмотрим систему третьего порядка, передаточная функция ко­торой в разомкнутом состоянии имеет вид:

F(s) = G(s)H(s) =------------ ^(7.48)

(5 + /?з )Сг +2^(0„5+(0-)

На рис. 7.12 (а) показано расположение трёх полюсов и отмечены аргументы векторов, проведенных в комплексный полюс рх. Сумма аргументов всех векторов для тонкие,, нахо­дящейся на бесконечно малом расстоянии от рх, должна удовлетворять угловому крите­рию. Таким образом, учитывая, что 02 = 90°, мы имеем:

Построение корневого годографа

Построение корневого годографа

б)

Рис. 7.12. Определение угла выхода: (а) проверка углового критерия в точке, находящейся на бесконечно малом расстоянии от pi, и

(б) действительное направление выхода из полюса р,

Направление ' J выхода р

/ ■' ’

' VI'

'' е,

Л6*

С І------------ 1

-*Г

а это значит, что угол выхода из полюса рх равен 0, = 90° - 03, как показано нарис. 7.12 (б). Угол выхода из полюса р2 отличается от 0, лишь знаком (минус), поскольку рх и р2 являются комплексно-сопряжёнными. Дру­гой пример определения угла выхода приведён на рис. 7.13. В данном случае угол выхода находится из выражения

0

02 - (0, + 03 + 90° ) = 180°.

Поскольку (02 - 03)=Y, то угол выхода 0, = 90° + у.

V 90°

X

Заключительные два этапа процедуры постро­ения корневого годографа связаны с определением положения корней sx и значения параметра К„ со­ответствующего этому положению.

7.13- Определение угла выхода

Этап 11: Определить положение корней sx, х= 1, 2,..., пр, которые удовлетворяют угловому Рис. критерию. Угловой критерий (см. выражение 7.17) имеет вид:

arg F(s) = 180° ± q360°, q = 1, 2, ...

Этап 12: Используя амплитудный критерий (7.16), определить значение параметра К„ соответствующее корню sx. Для корня sx амплитудный критерий имеет вид:

7=1

П>+Л/1

к =

nij+z-

/=1

Теперь полезно собрать воедино все 12 этапов, связанных с построением корневого годографа, что и сделано в табл. 7.2, а затем проиллюстрировать их завершающим приме­ром.

Таблица 7.2. 12 этапов построения корневого годографа

Построение корневого годографа

Этап

1. Записать характеристическое уравнение так, чтобы варьируемый параметр К входил в него в виде множителя.

2. Записать P(s), используя пр полюсов и п: нулей этой функции.

3. Выбрав подходящие символы, отметить на. s-плоскости положения полюсов и нулей ра­зомкнутой системы.

4. Отметить участки действительной оси, при­надлежащие корневому годографу.

5. Определить число отдельных ветвей корне­вого годографа, SL.

6. Траектории корней симметричны относите­льно действительной оси.

7. К нулям, расположенным в бесконечности, корни стремятся вдоль асимптот с центром в точке Оу). образующих с действительной ОСЬЮ углы фл-

8. С помощью критерия Рауса-Гурвица опреде­лить точки, в которых корневой годограф пересекает мнимую ось (если такие точки имеются).

9. Определить точки отрыва корневого годог­рафа от действительной оси (если такие точки имеются).

10. С помощью углового критерия определить углы выхода корневого годографа из комп­лексных полюсов и углы входа в комплекс­ные нули.

11. Определить положение корней, при кото­ром выполняется угловой критерий.

12. Определить параметр Ксоответствующий каждому корню sx.

Уравнение или правило

1 + KP(s) = 0.

П> + г<)

1+ К -------------- = 0.

/=і

X — полюсы, О — нули, □ или Л — корни характеристического уравнения замкнутой системы. Траектории корней начинаются в полюсах и заканчиваются в нулях.

Эти участки расположены слева от нечетного числа полюсов и нулей.

SL = Пр, если Пр > п2 пр — число конечных полюсов. п2 — число конечных нулей.

Z(-P/)-Z(-z,)

°А = ■

Пр-П.

