ПРОМЫШЛЕННАЯ ТЕПЛОПЕРЕДАЧА ТЕОРИЯ И ЕЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ПРИМЕРЫ

Общие решения уравнения теплопроводности и важнейшие случаи его применения при решении практических задач

Ниже излагаются те важные практические задачи, которые либо дают конечные решения простой формы, либо могут быть использованы в виде кривых и таблиц. При этом приводится лишь общий ход выводов и меньшее значение придается их по­следовательности. Те чцтатели, которые интересуются лишь прак­тическими решениями обсуждаемых задач теплопроводности и не придают значения знанию методов их получения, могут пропу­стить эту главу и пользоваться примерами расчетов, данными в разделе на стр. 438.

Математика дает различные решения* дифференциального уравнения (55)- Простейшим является случай, когда температу­ра не зависит от времени, т. е. наблюдается постоянный во време-

Д В

Ни тепловой поток. Тогда — =0 и уравнение (55) принимает вид

* дх2

Решение этого уравнения приводит к известному закону Фурье для стационарного теплового потока, выраженному уравнением (2а). Если, напротив, температурное поле изменяется во време­ни, то получаются значительно более сложные решения уравнения

(55) , а именно:

& =

= A + B

■ x + C - e~p x •

Eqx-

(60)

& =

=A + B■

■ cos (qx)

(6i)

& =

--A+B-

X + C ■ e~at''

• sinfax);

(62)

-(«-*)*

& =

= A + B

T. С • x ----------- — • e

4a x

T

(63)

V т

* См. например, Н е 1 m h о 11 z, H., Vorlesungen ьber Theorie der Wдrme (Leipzig, Johann Ambr. Barth 1903). S. 36/46 u. 69/147.

2 ”]/" а т

Ъ = А + Вх + С-^[ • в“4[9] - сг^ (64)

Т)=0

Здесь величины Л, В, С, р, ^ — константы интегрирования, ко­торые могут быть равны нулю и являться положительными, от­рицательными или мнимыми величинами. Все эти примеры яв­ляются разновидностями решения уравнения (60), которое по­этому считается основным. Приведенные выше уравнения (60)— - (64) являются действительными решениями, в чем можно убе­диться при выводе частных формул и сравнении их, как это бы­ло описано при выводе уравнения (55). Теперь возникает вопрос: применимо ли к данной задаче какое-либо из этих решений или к ней можно применить сразу несколько решений? На этот вопрос необходимо ответить, так как соответственно с этим при реше­нии проверяют выполнение пространственных и временных ус­ловий (краевых, или граничных), после чего их соответствующим образом преобразовывают. Прежде всего необходимо убедиться в том, что каждое из решений применимо и дает правильные результаты. Поэтому не следует опасаться, что выбор неподходя­щего решения может привести к ошибке. Напротив, при по­пытке воспользоваться непригодным решением его неприемле­мость обнаруживается сама собой. Для пояснения этих положе­ний в дальнейшем необходимо рассмотреть дополнительно ма­тематические формулировки важнейших случаев.

Внезапное однократное изменение температуры поверхности бесконечно толстой стенки

Дана стенка бесконечной толщины с коэффициентом темпе-^ ратуропроводности а м2/час, начальна^мпература>,.котар©1Нтб::-# всюду одинакова и составляет^^йз^С^и поверхность которой при­обрела и сохраняет температуру ®Пов°С*. Тогда температура на расстоянии хм от поверхности через т часов составит

* = »по. + (»на, - *пов) • к (—°С. • (65)

2 У а т /

Функция /1 представляет собой «интеграл ошибок» Гаусса, зна­чение которого определяется по кривой, изображенной на рис. 5.

Тепловой поток, протекающий через плоскость, взятую парал-^ лельно поверхности на расстоянии хм от нее, спустя т часов со-

Ставит:

Х*

4 а х

(66)

подпись: (66)Ккал/м*'Час.

У а • п - т

(67)

подпись: (67)

Рис. 5. Функция /1

подпись: 
рис. 5. функция /1
Тепловой поток через поверхность через т часов а= М»няч-«пов)_ ККаЛ1м*-час. 1/а-я - т

Ьйг)

За первые т часов через поверхность пройдет полное количество тепла:

(68)

подпись: (68)<2общ = 2: М»я, ч-»по,) |Д. ККал/М2.

Уа*

Вывод. Лрй решении задаемся краевыми условиями. Для т=0 и X — х »внутри стенки)

Ч ^ == ^нач

И для т = 0 и л: = 0 (на поверхности стенки)

® == ^пов•

Главной областью применения этих уравнений является изучение распро­странения тепла в грунте при постоянной температуре поверхности (каналы генераторного газа, регенераторы печи и т. д.).

