СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Анализ качества систем управления с помощью MATLAB и Simulink

В этом разделе предметом нашего интереса будут показатели качества, характеризующие реакцию системы на входной сигнал, а также установившаяся ошибка, с которой система отслеживает этот сигнал. Мы завершим дискуссию об упрощении линейных систем. Будет введена в рассмотрение функция MATLAB impulse. Мы еще раз вернемся к функции Isim (введенной в гл. 3) и покажем, как эти две функции используются при имитационном моде - лировании линейных систем. Для той же цели мы воспользуемся и пакетом Simu - f' link. Основы Simulink рассматриваются в Приложении Б, а более подробную ин­формацию о нем с рядом примеров можно найти на Web-сайте MCS.

Анализ качества систем управления с помощью MATLAB и Simulink

Качество систем во временной области. Качество системы обычно характеризует­ся ее реакцией на входной сигнал заданного вида. Но поскольку входные сигналы, кото­рые могут реально действовать на систему, заранее неизвестны, то о ее качестве судят по реакции на типовой тестовый входной сигнал. Рассмотрим систему второго порядка, изображенную на рис. 5.35 выходной сигнал в замкнутой системе определяется выраже­нием (в виде изображения по Лапласу):

(5.72)

Анализ качества систем управления с помощью MATLAB и Simulink

Рис. 5.35

Одноконтурная система второго порядка

Мы уже знакомы с применением функции step, с помощью которой вычисляется ре­акция системы на ступенчатый входной сигнал. Теперь мы рассмотрим еще один важный тестовый сигнал — импульс. Реакция системы на импульсный сигнал является производ­ной по времени от ее реакции на ступеньку. Мы будем вычислять эту реакцию с помощью функции impulse, схематически изображенной на рис. 5.36.

С помощью функции step мы можем построить графики, подобные рис 5.5 (а); они приведены на рис. 5.37. Функция impulse позволит нам получить графики, подобные рис. 5.6. Реакция системы второго порядка на импульсный входной сигнал приведена на рис. 5.38. В скрипте принято со„ = 1, что эквивалентно вычислению реакции системы в функции от со„ I. Этот прием позволяет в общем случае получать графики для любых

u(t)

Рис. 5.36 Функция impulse

Анализ качества систем управления с помощью MATLAB и Simulink

- Выход

Импульсный

ВХОД

Система

G(s)=

=sys

y(t) - реакция в момент t Т — время

моделирования

t=T: предлагаемый вектор времени или

t=rT final - КОНЄЧНОЄ

время моделирования (по выбору)

П

[у, Т]—impulse (sys, t)

С=0.1.0.2.0.4.0.7,1.0,2 О

Анализ качества систем управления с помощью MATLAB и Simulink

Рис. 5.37

(а) Реакция системы второго порядка

на ступенчатый входной сигнал.

(б) Скрипт MATLAB

stepresp. m

% Вычисление переходной характеристики систем % Повторение рис. 5.5(a)

%

t=[0:0.1:12];num=[1];

zeta1=0.1; den1=[1 2*zeta1 1]; sys1=tf(num, den1); zeta2=0.2; den2=[1 2*zeta2 1]; sys2=tf(num, den2); zeta3=0.4; den3=[1 2*zeta3 1]; sys3=tf(num, den3); zeta4-0.7; den4=[1 2*zeta4 1]; sys4=tf(num, den4); zeta5=1.0; den5=[1 2*zeta5 1]; sys5=tf(num, den5); zeta6=2.0; den6=[1 2*zeta6 1]; sys6=tf(num, den6);

%

ы 2-го порядка

Вычисление

переходной

характеристики

[y1 ,T 1]=step(sys1 ,t);[y2,T2]=step(sys2,t); [y3,T3]=step(sys3,t);[y4,T4]=step(sys4,t); [y5,T5]=step(sys5.t);[y6,T6]=step(sys6,t);

%

plot(T 1 ,y1 .Тг. уг. ТЗ. уЗ,'—',T4,y4,‘—'.Тб. уб.'і’.Тб. у xlabel(‘omega_n*t'), ylabel(‘y(t)') title(‘zeta=0.1.0.2,0.4,0.7.1.0,2.0’ ),grid

Построение графи­ков и обозначение осей

6,‘:’) <—I

Анализ качества систем управления с помощью MATLAB и Simulink

Рис. 5.38

(а) Реакция системы второго порядка

на импульсный входной сигнал.

