СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Чувствительность системы и корневой годограф

Одной из основных причин использования отрицательной обратной связи в системах управления является её свойство уменьшать влияние изменения параметров системы. Как мы установили в разделе 4.2, это влияние можно оценить с помощью чувствительности характеристик системы к изменению её параметров. Мы также ввели понятие логарифми­ческой чувствительности в виде

„ т dlnT дТ/Т

S%=---------- =---------- , (7.85)

din К дК/К

где 7s) — передаточная функция системы, а К — параметр, подверженный изменению.

В последнее время, в связи с возросшим интересом к использованию плоскости для анализа свойств системы, возникла необходимость оценивать чувствительность системы по расположению корней её характеристического уравнения. Это связано с тем, что изме­нение параметров системы приводит к изменению положения корней характеристическо­го уравнения, а последние, в свою очередь, определяют вид переходной характеристики системы. Поэтому мы можем ввести понятие чувствительности корней характеристи­ческого уравнения системы с передаточной функцией T(s) как

(7.86)

Sr' =д '' =8- К

к din К дК/К

где гг есть i-й корень характеристического уравнения, и

m

m-о

/=і

а К — параметр системы. Эта чувствительность связывает изменение положения корня на s-плоскости с изменением параметра системы. Чувствительность корней связана с лога­рифмической чувствительностью соотношением

Sl L_, (7.88)

dlntf ІП'ЗІпЛ: (s+r,)

при условии, что нули Ts) не зависят от параметра К, т. е.

01п К

Логарифмическую чувствительность легко определить, взяв производную T{s) [выраже­ние (7.87)] по параметру К. В частном случае, когда коэффициент усиления системы не за­висит от параметра К, мы получим:

Sl =-Ysr' — , (7.89)

* tr А (s+n)

что даёт непосредственную связь между двумя чувствительностями.

Чувствительность корня характеристического уравнения системы довольно просто можно оценить, воспользовавшись методом корневого годографа. Для этого нам потребу­ются уже известные линии корней, соответствующие изменению параметра К. Мы можем придать параметру К малое конечное приращение АК и оценить новое положение корня г, + А г,. Затем, в соответствии с (7.86), мы получим

Sr‘ . (7.90)

к АК/К

Это выражение является аппроксимацией действительного значения чувствительности, которое может быть получено при АК —> 0. Оценку чувствительности корня мы проиллю­стрируем следующим примером.

Пример 7.6. Чувствительность корня системы управления

Характеристическое уравнение для системы с обратной связью, изображенной на рис. 7.23, имеет вид:

К

1+-

= 0,

Ф + Р)

или

г + Рї + К = 0 . (7.91)

В качестве параметра а мы будем рассматривать коэффициент К. Тогда влияние изменения каждого параметра можно будет определить, если задать

а = а0 + Да. р = ро + др,

Чувствительность системы и корневой годограф

► т

Рис. 7.24

Корневой годограф в зависимости от К

Л

і

і

- Л-U. D

Г /С-0 4

і

L

N

/ ,

N

]

і

Г

J

ъ

—0

5

ч

Г

J0-5

-J0 5

Л

где а0 и р0— номинальные (желаемые) значения соответствующих параметров. Мы рассмот­рим случай, когда ро = 1 и а0 = К = 0.5. На рис. 7.24 изображен корневой годограф в зависимо­сти от параметра а = К, который построен по уравнению

К, К

1 +

= 1+

= 0.

(7 92)

Ф + Ро) s(s+l)

При номинальном значении К = а = 0,5 мы имеем два комплексных корня, г( = — 0.5 + /0,5 и г2 = ц, как показано на рис. 7.24. Чтобы исследовать влияние неизбежных вариаций параметра К, произведём замену а = а0 + Да и приведем характеристическое уравнение к виду: s2 + s + а0 + Да = s2 + s + 0.5 ± Да = 0.

или

±Да, ±Да

— = 0.

