СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Анализ устойчивости с помощью MATLAB

Этот раздел мы начнем с критерия Рауса-Гурвица и покажем, какое простое и удобное сред­ство предоставляет MATLAB для вычисления корней характеристического уравнения. Если характеристическое уравнение содержит один варьируемый параметр, то можно отразить в виде диаграммы изменение положения корней в зависимости от этого параметра.

В данном разделе будет введена функция for, с помощью которой последователь­ность инструкций повторяется заданное число раз.

Критерий Рауса-Гурвица. Как было отмечено выше, критерий Рауса-Гурвица определяет необходимое и достаточное условие устойчивости. Если задано характеристи­ческое уравнение с постоянными коэффициентами, то с помощью критерия Рауса-Гурви­ца можно определить число корней, расположенных в правой полуплоскости. Например, рассмотрим характеристическое уравнение замкнутой системы, изображенной на рис. 6.10:

q(s) = s3 + s2 + 2s + 24 = 0 .

+

Д(«)—*0

Y(s)

G(s) — 3 2

s + s + 2s + 23

Рис. 6.10

Замкнутая система управления с передаточной функцией As) = y[s)/ff(s) =

= l/Cs3 + s2 + 2s + 24)

Соответствующая таблица Рауса приведена на рис. 6.11. Два изменения знака в пер­вом столбце указывают на наличие двух корней уравнения в правой полуплоскости; сле­довательно, замкнутая система неустойчива. С помощью MATLAB мы можем проверить этот результат, непосредственно вычислив корни характеристического уравнения, как это показано на рис. 6.12. Для этого необходимо использовать функцию pole, которая вычис­ляет корни алгебраического полинома.

Анализ устойчивости с помощью MATLAB

Рис. 6.11

Таблица Рауса для замкнутой системы с передаточной функцией 7s) = 1AS3 + s2 + 2s + 24)

Рис. 6.12

Использование функции pole для вычисления полюсов замкнутой системы, изображенной на рис. 6.10

»numg=[1]; deng=[1 1 2 23]; sysg=tf(numg, deng);

»sys=feedback(sysg.[1]);

»pole(sys)

ans =

-3.0000

1 0000 + 2 <

Корни в правой

1.0000-2.6458І

полуплоскости

Л »

К

1

J *

s + 2s2 + 4s

+

R(s)-

Y(s)

Если характеристическое уравнение является функцией единственного параметра, то
с помощью критерия Рауса-Гурвица можно определить диапазон значений этого пара-
метра, при которых система будет устойчивой. Рассмотрим замкнутую систему, изобра-
женную на рис. 6.13. Характеристическое уравнение имеет вид:

q(s) = s3 + 2r + 4s + К = 0 .

Рис. 6.13

Замкнутая система
с передаточной функцией
T[s) = Ys)/ff(s) =

= K/(s? + 2s2 + 4s + К)

С помощью критерия Рауса-Гурвица мы нашли (см. уравнение 6.12), что система устойчива при 0 < К < 8. Этот результат можно проверить графически с помощью MAT­LAB. Как показано на рис. 6.14(a), мы задали диапазон значений К, при которых хотим вычислить корни характеристического уравнения. Затем с помощью функции roots вы­числили и изобразили траектории корней. Как видно из графика, с увеличением К корни характеристического уравнения смещаются вправо, при К = 8 они оказываются на мни­мой оси, а при К > 8 попадают в правую полуплоскость.

Программа на рис. 6.14 содержит функцию for. Эта функция обеспечивает выполне­ние одной и той же серии инструкций заданное число раз. Она в сочетании с инструкцией end образует цикл повторяющихся вычислений. На рис. 6.15 приведен формат функции for, а также пример ее использования. В примере цикл повторяется 10 раз. На /-м шаге, где 1 < і < 10, г'-й элемент вектора а устанавливается равным 20, а скаляр Ъ пересчитывается.