(б) Скрипт MATLAB

C-0.1.0.2S.0.S.1.0

a)

б) impresp. m

Анализ качества систем управления с помощью MATLAB и Simulink

Часто возникает необходимость определения реакции системы на произвольный входной сигнал известного вида. В этих случаях используется функция Isim, способ при­менения которой проиллюстрирован на рис. 5.39. С данной функцией мы имели дело в гл. 3, где она применялась к моделям систем в переменных состояния; теперь мы восполь­зуемся функцией Isim в случае, когда система задана своей передаточной функцией. При­мер 5.10 демонстрирует применение функции Isim.

Рис. 5.39

Функция Isim

u(t)

y(t)

Анализ качества систем управления с помощью MATLAB и Simulink

Выход

Л-N

t

Произвольный Система

ВХОДНОЙ

сигнал

t

и = входной сигнал

y(t) - реакция в момент t Т — вектор времени моделирования t - моменты времени, в которые вычисляется реакция на входной сигнал

G(s)=sys

Ти

[y, T]=lsim (sys, u, t)

Пример 5.10. Управление рулевым механизмом подвижного робота

На рис. 5.19 изображена структурная схема системы управления рулевым механизмом по­движного робота. Допустим, что регулятор имеет передаточную функцию

G,(s) = Kl + £l.

s

Если входной сигнал является линейным, то установившаяся ошибка

Анализ качества систем управления с помощью MATLAB и Simulink

где Kv = К2К. Влияние коэффициента усиления регулятора К2 на установившуюся ошибку оче­видно из (5.73): чем больше К2, тем меньше установившаяся ошибка.

Реакцию замкнутой системы на линейный входной сигнал можно вычислить с помощью функ­ции Isim. В скрипте MATLAB можно предусмотреть ввод различных значений коэффициен­тов Кь К2 и К и тем самым исследоаать их влияние на реакцию системы. На рис. 5.40 приведе­ны результаты, полученные при = I, К2 = 2 и т = 0,1.

Упрощение линейных систем. Для системы высокого порядка всегда возможно разработать аппроксимирующую модель пониженного порядка, у которой связь между входным и выходным сигналами будет очень близка к аналогичной зависимости для ис­ходной системы. Процедура подобной аппроксимации рассмотрена в разделе 5.10. В сле­дующем примере показано, как с помощью MATLAB можно сравнить реакции исходной системы и аппроксимирующей ее модели.

Пример 5.11. Упрощенная модель

Анализ качества систем управления с помощью MATLAB и Simulink

Аппроксимация второго порядка (см. пример 5.9) имеет вид:

Анализ качества систем управления с помощью MATLAB и Simulink

На рис. 5.41 для сравнения приведены переходные характеристики этих моделей.

Рассмотрим систему третьего порядка:

Рис. 5.40 а)

Анализ качества систем управления с помощью MATLAB и Simulink

0123456789 Время 1C»

(а) Реакция системы управления рулевым механизмом подвижного робота на линейный входной сигнал.

б) mobilerobot. m

Анализ качества систем управления с помощью MATLAB и Simulink

(б) Скрипт MATLAB

Пример 5.12. Анализ системы управления креном самолета с помощью Simulink

Каждый раз, когда вы летите на самолете, вы на личном опыте можете оценить все достоинст­ва систем автоматического управления, помогающих пилотам вести машину. Точная матема­тическая модель, описывающая поведение самолета в воздухе, представляет собой систему не­линейных дифференциальных уравнений с переменными параметрами. В нашем примере при синтезе автопилота мы воспользуемся упрощенной моделью динамики самолета в виде пере­даточной функции, связывающей отклонение элеронов и угол крена самолета, как это схема­тически показано на рис. 5.42 (а). На рис. 5.42 (б) изображена замкнутая система управления положением самолета в воздухе, цель которой состоит в поддержании угла крена, близкого к нулю градусов, т. е. <р(, = 0, в условиях непредвиденных внешних возмущений.