На рис. 51 и 52 (см. стр. 308) даны графики функции е в зависимости от показателя степени (см. пример на стр. 438). Теперь попытаемся согласо­вать последовательно решения уравнений (60) — (64) с граничными усло­виями. По уравнению (60)

Для т — 0 должно быть

подпись: для т — 0 должно бытьЬ = А +Вх + С - е-р' • е*х; Ъ = А + В - х + С • е*х-’

ПЕРЕДАЧА ТЕПЛА ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬЮ

57

подпись: 57Т. е. с удалением от поверхности по оси х температура в начальный момент должна расти или уменьшаться по закону показательной функции (в зави­симости оттого, является q положительной или отрицательной величиной). Следовательно, уравнение (60) [10] применимо только для этого случая. Так как это не соответствует заданным начальным условиям, необходимо попы­таться применить следующее решение. По уравнению (61)

Ъ = А + В-х + С - (Taqt х. cos (<7 • х), если х *» 0, получаем

Т. е. температура поверхности должна во времени изменяться по экспоненте, что не соответствует заданным краевым условиям. Поэтому это уравнение также применить нельзя.

По уравнению (62) третье решение:

» = А + В • х + С • в-0«’т sin (q • *)

Или для начального момента времени (т — 0):

Ъ = А +£ • х - f С sin (q • х).

Это уравнение нужно рассмотреть более внимательно, так как для х = О будет Ф = А = const, и jto краевое условие выполнимо. По теории рядов Фурье такое чередование периодических функций sin или cos возможно и позволяет выразить любую заданную функцию. Следовательно, на поверх­ности (х = 0) должно быть:

Л = V

Но здесь возникает следующее затруднение. Раз толщина стенки беско­нечна, период полученной фун-кции будет бесконечно велик. Преодолевая это затруднение, Фурье создал свою теорию «интегралов Фурье», которая приводит к решениям уравнений (63) и (64) [11].

Решение равенства (63)

_ (*-*)»

8 = А + В ■ X + ~г-~ ■ е 4в * ;

, У х

Для т = 0 третий член уравнения будет равен нулю; Если же положить-. В = 0, то можно выполнить заданное краевое условие на поверхности:

Л

§Xss 0 = А = const.

Однако, если найдется точка, для которой х = q, опять возникает з^труд-

(4-х)*

Нение. Для этой точки выражение ---------------------------- для всех значении т равно нулю,

4а т

- (4-х)*

^ 4 ах

А выражение --------- —-------- для т = 0 будет равно бесконечности. Таким об-

V т

Разом, это решение также неприменимо.

Последнее решение дается уравнением (64)

2/ат

Ъ = А+В ■ x + C—^zr Г. в-ч* .dij.

V* J 11-0

X

Здесь необходимо принять во внимание, что' выражение--------------- ------ для х = 0

2 Vax

2 Г

И t * 0 будет равно нулю. Выражение—— le есть не что иное, как

V ТС J о

Х

«интеграл ошибок» Гаусса и для всех значений rj=——гможно найти в таб-

2 TOC o "1-5" h z Vax

Лицах (см. рис. 5). Для к = 0 он будет равен нулю и для г = оо единице. Для краевых условий х = 0, т = 0 из уравнения (64) получим:

Й = $0 = Л. (69)

Для х — х при Т = 0

•з-0 = A+B. x + C = bHi4. (70)

Так как по этому уравнению с увеличением х должна расти или убывать

Величина Фнач. что противоречит предположению, то В должно быть равно

Нулю. Следовательно,

^нач = ^ “Ь (70а)

Но, так как по уравнению (65) А = Ф0, то

С = $нач— «о. (71)

т. е. получается, что последнее решение удовлетворяет как начальному гра­ничному условию ( $№*=8Нач ), так и граничному условию на поверхно­сти для х = 0, '0' « 'О'о - Гак как никаких других краевых условий не постав­лено и не встретилось прерывности функции, как в предыдущем решении, то математическая формулировка для поставленной задачи найдена. Следова­тельно, по уравнениям (64), (69) и (71)

V7

Или сокращенно

подпись: v7
или сокращенно
» = 9» +(»на,-А) • f • в_Т‘‘ • dr> (72)

* J.

6 — $о + (^нач — »о) * /1 (------------- ^ °С. (72а)

2 Кет /

Отсюда с помощью графика (см. рис. 5) легко рассчитать температуру на любом расстоянии х м о г поверхности и для любого времени т. Количество тепла, поступающее внутрь или выходящее изнутри стенки через поверхность с постоянной температурой, рассчитывается по закону теплопроводности [см.

Уравнение (2)]. Сообразно с этим количество тепла, протекающее через стен­ку, составит

ДЬ

TOC o "1-5" h z О =2 X • — ккал/м1-час. (73)

/ дх

ДЬ

Следовательно, необходимо рассчитать ~ • Теперь получим *

2 У а т 2 У а т

Р d f - е~ч* .di) _ х2

<Э _т, , 0 Зі) “ 4а т 1

---- ; Є ч dr| =------------------------ • ----- =е •---- —:

дх J di] дх 2 У at

О

Или по уравнению (72))

Если это »выражение подставить в уравнение (73), то определим количество тепла, протекающее через сечение, расположенное иа расстоянии х м от по­верхности:

X»

4а х

В

0 = X (&нач — д0) .----- 1 ккал/м2 • час. (74)

V а • те • т

Как видно, количество тепла, протекающее через 1 лі2 сечения, сильно умень­шается по мере удаленйя от поверхности по оси х. Тепловой поток, прохо­дящей через поверхность (х = 0), определятся по уравнению (74):

(/ = X. -^нач......... ^1- ккал/мг-час. (75)

V а • те • т

Суммарное количество тепла, поступающее в стенку за период первых т ча­сов. составит

Р X • (&нач — »о) л / «

<?0бщ = I --------- —:------ л т ккал/м*

J ]/ а • те • т

О

Или после интегрирования

Ообщ = ккал/м%. (76)

Ка • *

Из-за бесконечно большого перепада температур в первый момент тепловой яоток согласно уравнению (75) для % 8=8 0 за бесконечно короткий промежу­ток времени будет бесконечно велик. Знак минус (Фо > Фнап} перед ф имеет лишь формальную причину *, которая »определяет направление потока, в то время как в численных значениях ничего не изменяется.