(7.93)

1 +

= 1 + -

s + s + 0.5 (s + fj)(s + f|)

Таким образом, изменение коэффициента усиления К можно оценить по корневому годографу на рис. 7.24. При изменении а на 20% мы имеем ±Да = ± 0,1. С помощью корневого годографа легко установить новое положение корней при а = 0,4 и а = 0,6, как это показано на рис. 7.24. При а = К = 0,6 корень во 2-м квадранте s-плоскости занимает положение

+ Д г, = - 0,5 + у'0,59,

что соответствует изменению корня Д гх = + У0.09. Если же а = К = 0.4 . то корень во втором квадранте равен

г, + Д г, = - 0,5 + 70.387.

что соответствует изменению корня Дг, = - j'0,11. Таким образом, чувствительность корня г, равна

S? AK = = -^L = + 70,09 = >0,45 = 0,45е'90° (7.94)

+АА Ki АК/К +0,2

при положительном приращении К. Для отрицательных изменений К чувствительность равна

>0.11

Д'і

,-/90"

C'l — С'| —

Л~ДК ~ лК - -

= - j0,55 = 0.55е

AK/K +0,2

При бесконечно малых изменениях параметра дК чувствительность будет равна отрицатель­ным или положительным приращениям К. Аргумент чувствительности корня указывает на на­правление его смещения при изменении параметра. В точке а = а0 направление смещения кор­ня при + Да всегда равно 180° минус направление смещения при - Да.

= 0.

1+-

Чувствительность системы и корневой годограф

Рис. 7.25. Корневой годограф в зависимости от параметра р

1+

■ = 0.

= 0,80е-/|3|°.

(7.98)

0,20

s' + s+K

Знаменатель во втором слагаемом есть характеристический полином системы при Д р = 0. Для

этого случая корневой годограф в зависимости от К изоб-

ражен на рис. 7.24. Если по условиям синтеза требуется
иметь £ = 0,707, то корни должны занимать положение
Г| = -0,5 + у’0,5 и?2 = ^ - 0,5- j0,5.

Поскольку корни являются комплексно-сопряженными, то
чувствительность корня / | будет сопряжённой чувствите-
льности корня г = г2. С помощью метода, изложенного в
предыдущем разделе, мы можем построить корневой го-
дограф при изменении Др — результат приведён на рис.
7.25. Нас обычно интересует влияние изменения парамет-
ра, поэтому, считая, что Р = Р0 + Д Р, и задав отрицательное
приращение Д Р, мы получим уравнение корневого годог-
рафа:

-<др>

форме

1 - ДР P(s) = 0.

Сравнивая последнее уравнение с (7.23) (см. раздел 7.3), мы видим, что оно отличается лишь знаком второго слагае­мого. Поэтому в соответствии с правилами, изложенными в разд. 7.3, мы приходим к выводу, что корневой годограф должен удовлетворять условиям

| Др P(s) |=1, arg P(s) = 0° ± <5>360°, (7.97)

где q = 0, 1, 2,.... Заметим, что в угловом критерии фигурирует угол 0°, в отличие от 180°, как это было в рассмотренном ранее методе. Однако правила построения корневого годографа, сформулированные в разд. 7.3, легко можно модифицировать применительно к данному слу­чаю. На рис. 7.25 эффект уменьшения параметра р отмечен пунктирной траекторией. На том же рисунке показано положение корня при изменении р на + Д р = ± 0,20. Чувствительность корня можно оценить графически, и для положительного изменения Р она равна

0,16ej/l3l°

Полюс Р может претерпевать изменения из-за влияния окружающей среды, и мы можем пред­ставить его как Р = р0 + др, где Р0 =1. Тогда характеристическое уравнение примет вид

s2 + s + Др s + К = 0. или, в форме, удобной для построения корневого годографа:

др. у

Sr' - Ar' ■ р* (ДР/Р)

S+S+ К

(7.95)

(7.96)

При отрицательном изменении р чувствительность корня будет равна

(7.99)