На рис. 5.43 показано, как использовать Simulink для анализа системы управления. Вы можете двойным щелчком кнопки мыши на соответствующем блоке (коэффициент усиления регуля­тора, привод элеронов, динамика самолета, гироскопический датчик крена) открыть всплыва­ющее окно и задать в нем нужные вам параметры. Например, на рис. 5.44 показано, какие дей­ствия надо совершить, чтобы задать коэффициент усиления регулятора. Чтобы всплывающее окно не заслоняло структурную схему, вы можете щелкнуть мышью в любом месте строки за­головка главного окна, а затем щелкнуть на всплывающем окне и перетащить его в нужное по­ложение на рабочем столе.

(б)

Анализ качества систем управления с помощью MATLAB и Simulink

Врем» (cjt

Рис - 5.41

{а) Сравнение переходных характеристик исходной системы третьего порядка и ее аппроксимации моделью второго порядка.

(б) Скрипт MATLAB

stepcomp. m

% Сравнительная оуенка переходных характеристик

% His)-

ї3 + bs2 + 1 Is + 6

num1=[6]; den1=[1 6 116]; sys1=tf(num1,den1); num2=[1.6J; den2=[1 2.584 16]; sys2=tf(num2,den2); t=[0:0.1:8];

L6

L(s) =

[y1,T1]=step(sys1,t);

s" + 2.584s + 1.6

Анализ качества систем управления с помощью MATLAB и Simulink

Рис. 5.42

(а) Управление углом крена самолета с помощью элеронов.

(б) Автопилот, управляющий углом крена

[y2,T2]=step(sys2,t); plot(T 1 ,у1 ,Т2,у2,‘—'),grid хІаЬеІ(‘Время (с)‘),уІаЬеІ(‘Переходная характеристика1)

Плоскость

симметрии

Угол крена, ф

Анализ качества систем управления с помощью MATLAB и Simulink

б)

Анализ качества систем управления с помощью MATLAB и Simulink

<P(S)

Угол

крена

Панель заголовка I

І Панель инструментов |

/ _______________

V

£<$ У** : Трої*

ТЛГ'

о і & вй 11 *.* it: й і,,*» ть

Рис. 5.43

Рабочее окно Simulink с заданием динамики самолета, регулятора и привода элеронов

Aiiouft dynamic#

Сел troll «і «яш Aileron actuate»

11.4 *2*1 Л

Ш—9—Е>

О

Анализ качества систем управления с помощью MATLAB и Simulink

Рис. 5.44

Всплывающее окно,

используемое

для изменения

коэффициента

усиления

регулятора

гшдґ

Двойным щелчком мыши выделите блок, чтобы получить доступ к списку параметров

Введите сюда желаемое значение коэффициента

усиления

Завершите процедуру щелчком на ОК

Как только вы измените параметры во всплывающих окнах, они сразу же появятся и на струк­турной схеме. На рис. 5.45 и 5.46 показаны открытые окна для задания динамики привода эле­ронов и самолета. Основными элементами системы управления являются регулятор, Gc(s) = К, привод элеронов.

г / 10

G„(s) = -

j+10

и самолет,

11.4

2 1 s + 1,4s

Перед началом решения задачи необходимо установить время окончания моделирования. Для этого в меню Simulation выберите опцию Parameters, как показано на рис. 5.47. Всплывающее окно Simulation Parameters дает доступ к различным программам численного интегрирова­ния и позволяет задать время начала и окончания моделирования.

Произведя необходимые изменения, нажмите кнопку ОК. Для начала моделирования выбери­те опцию Start из меню Simulation, как показано на рис. 5.48. в результате программа присту-

рto X<**k

OcSHS *

АіЮжП dynimlo»

Ш—*Q—

Рис. 5.45

Всплывающее окно, используемое для изменения передаточной функции привода элеронов

block Pdiameter-. Aileton dcluatur

j* " •*—

- : Wjttwwpcwtmic* denombsWf.