Критерий Рауса-Гурвица позволяет получить однозначный ответ на вопрос об абсо­лютной устойчивости линейной системы, В то же время он не позволяет судить об отно­сительной устойчивости, которая непосредственно связана с положением корней харак­теристического уравнения. Критерий Рауса-Гурвица говорит о том, сколько корней нахо­дится в правой полуплоскости, но не указывает конкретного положения этих корней. С помощью MATLAB мы можем вычислить точные значения корней и тем самым судить об относительной устойчивости системы.

Пример 6.10. Управление поворотом гусеничной машины

На рис. 6.8 изображена структурная схема системы управления поворотом гусеничной маши­ны. Цель синтеза состоит в выборе параметров К и а, при которых система будет устойчива и установившаяся ошибка при линейном входном сигнале не будет превышать 24% от величины этого сигнала. Для решения этой задачи можно воспользоваться критерием Рауса-Гурвица. Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:

Рис. 6.14

Анализ устойчивости с помощью MATLAB

Действительная ось

а)

(а) Траектории корней уравнения q (s) = s3 + 2s2 + + 4s + К = О

при О < К < 20.

(б) Скрипт MATLAB

б)

% Этот скрипт вычисляет корни характеристического % уравнения q(s)=sA3+2sA2+4s+K при 0<К<20 %

К=[0:0.5:20]; for i=1 :length(K) ^

Цикл для вычисления корней в функции от К

q=[1 2 4 K(i)]; U-------

p(:,i)=roots(q); J end

plot(real(p),imag(p),‘x')1grid

хІаЬеІ(‘Действительная ось'),уІаЬеІ(‘Мнимая ось')

Общий формат

Анализ устойчивости с помощью MATLAB

Рис. 6.15

Функция for и иллюстративный пример

Инструкция end вводится для указания окончания цикла

Пример

for і = 1:10 <~ а(і)=20; Ч - b=a(i)+2*i; end ▲

Счетчик і

а — вектор из 10 элементов

Ъ — скаляр, изменяющий значение при увеличении г

Составив таблицу Рауса, мы получим два условия устойчивости: К < 126 и Ка > 0. Это значит, что мы можем ограничить область поиска значениями 0 < К < 126 и а > 0. Сначала с помощью MATLAB мы найдем границу устойчивости в плоскости параметров К и а. Затем мы сможем найти пары значений (К, а), принадлежащих области устойчивости, таких, которые удовлетво­ряли бы ограничению на установившуюся ошибку. Эта процедура, показанная на рис. 6.16, включает в себя задание диапазона значений К и а и вычисление корней характеристического уравнения для конкретных значений этих параметров. Для каждого К мы найдем первое значе­ние а, при котором по крайней мере один корень характеристического уравнения попадает в правую полуплоскость. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будет пройден весь диа­пазон значений К и а. Найденные пары чисел (К', а) определяют границу между областями устойчивости и неустойчивости.

На рис. 6.16 область слева от графика зависимости а =/(К) является областью устойчивости. Если считать, что r(t) = At, I > 0, то установившаяся ошибка

s(s + 1)(ї + 2)(і + 5) А 10 А

= І1Ш5 =------------------------------------------------------------------- .

s(s + l)(s + 2)(s + 5) + K(s + a) s

Ka

E(s)-

■ад-

При заданном ограничении ess < 0,24А мы имеем:-------------------------- < 0.24 Д или

Ка

Ка > 41,67.

(6.31)

где мы использовали тот факт, что 1

1 + GcG(s)

•ад=

s{s + l)(s + 2)(s + 5) s(s + l)(s + 2)(s + 5) + К (s + a) 10 A

a)

Анализ устойчивости с помощью MATLAB

Рис. 6.16

(а) Область устойчивости в плоскости параметров (К, а) для системы управления поворотом гусеничной машины.