/ Из уравнения (70) следует, что с помощью примененного решения мож-

I Но также определить начальный температурный перепад в стенке. Следова-

I Тельно, начальные условия изменяются таким образом, что для х = 0 внутри ^ бесконечно толстой стенки температура увеличивается или уменьшается по

4 закону:

& = $нач ^Ьх °С.

Тогда для х ~ 0 и х = х по уравнению (64) при «интеграле ошибок», равном 1,

О == 9нац ^ Ьх — А В • х - С; (77)

Далее, для т = 0 и х = 0 по условию задачи ■0, = 'О, о, а следовательно, по ура]#нению (64)

Л = & о-

Подставляя это значение в уравнение (77), получим:

0 = ^нач £ Ь*Х.

Это уравнение справедливо для всех значений х, если

В-±Ь

X

И

Ь0 + С — 0цач

Или

С = &нач •

Поэтому для такого случая решение запишется ^

& = $0 ^ + (^нач — &о) Л. ( ~ ^ • (78)

гУах )

Соответственно, тепловой поток» через сечение определится выражением

X»

4а т

(79)

Д = X I ± Ь + (8нач — ®о) • —--- ------------- Г ккал/м*-час

[ Уа*т

И тепловой поток, протекающий через поверхность,

' = X • (± Ъ + —.............. ккал/м2’час. (80)

Vа • * • ^ /

Здесь К. Ъ ккал/м2 • час означает постоянный по времени первоначальный тепловой поток, который соответствует перепаду температур Ь (—— = Ь).

ИХ

Уравнение (80) показывает, что после очень длительного промежутка вре­мени снова устанавливается первоначальный температурный перепад Ь. При этом необходимо знать условие, когда применимо уравнение (80). Внешние

Г**

—величина отрицательная.

Причины, вызвавшие первоначальный перепад температуры, должны сущест­вовать также и после изменения температуры поверхности, т. е. в бесконеч­ности (или на второй поверхности стенки) должно быть отобрано такое же количество тепла А,, Ь, какое было необходимо затратить, чтобы вызвать температурный перепад Ь до наступления момента времен« х = О.

Внезапное однократное изменение температуры поверхности стенки толщиной 5 м

Приближенные формулы. Так как свойства стенки конечной толщины при кратковременных изменениях температуры те же, что и стенки бесконечной толщины, то выведенные выше формулы для бесконечно толстой стенки[12] применимы до известного момен­та, считая от начала нагревания, а также для стенок конечной толщины. Получается, что формулы приближенно применимы др тех пор, пока для первоначально холодных стенок, находящихся на открытом воздухе, выполняется условие

-^>0,6 2 Уаг

Или, пренебрегая начальным состоянием стенки,

2|/а т

Тогда температуры определяются по уравнению (65), а тепловой поток — по уравнениям (66) — (68)[13].

Общие решения уравнения теплопроводности и важнейшие случаи его применения при решении практических задач

Называет уравнение (66), будет мало до тех пор, пока величина /|

подпись: называет уравнение (66), будет мало до тех пор, пока величина /|Вывод. Очевидно, уравнения, полученные для бесконечно толстой стен­ки, должны быть применимы повсюду там, где изменение теплового потока, протекающего через вторую ограничивающую поверхность стенки, еще незна­чительно, т. е. повышение температуры на второй. поверхности еще мало, В этом случае изменение температурного поля во времени и пространстве в стенке конечной толщины можно определить довольно точно. Повышение температуры на второй поверхносии первоначально холодной стенки, как по-

Близка к единице. Этот случай, согласно рис. 5, справедлив для больших зна-

X X

Чений ----- иг - Величина------- щ; будет большой для толстой стенки и малого

2У а*т 2]/^а-т

Промежутка времени, - например для стенки толщиной 200 мм за 1 час. Какие же отклонения возникают в этой стенке по истечении длительного проме­жутка времени? Если коэффициент теплоотдачи от стенки к окружающей среде поддерживается всегда таким, что обусловленная им потеря тепла равна количеству тепла, проходящему через соответствующее сечение бес­конечно толстой стенки, то температурное поле конечной и соответствующей
части бесконечно толстой стенок было бы в течение длительного времени одинаковым. Необходимо предположить, что температура окружающей среды соответствует начальной температуре стенки Онач. Тогда теплоотдача от по­верхности, нагретой до О0, к окружающей среде составит

Д =<х(&— &нач) ккал/м1 час.

Этот тепловой поток должен быть равен тепловому потоку, проходящему через сечение, взятое в бесконечно толстой стенке параллельно ее наружной поверхности и отстоящее от нее на расстоянии 5 м. Согласно уравнению (74), он равен

X*

4а х

Е

0= X ($нач — $о) *----- ".......... " ккал/м* час.