10

s+10

лСМріДЙ^вдоіЬІЬегшІ^.^іоміпімгммикх. Coef&atritBr ;Кх<Ы59п*врсж(*»<**, '-n;V<

-P«fne*e»:

*h№Mtct

Щщ —

Denonfoala.,

________

g:i

ІйвдГ

•і ''***'<*■'“ ___

]м*о

—г^"“......

^|£ЖРІ с««* Ґ а* І ьф І

Завершите процедуру щелчком на ОК

Введите сюда коэффициенты полиномов в числителе и знаменателе

0» J£6w і gfrnJaton ffgaA JbcU Ueto

Q іЙВв * - ft И, U-.:a' Ш a «. *i ► «-

Рис. 5.46

Всплывающее окно, используемое для изменения передаточной функции самолета

L14

G(s) =

■?(s + 14)

TundWFcn

І МЛЬ expmttnfifol nuroeHto. v»C*oc i»yxMm> Ux «JencVnotfxx

CoeJfcienUbe

!itf вМчдгквдрсжеЬЬгг/

” - v.

.Hymento:.

У - - =V, ,» ;

і jl"«1

. &0П0й^Й)М

I Jm-40i

*ijr* :*6

I auto

J

Завершите процедуру щелчком на OK

Введите сюда коэффициенты полиномов в числителе и знаменателе

пит к решению задачи и будет делать это пока не наступит заданный момент окончания моде­лирования. Вы также можете начать и прервать моделирование с помощью кнопки панели ин­струментов, как показано на рис. 5.48.

Вывод на экран графика решения задачи производится при помощи опции Scope (см. Прило­жение Б). На рис. 5.49 приведен результат моделирования для случая, когда задан коэффици­ент усиления регулятора К = 0,16. Вы можете изменить любую передаточную функцию или любой параметр и оперативно наблюдать, как это отразится на решении задачи.

► О

Анализ качества систем управления с помощью MATLAB и Simulink

Ailtion actuatot

Aircuft dynamics

Рис. 5.47

Выбор в меню Simulation опции Parameters

Ш—*9—

J Simulation Parameters. aircraft

ScJve* I Wafcspecel/oj Diagnostics | Advanced] Step time: ] 25.0

Анализ качества систем управления с помощью MATLAB и Simulink

Завершите процедуру щелчком на OK

Установите здесь время окончания моделирования

Рис. 5.48

Начало

моделирования

Ф] > я

Анализ качества систем управления с помощью MATLAB и Simulink

Для начала моделирования щелкните на Start

/

Моделирование можно также начать нажатием этой кнопки

Controller (jam Ailtion actuator Aircraft dynamic*

Ш **>->£>

-o-

Start the fimulatiofi

СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Требования к качеству системы в частотной области

Мы постоянно должны задавать себе вопрос: какая связь существует между частотными характеристиками системы и ожидаемым видом её переходной характеристики? Другими словами, если задан набор требований к поведению системы во временной …

Измерение частотных характеристик

Синусоидальный сигнал можно использовать для измерения частотных характеристик ра­зомкнутой системы управления. На практике это связано с получением графиков зависи­мости амплитуды и фазового сдвига выходного сигнала от частоты. Затем по этим …

Пример построения диаграммы Боде

Диаграмма Боде для передаточной функции G(s), содержащий несколько нулей и полюсов, строится путём суммирования частотных характеристик, соответствующих каждому отде­льно взятому полюсу и нулю. Простоту и удобство данного метода мы проиллюстрируем …

Как с нами связаться:

Украина:
г.Александрия
тел./факс +38 05235  77193 Бухгалтерия
+38 050 512 11 94 — гл. инженер-менеджер (продажи всего оборудования)

+38 050 457 13 30 — Рашид - продажи новинок
e-mail: msd@msd.com.ua
Схема проезда к производственному офису:
Схема проезда к МСД

Оперативная связь

Укажите свой телефон или адрес эл. почты — наш менеджер перезвонит Вам в удобное для Вас время.