(б) Скрипт MATLAB

б)

Диапазон значений А’ и а

Задание начальных значений векторов диаграммы соответствующей длины

Характеристический

полином

n=length(K); m=length(a); for i=1 :n forj=1:m q=[1,8,17,K(i)+10,K(i)*a(j)]; p=roots(q);

if max(real(p))>0, x(i)=K(i);y(i)=a(j-1); break; end

end i_________________________ ^___________

end

% Определение области устойчивости для системы % управления поворотом гусеничной машины

%

а=[0.1:0.01:3.0];К=[20:1:120]; х=0*К; у=0*К; <

Определение первого значения а, приводящего к неустойчивости при заданном К

plot(x, y),grid, xlabel(‘K’), ylabel(‘a’)

Любые значения К и а, лежащие в области устойчивости на рис. 6.16 и удовлетворяющие усло­вию (6.31), будут считаться приемлемыми. Например, значения К = 70 и а = 0,6 будут удовлет­ворять всем выдвинутым требованиям. При этих значениях передаточная функция замкнутой системы примет вид:

70s+42

Т (S) - —І------ 5 Ч------------- •

s4 + 8s3+17r+80s+42

Полюсы замкнутой системы будут иметь значения:

s = -7,0767, і = -0,5781, 5 = -0.1726 + 3,1995/ и і = -0,1726 - 3,1995/.

Реакция системы на линейный входной сигнал, изменяющийся с единичной скоростью, приве­дена на рис. 6.17. Установившаяся ошибка менее 0,24, как и требовалось.

Анализ устойчивости с помощью MATLAB

В|>смя (с*

о)

Рис. 6.17

(а) Реакция системы управления поворотом гусеничной машины на линейный входной сигнал при К = 70 и a = 0,6.

(б) Скрипт MATLAB

Анализ устойчивости с помощью MATLAB

б)

Устойчивость систем, описываемых переменными состояния. Обратимся теперь к анализу устойчивости систем, представленных моделью в переменных состояния. Предположим, что мы имеем дело с системой, описываемой уравнением (6.22). Ее устой­чивость можно определить по характеристическому уравнению, которое записывается через матрицу А:

Левая часть этого уравнения является полиномом от s. Если все корни характеристи­ческого уравнения имеют отрицательные действительный части, т. е. Re s, < 0, то система устойчива.

Если модель системы представлена в переменных состояния, то прежде всего необ­ходимо найти ее характеристический полином. Это можно сделать несколькими способа­ми. Один из них предполагает раскрытие определителя (si - А) вручную. После этого можно либо вычислить корни характеристического уравнения с помощью функции MAT­LAB roots, либо использовать критерий Рауса-Гурвица, чтобы установить, имеются ли корни в правой полуплоскости. К сожалению, ручные вычисления могут вызвать затруд­нения, особенно при большой размерности матрицы А. Избежать подобных неприятно­стей можно, если прибегнуть к помощи MATLAB.

Характеристическое уравнение можно получить с помощью функции poly, рассмот­ренной в разделе 2.10. Напомним, что эта функция позволяет образовать полином по век­тору его корней. Ее также можно использовать для вычисления характеристического уравнения матрицы А, как показано на рис. 6.18, где матрица А задана в виде

-8 -16 -6

А= 1 0 0

0 1 0

а в результате вычислений получен полином

s3 + 8s2 + 16s + 6 .

Если А — матрица размерности п х п, то функция poly(A) возвращает вектор-строку из п + 1 элементов, являющихся коэффициентами характеристического уравнения.

Рис. 6.18

Вычисление

Коэффициенты характеристического полинома по убывающим степеням

»А=[-8 -16 -6:1 0 0 ;0 1 0]; »p=poly(A)

Р =

1.0000 8.0000 16.0000 6.0000

»roots(p)

ans =

Матрица п х п

характеристического полинома матрицы А с помощью функции poly

p=poly(A)

Характеристический

полином

-5.0861

-2.4280

-0.4859

Система

устойчива

Пример 6.11. Определение области устойчивости в случае неустойчивого объекта

На рис. 6.19 изображена система управления реактивным самолетом. Предположим, что z > 0 и р > 0. В разомкнутом состоянии система неустойчива, т. к. ее характеристическое уравнение имеет вид:

s(s - l)(s + р) = s[i2 + (р - l)s - р] = 0 .