Sn~ =

р (др/р)

Д^=0Д25^ = аб25е, з8

0,20

При уменьшении относительного изменения др/р чувствительности Л'^ и 5'1 будут стремиться

к одинаковым значениям по модулю и к разности аргументов в 180°. Так, если Др/р < 0.10, то

|5'Ч = |5'Ч (7.100)

argS^ =180°+argSpL. (7.101)

Обычно чувствительность корня определяется при малых изменениях параметра. При относи­тельном изменении параметра Др/р = 0,10 можно воспользоваться аппроксимацией корневого годографа. На рис. 7.25 корневой годограф при ДР = 0 выходит из полюса под углом в(1. Значе­ние этого угла легко вычислить, и тогда изменение корня можно установить, аппроксимировав корневой годограф прямой линией с наклоном вф как показано на рис. 7.25. Но подобная ап­проксимация является точной только при малых приращениях Др. Однако она позволяет ис­следователю не прибегать к построению полного корневого годографа. Так, на рис. 7.25 чувст­вительность корня при Др/р = 0,10, вычисленная с помощью прямой, проведённой под углом выхода, даёт значение

S'' = 9?9?4е.'.' = 0.74е-;|35' . (7.102)

Р 0,10

Оценка чувствительности корней к изменению параметров очень полезна тогда, когда надо сравнивать влияние различных параметров при различном положении корней. Сравнение выра­жений (7.102) и (7.94) показывает, что модуль чувствительности к изменению Р приблизительно на 50% больше показателя для параметра а, а аргумент 5^. говорит о том, что смещение корня в

сторону мнимой оси более чувствительно к изменению параметра р. Следовательно, на измене­ния р должны быть наложены более строгие ограничения, чем на изменения а. Эта информация даёт возможность установить требуемые допуски на изменение каждого параметра.

Пример 7.7. Чувствительность корня к изменению параметра

Система с единичной обратной связью содержит в прямой цепи передаточную функцию

С(,) = _ВД±3) (7. ЮЗ)

s(s + 2)(s + р)

где р = р0 + Др и р0 = 8. Характеристическое уравнение системы имеет вид:

,y(.v + 2)(.v + 8 + ДР) + 20.7(.v + 3) — 0 ,

или

ф + 2)0? + 8) + ДРф + 2) + 20,7(s + 3) = 0. (7.104)

Если Др = 0, то корни уравнения равны

) = -2.36+ >2,48: г2 = г3 = - 5.27.

Корневой годограф в зависимости от ДР определяется уравнением

!+------ «4^------------- = 0. (7.105)

(s+fj)(s+/j)(s+7-3)

Полюсы и нули уравнения (7.105) показаны на рис. 7.26. Угол выхода корневого годографа из полюса /'! вычисляется следующим образом:

180° = -(Gj + 90° +0^) + (0. + 0^) = -(0j + 90° + 40°) + (133 ° + 98°) . (7.106)

Следовательно, 0(/ = - 80°, и в окрестности корня годограф аппроксимируется прямой ли­

нией с углом наклона 0,;. Изменению корня Art = 0,2е~780 вдоль прямой линии соответствует приращение + Др. которое оценивается с помощью длины векторов, проведенных в точку г, из остальных полюсов и нулей. Таким образом, мы имеем:

+др = МЗ!7т2) = 0,48. (7.107)

(3,25)(2,3)

В результате чувствительность корня г, равна

Д/j 0,2е_/8О° „ _ _,80-

ft

ft

ft

о

-ft

-ft

-ft

*

ж

-5

-3

-4

-2

-1

р

= (

др

А

Ч

др

А

У

5

4

3

-

1

к.

ft

ft

yi

-J1

-ft

-ft

Рис. 7.26. Положение полюсов и нулей, соответствующее параметру р

Рис. 7.27. Положение полюсов, соответствующее параметру у

а это значит, что корень очень чувствителен к изменению параметра р на 6%. Для сравнения полезно определить чувствительность /-j к изменению нуля s = — 3. В этом случае характери­стическое уравнение принимает вид:

ф + 2)(s + 8) + 20,1 (s + 3 + Ду) = 0,

или

20,7Ду

: 0.