/ а • л • т

Приравнивая правые части вышеприведенных уравнений, нахбдим коэффи­циент теплоотдачи, необходимый для установления желательного теплового потока:

X*

X (йНяч — 9ц) * В

А = —---■•■■ - ------------------ ккал/м*-час-°С. (81)

У^а * гс • т ($ &нач)

Так как распределение температур в стенке конечной толщины и в беско­нечно толстой стенке должно быть одинаковым, то О определяется из урав­нения (65). Если начальная температура стенки 'б, Нач= 0, а О определяют по уравнению (65), то искомый коэффициент теплоотдачи

SHAPE \* MERGEFORMAT Общие решения уравнения теплопроводности и важнейшие случаи его применения при решении практических задач

І»

4 а х

подпись: і»
4 а х

X • е

подпись: x • еКкал/м2 * час -°С. '(82)

Я2

Зависимость коэффициента теплоотдачи от ---------------- , определяемая по этой

4а**

Формуле, дана на рис. 6. Рисунок показывает, что большинство значений коэффициента теплоотдачи, часто встречающихся на практике, находится в2

В области значений —-------- , составляющих от 0,4 до 1,5. Величина 1,5 для

4а* т

В2 5

*---- соответствует 1,2 значения ------------- ------- , данного на рис. 5. Согласно

^ 2Уа-х

Рис. 5 для этого значения функция /1 I-------------- щ.) уже равна 0,91 и, следова-

2Va-,

Тельно, близка к единице. Так как с дальнейшим увеличением ——истенка

2 Уа-х

Конечной толщины все более приближается по своим свойствам к бесконечно7 толстой стенке, то можно сделать вывод, что формулы приближенно дей-

В2

Ствительны для стенки конечной толщины до тех пор, пока ----------------------- > 0,4

4а - х

Или соответственно -------- > ОД Ниже этого значения в стенке конечной

2 V а • т

Толщины устанавливается стационарное состояние, при котором уравнение (65) недействительно. Необходимо еще раз подчеркнуть, что эти выводы действительны лишь в там случае, когда начальная температура стенки мала и приблизительно совпадает с постоянной в течение длительного времени температурой окружающей среды. Следовательно, формулы будут применимы главным образом для случая первоначально холодной стенки, находящейся на открытом' воздухе.

Общие решения уравнения теплопроводности и важнейшие случаи его применения при решении практических задач

Рис. 6. Изменение коэффициента теплоотдачи на второй поверхности стенки

Точные формулы. Американские ученые Е - Д. Вильямсон и Л. X. Адамс [14] рассчитали изменение температуры в середине пластины, шара, цилиндра и квадратного бруса в случае вне­запного изменения температуры поверхности. Если первоначаль­но во всем теле господствует равномерная температура Ь, ач и вдруг вся поверхность приобретает температуру ф0, сохраняя ее до конца, то температура в середине тела

» = %+ »о)/.(-^•)вс, ' (83)

Где 5 — толщина стенки, диаметр шара или цилиндра или длина стороны поперечного сечения бруса, м. Функция /*2 определяется по кривым, изображенным на рис, 7 (см. числовой пример на стр. 440).

Вывод. Ниже будут рассмотрены только процессы в стенке толщиной $л(с бесконечно большой поверхностью; это ограничивает задачу лишь одной координатой, т. е. указанной толщиной стенки.

Начало координат располагаем в средней плоскости стенки, так что по-

В 5

Верхности характеризуются координатами + - т - и — . Начальная тем-

» * ^

Лература стенки может быть выражена любой заданной функцией расстоя-

Общие решения уравнения теплопроводности и важнейшие случаи его применения при решении практических задач

Рис. 7. Изменение температуры в центре различ­ных тел при внезапном изменении температуры поверхности:

I — пластина; 2 — брус квадратного сечения бесконечной длины; 3 — цилиндр бесконечной длины; 4 — куб; 5 — цилиндр, высота которого равна диаметру; 6 — шар

«ия х от средней плоскости. Следовательно, начальное распределение тем­ператур можно представить следующим образом

»=/(*)•

Температура обеих поверхностей должна быть постоянной величиной, рав­ной Фо °С.

Таким же методом, что и в задаче, рассмотренной ранее, находим, что на этот раз уравнение (61)

_ аа% т

О = А + Вх + С-е соэ^-х) (84)

Пригодно, так как начальные условия выполняются. Согласно краевым усло­виям, температура обеих поверхностей должна быть всегда постоянной; еле*

»0 = Л+В. - у+С. є-“*’'cos (85)

(86)

подпись: (86)

S

И для х = — —

подпись: s
и для х = — —
> = А~в' 1~ + с'в 04*г' cos(9'l')*

S S

Так как cos(—<7—) равен cos(-f<7~).