R(s)

—-У(*)

Действительная

ориентация

Заданная

ориентация

Регулятор

Самолет

K(s + г)

1

(s + р)

s(s - 1)

Рис. 6.19. Система управления реактивным самолетом

Заметим, что поскольку один член в квадратных скобках является отрицательным, то характе­ристическое уравнение имеет по крайней мере один корень в правой полуплоскости. Характе­ристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:

s3 + (р -1>2 + (К-p)s + Kz = 0 .

Определим область устойчивости в пространстве параметров К, риг. Составим таблицу Рау­са:

і Ск-р)

(р-1) Kz

ь2

Kz,

где

U _ (p-l)(K-p)-Kz

2 : •

р-1

Согласно критерию Рауса-Гурвица, мы должны потребовать выполнения условий Kz > 0 и р > 1. Полагая Ъ2 = 0, получим:

(р - Ш-Р) - Kz = K[(p-l)-z] - р{р - 1) = 0 .

Следовательно, должно выполняться условие:

К >-

Р(Р - О

(6.33)

(p-)-z Рассмотрим три случая:

.z>(p— 1). Т. к. р> 0, то любое значение К > 0 будет удовлетворять условиям устойчивости.

2. z=(p-l). Не существует таких К,(0<К<сю), при которых система была бы устойчива.

3. z < (р — 1). При заданных риг существует значение К. (0 < К < оо), удовлетворяюшее усло­вию устойчивости (6.33).

Условия устойчивости можно изобразить графически. На рис. 6.20 приведен скрипт MATLAB, позволяющий построить границу устойчивости в трехмерном пространстве. В скрипте испо­льзована функция mesh для построения трехмерной поверхности и функция meshgrid для вы­числения массивов данных, входных для mesh.

На рис. 6.21 приведена трехмерная диаграмма для определения области устойчивости в коор­динатах К, р и z.

Рис. 6.20

Скрипт MATLAB для определения области устойчивости

Область значений р и z для построения сетки

Поверхность

устойчивости

% Определение области устойчивости % системы управления реактивным % самолетом в трехмерном пространстве

%

[p, z]=meshgrid(1.2:0.2:10.0.1:0.2:10); ч-------

k=p*(p-1)./(p-1-z);4- mesh(p, z,k)-<

Построение трехмерной диаграммы

Рис. 6.21

Г раница устойчивости в трехмерном пространстве

Область устойчивости находится над поверхностью устойчивости

Анализ устойчивости с помощью MATLAB

Поверхность

устойчивости

400

СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Требования к качеству системы в частотной области

Мы постоянно должны задавать себе вопрос: какая связь существует между частотными характеристиками системы и ожидаемым видом её переходной характеристики? Другими словами, если задан набор требований к поведению системы во временной …

Измерение частотных характеристик

Синусоидальный сигнал можно использовать для измерения частотных характеристик ра­зомкнутой системы управления. На практике это связано с получением графиков зависи­мости амплитуды и фазового сдвига выходного сигнала от частоты. Затем по этим …

Пример построения диаграммы Боде

Диаграмма Боде для передаточной функции G(s), содержащий несколько нулей и полюсов, строится путём суммирования частотных характеристик, соответствующих каждому отде­льно взятому полюсу и нулю. Простоту и удобство данного метода мы проиллюстрируем …

Как с нами связаться:

Украина:
г.Александрия
тел./факс +38 05235  77193 Бухгалтерия
+38 050 512 11 94 — гл. инженер-менеджер (продажи всего оборудования)

+38 050 457 13 30 — Рашид - продажи новинок
e-mail: msd@msd.com.ua
Схема проезда к производственному офису:
Схема проезда к МСД

Оперативная связь

Укажите свой телефон или адрес эл. почты — наш менеджер перезвонит Вам в удобное для Вас время.