Фл = • 180°. q = 0,1.2„.„(Пр - п.- 1).

Пр - п.

См. раздел 6.2

а) Положить К = p(s):

б) Получить уравнение dp(s)/ds = 0;

в) Найти корни (б) или графически опреде­лить положение максимума p(s).

arg Р(ї)=180° ± q360° при s = р, или z, . arg P(s) = 180° ± <y360° при корне sx.

Пк*+л)і

Kx =~-------------

Пк*+2.)і

Пример 7.4. Система четвертого порядка

1. Построим корневой годограф для системы, имеющей характеристическое уравнение

К

1 +

= 0.

s4 + 12s3 + 64s2 + 128s

где К — варьируемый параметр (К > 0).

2. Определив полюсы передаточной функции, запишем:

0.

(7.49)

К

1 +

s(s + 4)(s + 4 + /4 )(s + 4-/4)

Параметр К будем менять от 0 до вд. Заметим также, что система не имеет конечных нулей.

3. Отметим на s-плоскости положение полюсов, как показано на рис. 7.14 (я).

4. Участок корневого годографа, принадлежащий действительной оси. расположен между s = 0 и s = - 4.

5. Поскольку мы имеем 4 полюса (пр = 4), то корневой годограф содержит 4 ветви.

6. Траектории корней симметричны относительно действительной оси.

7. Асимптоты расположены под углами

Ф/)=^^-180°. 0.1.2.3:

4

(рА = + 45°, 135°, 225°, 315°.

Центр асимптот находится в точке

-4-4-4 о, =--- = -3.

Эти асимптоты изображены пунктирными линиями на рис. 7.14 (а).

8. Перепишем характеристическое уравнение в виде:

(7.50)

+>

Построение корневого годографа

s(s + 4 )(s2 + 8s + 32)+ К = s4 + 12s3 + 64s2 + 128s + A = 0.

Построение корневого годографа

a)

Рис. 7.14. Корневой годограф для примера 7.4:

(а) положение полюсов и (б) асимптоты

Составим таблицу Рауса:

л4

1

64 к

S3

12

128

S2

ь.

к

S1

q

0

S

к.

, 12-64-128 53,33 128-ПК

где b = -------------- = 53,33 и с, =--------------------- .

12 1 53,33

Следовательно, система находится на границе устойчивости при К - 568,89. исходя из чего не­трудно найти корни вспомогательного уравнения:

53,33s2 + 568,89 = 53,33(s2 + 10,67) = 53,33(s + A266)(s -./3,266). (7.51)

Точки, в которых корневой годограф пересекает мнимую ось, показаны на рис. 7.14 (а).

9. Точка отрыва находится путём вычисления выражения

К = p(s) = - s(s + 4)(s + 4 + /4)(s + 4 —j‘4) при значениях s между s = -4hs = 0. Можно ожидать, что эта точка лежит где-то между s = — 3 и s = - 1, поэтому будем искать максимум p(s) в этом диапазоне. Для некоторых значений s вы­числения сведены в табл. 7.3, откуда видно, что максимум p(s) имеет место приблизительно при s = — 1.5. Более точной оценки положения точки отрыва обычно не требуется. Точка отры­ва указана на рис. 7.14 (о).

Таблица 7.3

P(s) 0 51 68.5 80 85 75 0

s______ -4.0 -3.0______ =2,5______ -2.0 -1.5 -1.0_____ 0

10. Угол выхода из комплексного полюсар, можно определить с помощью углового критерия:

0, + 90° + 90° + 03 = 180°,

где 03 — угол, образованный вектором, проведённым в полюс р, из полюсар3 . Каждый из уг­лов, образованных векторами, проведёнными в р, из полюсов при s = -4ms = -4 - /4, равен 90°. Поскольку 03 = 135°, то мы имеем:

0! =- 135° = + 225°,

как показано на рис. 7.14 (о).

11. Определяем положение корней, удовлетворяющее угловому критерию, как показано на рис. 7.14 (б).

12. Находим значение К при s = sx.