Из уравнений (85) и (86) црежде всего следует, что температура Фо

S

Лишь тогда постоянна, т. е. независима от т» когда cos q тш^т = 0. Это ра­венство соблюдается в том случае, если

7Г Зтс (2п — 1) те

TOC o "1-5" h z Я = —, ---------- , , (87)

S S S

Т. е. для бесконечно многих, но вполне определенных значений q. На осно­вании этого определяем температуры обеих поверхностей стенки

Ъ0 = А + В-^~ (88)

2

2 *

Следовательно,

А+В— = А-В —

2 2

Это уравнение может быть справедливо только при В = 0. Тогда из уравнения (88) следует, что

А = Ъ 0. (90)

Основываясь на этом, из уравнений (84), (87), (88) и (90) получим

(2п — 1)атс*а х

~~ х* (2 п — 1) 7хг д:

Ъ = Ъ0 + Сп-е * соз ------ ^------- . (91)

Это уравнение, как мы только что видели, удовлетворяет условиям на по­верхности для любого целого и положительного значения, т. е. для л = 1,

2, 3, 4..... оо [(2л—П —всегда нечетное число!].

Если примем, например, п = 1, то получим

J* те • X

$ = 4" С • є • cos"

S

И для начальных условий, т. е. в случае т = 0,

&о + С • cos-^(92)

5 А. Шак

Очевидно, по это^у уравнению нельзя определить началькую температуру стенки, которая должна быть всегда равна ОнаНо, как показывает теория рядов Фурье, каждая функция, в том числе и постоянная величина, может быть представлена суммой выражений типа уравнения (92), т. е.

/1=00

TOC o "1-5" h z / (*) = *н., = »0 + 2 • С„ • cos (2аТЛ>?*. (93)

П = 1

При этом по теории рядов Фурье постоянная Сп равна:

+S

(2л — 1) тс л: в л

Cos ■ • dx (Онач — 1

S

Сп — * --------------------------------------------------------------- . (94)

С. (2n — l)it* j

I «cos*---------------- dx

—5

После интегрирования получаем

°п = (2л — 1) я (®вач “ &о) ’ (95)

Где знак плюс соответствует всем нечетным значениям п. Тогда уравнение (93) примет вид

П Г 4 тс х 4 Зтгх

^нач — “Ь (^нач — ®о) * cos 0 cos ~f"

I Те S Зтс S

4 5те х 4 7пх 1

4-------- cos------- —------- - cos--------- Н---- ... . ^ (96)

Т 5тс s 7тс s J

Теперь мож1но проверить, действительно ли с помощью найденного ряда Фурье можно выразить постоянную начальную температуру 0,а. В самом деле, уравнение (96), например, для х = ±0 (середина стенки) преобразуется следующим образом:

Онач = $0 4- ($нач ^о) * ^ ^ ^ ^ + • • • J»

^нач = ^нач*

Те

Так как выражение в скобках равно.

Аналогично уразнение (96) было бы справедливым для любого другого

5

Значения х, которое лежит между 0 и ± -j-. С другой стороны, правая часть

S

Уравнения (96) для х = ± (поверхность стенки) принимает значение Фо*

Что соответствует поставленной задаче.

Подставляя найденное значение С п в уравнение (91), получим

А *а

Ft = Oq - f* (Онач — 00) fe • COS

Те S

9те*а х 25к2а г

Или сокращенно

(2п — 1 )2а кат

» = »о + (»на[15]~--- 2n~^~l------ C°S (2П!)ПХ ■ <97a>

П = 1

Это и будет решением поставленной задачи. Оно дает возможность опреде­лить температуру б любой точке плиты для любого момента. Если бы начало координат находилось не в середине стенки, а на ее поверхности, то получи­лось бы совершенно аналогичное решение, но с применением синуса вместо косинуса.

Стенки толщиной в м в теплопередающей среде постоянной

Температуры

В предыдущей задаче рассматривалось собственно изменение температуры самой поверхности*. Теперь необходимо решить за^ дачу, когда пластина толщиной в м омывается с обеих сторон га­зом (или жидкостью), имеющим постоянную температуру &г °С, причем коэффициент теплоотдачи равен а ккал/м2-час-°С[16].

Равномерная начальная температура пластины равна &нач °С. Тогда температуру поверхности пластины через т часов можно определить по уравнению

TOC o "1-5" h z »0 = »г + (»„а,-»г)/з(-^, ^)°С’ <98>

А температуру средней плоскости

»ср=»г + (»нач-»г)-/4(-^, -^у-)°С - (99)

Количество тепла, полученное стенкой за первые т часов, соста­вит

<2 = в • с • т (&нач — аг) /5 ккал/м2. (100)

Функции и, /ч, были рассчитаны Г. Гребером[17] и могут быть взяты из графиков, изображенных на рис. 8, 9, 10 (см. числовой пример на стр. 442).

Вывод. Температура поверхности пластины Фо, 'Правда, не постоян­на, как в предыдущей задаче, но определяется простым условием. Количе­ство передаваемого тепла

Д = а (йг — $0) ккал/м*-час (101)

Должно быть равно количеству тепла, проходящему через вгнешний слой пластины,

/ д

(102)

подпись: (102)Л = X • I------- 1 ккал/мг-час

дх )Хгш .