1 + -

(7.109)

(s+/j)(s+fj)(s+r3)

На рис. 7.27 показано положение полюсов уравнения (7.109). Угол выхода корневого годогра­фа из полюса г, определяется из соотношения 180° = - (0(/ + 90° + 40°), или

Qii = + 50°. (7.110)

Изменению корня AT, = 0,2е,'5о° соответствует положительное приращение Ду, которое рассчи­тывается с помощью длины векторов как

(7.111)

5,22(4.18)(0,2)

|Ду|=

■ = 0,21.

20,7

Следовательно, чувствительность корня гj при + Ду равна

(7.112)

S'j = = 0-2е/5° = 2.84е/50°

у Ду/у 0,21/3

Отсюда видно, что модули чувствительностей корня гх к изменению полюса Р и нуля у прибли­зительно равны. Однако можно считать, что чувствительность системы к изменению полюса меньше, чем её чувствительность к изменению нуля, потому что аргумент S'j равен + 50°, а это соответствует смещению корня ближе к мнимой оси.

Аналогичным образом можно показать, что чувствительность корня гх к изменению полюса s = — 80 = - 2 равна

= 2,1е/27 (7.113)

Таким образом, модуль чувствительности корня по отношению к параметру 5 меньше, чем по отношению к другим параметрам, но направление его смещения является более критическим, чем при изменениях Р и у.

Применение метода оценки чувствительности корней при анализе и синтезе систем управления требует большого количества вычислений для различного расположения по­люсов и нулей передаточной функции разомкнутой системы. Этот факт, а также то, что далеко не всегда очевидно, в каком направлении должны быть изменены параметры с це­лью снижения чувствительности, несколько ограничивает применение данного метода при синтезе систем управления. Что же касается задач анализа, то этот метод является до­вольно хорошим инструментом, позволяющим оценить и сравнить чувствительность сис­тем различной конфигурации. Недостаток метода заключается в том, что он основан на связи между положением корней на s-плоскости и качеством системы. Но как мы выясни­ли в предыдущих главах, во многих системах положение корней адекватно определяет показатели качества, однако в ряде случаев надо учитывать и положение нулей переда­точной функции замкнутой системы. В целом же метод оценки чувствительности корней является вполне приемлемым при анализе и синтезе систем управления.

СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Требования к качеству системы в частотной области

Мы постоянно должны задавать себе вопрос: какая связь существует между частотными характеристиками системы и ожидаемым видом её переходной характеристики? Другими словами, если задан набор требований к поведению системы во временной …

Измерение частотных характеристик

Синусоидальный сигнал можно использовать для измерения частотных характеристик ра­зомкнутой системы управления. На практике это связано с получением графиков зависи­мости амплитуды и фазового сдвига выходного сигнала от частоты. Затем по этим …

Пример построения диаграммы Боде

Диаграмма Боде для передаточной функции G(s), содержащий несколько нулей и полюсов, строится путём суммирования частотных характеристик, соответствующих каждому отде­льно взятому полюсу и нулю. Простоту и удобство данного метода мы проиллюстрируем …

Как с нами связаться:

Украина:
г.Александрия
тел./факс +38 05235  77193 Бухгалтерия
+38 050 512 11 94 — гл. инженер-менеджер (продажи всего оборудования)

+38 050 457 13 30 — Рашид - продажи новинок
e-mail: msd@msd.com.ua
Схема проезда к производственному офису:
Схема проезда к МСД

Партнеры МСД

Контакты для заказов шлакоблочного оборудования:

+38 096 992 9559 Инна (вайбер, вацап, телеграм)
Эл. почта: inna@msd.com.ua

За услуги или товары возможен прием платежей Онпай: Платежи ОнПай