Информации, полученной за 12 перечисленных этапов, достаточно для того, чтобы полностью построить корневой годограф. Для рассматриваемой в примере системы корневой годограф изображён на рис. 7.14 (б). Если комплексным корням, расположенным вблизи начала коорди­нат, соответствует коэффициент затухания Q = 0.707, то по рис. 7.14 (б) можно графически определить значение параметра К. Для этого достаточно вычислить модули векторов, прове­денных в точку s| из полюсов разомкнутой системы. В результате мы получим:

К =|s1||sl + 4||sl-fl||s1-p|=(l,9)(2,9)(3,8)(6.0)= 126. (7.52)

Другая пара комплексных корней при К= 126 занимает положение s2 и s2. Влияние этих кор­ней на переходную характеристику будет незначительным по сравнению с корнями s, и sj. В этом можно убедиться, оценив степень затухания реакции, обусловленной каждой парой кор­ней. Затухание за счёт корней s, и s, определяется экспонентой

а за счёт корней s2 и s2 — экспонентой

е-С2“П2' =е-°2» >

где о2 почти в 5 раз больше, чем ст, . Поэтому составляющая реакции системы, обусловленная корнем s2, будет затухать намного быстрее, чем составляющая, обусловленная корнем s,. В ре­зультате реакцию системы на единичное ступенчатое воздействие можно представить в виде:

y(t) = + СЄ~С'' sinCcOjf + B, )+С2е_°2' sin((O2^ + 02)SBl+C,1e'‘O‘' sinCa»! / - I - 0! ) (7.53)

Комплексно-сопряжённые корни, которые среди всех корней ближе всего расположены к на­чалу координат s-плоскости, называются доминирующими корнями, поскольку именно они в основном определяют вид переходной характеристики системы. В системе третьего порядка при наличии двух комплексно-сопряжённых корней их можно считать доминирующими, если значение третьего (действительного) корня не менее чем в 5 раз превышает действительную часть комплексно-сопряжённых корней.

Преобладание второго члена в выражении (7.53) зависит также от относительной величины коэффициентов с| и с2. Эти коэффициенты, которые определяются как вычеты в комплексных полюсах, в свою очередь зависят от положения нулей на s-плоскости. Поэтому понятие доми­нирующих корней, хотя и является полезным для оценки реакции системы, но должно исполь­зоваться с осторожностью и с пониманием указанных выше факторов.

Точку отрыва и другие характерные точки корневого годографа легко можно опреде­лить с помошью MATLAB. Например, в примере 7.2 точка отрыва появляется при К = 1,925, когда два действительных корня сходятся при s = - 2,6. Если К = 200, то два корня находятся на мнимой оси при s = ± J4.82.

В примере 7.4 (опять-таки с помощью MATLAB) можно найти, что точка отрыва от действительной оси, s = - 1,57, появляется при К= 84, а при К= 600 два корня, s = ±/5,33, находятся на мнимой оси.

СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Требования к качеству системы в частотной области

Мы постоянно должны задавать себе вопрос: какая связь существует между частотными характеристиками системы и ожидаемым видом её переходной характеристики? Другими словами, если задан набор требований к поведению системы во временной …

Измерение частотных характеристик

Синусоидальный сигнал можно использовать для измерения частотных характеристик ра­зомкнутой системы управления. На практике это связано с получением графиков зависи­мости амплитуды и фазового сдвига выходного сигнала от частоты. Затем по этим …

Пример построения диаграммы Боде

Диаграмма Боде для передаточной функции G(s), содержащий несколько нулей и полюсов, строится путём суммирования частотных характеристик, соответствующих каждому отде­льно взятому полюсу и нулю. Простоту и удобство данного метода мы проиллюстрируем …

Как с нами связаться:

Украина:
г.Александрия
тел./факс +38 05235  77193 Бухгалтерия
+38 050 512 11 94 — гл. инженер-менеджер (продажи всего оборудования)

+38 050 457 13 30 — Рашид - продажи новинок
e-mail: msd@msd.com.ua
Схема проезда к производственному офису:
Схема проезда к МСД

Партнеры МСД

Контакты для заказов шлакоблочного оборудования:

+38 096 992 9559 Инна (вайбер, вацап, телеграм)
Эл. почта: inna@msd.com.ua