КЯИ№

КЯІ10№

ЕВ1ШЯ

КН1М

Ю№Б

 

В 00 т 0.103 О! V 10 6,0 т НО цо

Ж

 

Общие решения уравнения теплопроводности и важнейшие случаи его применения при решении практических задач Общие решения уравнения теплопроводности и важнейшие случаи его применения при решении практических задач

Рис. 8. Изменение температуры поверхности стенки тол - шиной в м при теплообмене с окружающей средой

подпись: рис. 8. изменение температуры поверхности стенки тол- шиной в м при теплообмене с окружающей средой Общие решения уравнения теплопроводности и важнейшие случаи его применения при решении практических задачСо* ШЦ! уматШго То ю. о но чо 1 %

Следовательно,

подпись: следовательно,Рис. 9. Изменение температуры в средней плоскости стенки толщиной 5 м при теплообмене с окружающей средой

/

А(»г-»,) = ^К-

При решении »предыдущей задачи оказалось, что косинусоидальная функ­ция пригодна для описания симметричного распределения температуры, зна­чения которой равны как в положительном, так и в отрицательном направ­лениях оси х. Поэтому применим опять уравнение (61):

» хс А + В ■ х + С • е~ “«* * • сое (я • х). (104)

Коэффициент В снова должен быть равным нулю, так как он нё соответствует

Симметричному распределению температуры. Граничные условия на йоверх-

0 (МП (108(1103 05 07 й9101О 6.0

----- •- *£

2

 

Т /до

 

Рис. 10. Тепло, воспринятое или отданное стенкой тол­щиной « м при теплообмене с окружающей средой

 

Общие решения уравнения теплопроводности и важнейшие случаи его применения при решении практических задач

Ности не относятся, как прежде, непосредственно к О, а имеют зиачение лишь д &

Для - г - • В соответствии с этим, по уравнению (104) ох

(105)

Далее для х = ± —согласно уравнению (104),

(106)

подпись: (106)8 = = А + С • е~ аг'х • сої

Из уравнений (103а) и (105) следует, что

— С ■ е~а«г х • <7 • біп =

(107)

подпись: (107)=тЬ“л-с-е"ав’х-С05(9 т)]-

Это уравнение справедливо для всех значений % и 5 ПРИ условии, если

А = 8Г (108)

И

*

(109)

Уравнение (109) показывает, что <7 не является, как раньше, кратным Л, а представляет собой число, которое необходимо определить из уравнения (109). Следовательно, получается, что уравнение (109) справедливо для бесконечного ряда вполне определенных значений <71, <72, .... Я л- На основа­нии этого, как и в прошлой задаче, перейдем сразу к сумме ряда и из урав­нений (104) и (108) получим следующее выражение:

%П = со _ 2

$ =г $г + ^ Сп • в соз (<7Л • х). (110)

П ~ 1

. 5

Для условий х = 0, х = ± это урав(нение преобразуется следующим об­разом:

П =» ОО

$ 5= $г * соз = ^нач* (111)

П = 1

Постоянную Сп, согласно теории рядов Фурье, можно определить из следую­щего уравнения:

Соб (дп • х) сіх

Сп = (^г—^нач)- (И2)

+ —

2

I с/»* (дп ■ X) <1х

2

Здесь значения являются корнями уравнения (109) и определяются из него путем подбора или графическим способом.

Дальнейшее решение уравнения (110) с помощью уравнений (109) и (112) показывает, что распределение температуры в пластине зависит, как и в

TOC o "1-5" h z А • т х

Уравнении (97а), от величин и — или, если подставить расстояние до

Б2 э

В 4ах 2х

Поверхности *— , от —- и —; кроме того, в данном случае влияет еща

2 в* я

А в

И величина -£т - .

2 А.

Следовательно, получим уравнение

(

4а х 2х а • в

~7"* «‘•"гГ)- (113)

X

Г. Гребер решил уравнение (ИЗ), для определенных значений — и на

Основании этого составил таблицы. и кривые (— =1—поверхность и

5

2х 2х

■— =0 — средняя плоскость). Для указанного постоянного аначения —

Б 5

Уравнение (ИЗ) преобразовано следующим образом

& = »г + (»на..-М/з (ПЗа>

Изменение температуры поверхности (----------- = 1) /з и средней плоскости

Б

— = 0) /4 было вычислено Г. Гребером [18]; результаты вычисления графи - в

Чески изображены на рис. 8 и 9.

Как и в уравнении (73), тепло, воспринятое или отданное стенкой, можно определить, если известно температурное поле.

Исходя из этого условия получим выражение

(

4а т а • э

—) мм/м*. (114)

Функция /5 также рассчитана Г. Гребером (рис. 10).

Периодическое изменение температур обеих поверхностей стенки толщиной 5 м

В прежних задачах были рассмотрены лишь случаи с условием постоянства температуры поверхности или температуры окружа­ющей среды.

Теперь рассмотрим стенку, температура обоих поверхностей которой должна периодически изменяться по закону

^ = дср + Ддмакс. С05-^1-оС. (115)

Тпер

Тогда изменение температуры в средней плоскости стенки сос­тавит:

М == Д&мзкс/в °С - (116)

Функция /6 была рассчитана Гребером; результаты этого расчета графически изображены на рис. И (то = тПер).

Коэффициент использования аккумулирующей способности стенки г] выражается отношением действительно усвоенного теп­
ла к количеству тепла, которое может быть усвоено стенкой при бесконечно высокой ее теплопроводности. В соответствии с этим

(117)

Функция /7 также была вычислена Г. Гребером (см. рис. 11). Ко­личество тепла, воспринимаемое единицей поверхности стенки за

1- -

Л

Г

/-

Я

А

7

-2

У

Г

, /#

1 И ’ІІ

,

У

0 12 3 4

5 6 4 а Т0

7 8 9 10 П

I*

] т

КЬ

Г

Н'

подпись: кь
г
н'

Рис. 11. Колебание температуры середины кирпича относительно колебания температуры поверхности, равной 1 и коэффициент использования кирпича ц: / — йбэффицйёнт использования т4; ^ — колебание тем­пературы /е^4а—‘ | В центре

Половину периода час. при равной продолжительности пе­

Риодов нагревания и охлаждения), равно

(118)

подпись: (118)Q = <2макс • V ккал/м*

(119)

подпись: (119)

Смаке

подпись: смаке

: С • 5 • 7 • Ммакс ккал/мг.

подпись: : с • 5 • 7 • ммакс ккал/мг.

Известно, ЧТО Яыйкс — это~такое количество тепла, которое быЛо бы усвоено кладкой при ее абсолютной теплопроводности, так как в этом случае температурное колебание внутри стенки имело бы ту Жё величину, что и на поверхности.

подпись: известно, что яыйкс — это~такое количество тепла, которое было бы усвоено кладкой при ее абсолютной теплопроводности, так как в этом случае температурное колебание внутри стенки имело бы ту жё величину, что и на поверхности.Где

В вышеуказанных уравнениях:

&0 — переменная температура поверхности, °С;

^ср—средняя температура поверхности за период, °С: Аммане — наибольшее положительное или отрицательное откло­нение температуры от &ср за период, следовательно, амплитуда колебания, °С; тпеР—длительность всего периода (в регенераторах: период газа + период воздуха), час/,

* — длительность процесса t начала перибда, час.; s — толщина стенки, м; .

А — коэффициент температуропроводности стенки, м2/час; с —удельная теплоемкость материала стенки, ккал/кг*°С; Т —удельный вес материала стенки, кг/м$.

Вывод. Принимаем начало координат снова в средней плоскости стенки. Температуры обеих поверхностей могут изменяться прежде всего во време­ни по закону:

#о = /00-

Так как в этой задаче речь идет о симметричном распределении темпера­туры, то можно опять применить уравнение (61)

& = А + В • х + С • qt° х • cos (g • х). (120)

S

Теперь ДЛЯ X = + —ДОЛЖНО быть

» = /(х)^л+в-^-+С е-,,вх- с“ (*•"§") (121)

S

И ДЛЯ X = — —

Ь = f (z) = А — В -+ С - е~й%ах »cos (121а)

Эти уравнения одновременно справедливы лишь в том случае, если В = 0. Тогда

F{x) = A + С ■ е-*’ах • cos^ (122)

Для упрощения необходимо с самого йачаЛа представить / как периодичес­кую функцию

/ (т)= ^ср Ч" А ^макс * cos • (123)

Тпер

Приравняв правые части уравнений (122) и (123). получим

В этом уравнении постоянные величины одной части уравнения должны быть равны постоянным величинам другой части уравнения, следорательно,

TOC o "1-5" h z С • cos ^<7 2 | ~ А ^макс» (125)

Тогда

Е~ g*aT = C0S 27t ~. (126)

Тпер

Лишь на первый взгляд кажется, что решить это уравнение невозможно, одна­ко необходимо принять во внимание соотношение:

El * = cos Ф + i • sin<P, (127)

Где i 5=]/—1. Следовательно, от функции числа е можно перейти к инте­ресующей нас функции cos, если q2 примем мйимым, т. е.

<?2 = Ф2, , (128)

Где р— действительная величина. Тогда из уравнения (127) получим

• 2 7С X

Е— ip*a т cos ^р2а т) I sjn __ cos

Тпер

Ак как действительные части должны быть равны, то п i J Z

2тгт - i,

Cos (p2a т) = cos------------------------------------------ - f у L

Или

2тгт ґ 2п

(129)

подпись: (129)Р2аг=------------- , р=± 1/ . ^

^пер V а тпср

Тогда по уравнению (128)

Я уравнение (120) преобразуется в выражений,».і с? С

_ /2 *т 6Й * С Ус

8-,„ + с. Г

В ходе решения следует принять во внимание, что

УТ=±4-(/2"+<УТ),

В результате приходим к более сложному решению, которое содержит в ка-

TOC o "1-5" h z а • тпер X

Честве переменных величин----------- — и —

S S

(130)

Данное решение в-противоположность прежним рассматриваемым зада­чам приводит к конечному выражению. Причина в том, что не было постав­лено никаких требований для начального распределения температуры; более

Того, было принято, что периодическое нагревание поверхностей продолжает­ся уже длительное время. При этом стационарное состояние устанавливает­ся в такой форме, что температура в каждой точке внутри стенки по истече­нии периода всегда снова принимает прежнее значение. Если бы было постав­лено условие, что в начале господствует некоторое распределение температу­ры, то для приведения температуры к «установившемуся состоянию» снова было бы дано выражение суммы. Для других случаев также было бы дано ре­шение в виде рядов вместо простых синусоидальных или косинусоидальных изменений температуры во времени. Для различных простых законов измене­ния температуры поверхности стенки Г. Гребер рассчитал тепловой поток, проходящий через эту поверхность. Максимум затухающего колебания тем­пературы, происходящего в кладке, определяется уравнением

TOC o "1-5" h z. Л а ( , / 4а тпер? х

(131)

подпись: (131)А® — Д^макс/в! ^2 > а )’

Где 5 — толщина пластины, м

Аммане — наибольшее отклонение температуры поверхности от средней температуры поверхности, °С.

/4итпер 2х „ /

Функция Ы—^------- » — Для средней плоскости стенки I — = 0 1 бе­

Рется из рис. П. Температура середины между поверхностью и средней пло - I Л

Скостью I — = 0,51 лишь незначительно отличается от температуры сред-

подпись: скостью i — = 0,51 лишь незначительно отличается от температуры сред-(Т~0, )

Ней ПЛОСКОСТИ.

Знание количества тепла, аккумулированного или отданного за полови­ну периода, является более важным, чем знание распределения температуры Как и раньше, его можно рассчитать, если известен перепад температуры /д 0

I“т— I 5 на поверхности [см. уравнение (73)]; а именно, количество

дх ' х = ± —

Тепла, приходящееся на поверхность за время с/х» составляет

А &

= X —-— й т ккал/м2. дх

Количество тепла, аккумулированное 1 м2 поверхности стенки за половину периода, равно

Тпер

2

X т ккал/ч».

0

Аа

( 4а тпер

Л и )

подпись: ( 4а тпер 
л и )
Решая это уравнение, предварительно определивиз уравнения (130), полу« чим

С ^ Смаке /71 о ) » (132)

Где <3 — такое количество тепла, которое было бы аккумулировано стенкой, если бы ее коэффициент теплопроводности был бесконечно высок; следова­тельно, температурные колебания по всей толщине стенки были бы такими же, как и на поверхности. Так как ДЙМакс СС является наибольшим отклоне­нием температуры поверхности от среднего значения, то 2А0макс °С является

Полным отклонением, а соответствующее ему аккумулирование тепла в клад­ке с бесконечной теплопроводностью составит

Фмакс = 2 • $ • Г • У • А ^мякс* (133)

Чтобы определить Семаке* приходящееся на 1 л3 поверхности Стейки, не­обходимо уравнение (133) разделить на 2, так как о*ю бтноситСя к 1 л2 обеих поверхностей стенки, т. е. к 2 м1 поверхности нагрева. Следовательно, макси­мальное количество тепла, получаемое 1 л2, составив

Рмакс == 5 • г • 7 • Аммане ккал1м^. (133а)

<2

Отношение т------- представляет собой степень использования аккумулирующей

Умакг

Способности кладки. Руководствуясь общепринятым обозначением коэффициен­та полезного действия, лучше всего степень использования обозначить че­рез т), так что согласно уравнению (132)

/ 4а * ,тпер *

Ч ^

И количество переданного тепла

Я = <2име • ч ккал/м*. (132а)

• ^ПСР

Коэффициент я зависит бт значения^--------------- —и подчинявшей закону, по кото­

Рому происходит колебание температуры. Для случая синусоидальной или косинусоидальной формы колебания значения г графически выражены на рис. 11.

Периодическое изменение температуры поверхности бесконечно толстой стенки

Уравнение (115) описывает случай, когда температура поверх-' ности изменяется по закону косинусоидальных колебаний. При­нятые при этом буквенные обозначения сохраняются и в дальней­ших рассуждениях.

Скорость распространения температурного колебания (напри­мер, максимальной температуры периода) в бесконечно толстой стенке определяется уравнением

TOC o "1-5" h z а) = 21/ -—■■■ м/час. (134)

У *пер

Интервал между двумя следующими один за другим максималь­ными значениями температуры (длина волны) равен

Х1 — х2 = 2 • а • тпер м. (135)

Количество тепла, получаемое или отдаваемое 1 м2 поверхности бесконечно толстой стенки за половину периода,

Я - 0,80 • А9-макс • • с. ? тпер ккал/м*. (136)

Среднее часовое количество тепла, воспринимаемое или отдавае­
мое за половину периода (тепловая напряженность поверхности нагрева), равно

Яср = 1.60 • Л&Макс 1/"-— У ккал/м2час. (137)

У тпер

Отношение тем! пературных колебаний, взятых на поверхности (Д'&макс) и на расстоянии х м от поверхности (А$), выражается уравнением

•V-

Лер

подпись: лерА»

А&»19Кс

Эти уравнения справедливы для стенок конечной толщины и бу­дут давать тем более точные результаты, чем больше величина

Я л/ —-—. (Если рассматривается стенка, обогреваемая с У я-тпер

Обеих Сторон, то о точности судят по значению выражения

—-—.) Практически достаточная точность достигается

Я[19]Хпер ______

При значении в 1/ —-—>2,5.

*' а-хпер

Согласно уравнению (134) скорость распространения темпе­ратурного колебания растет пропорционально коэффициенту тем­пературопроводности а. С другой стороны, количество восприни­маемого тепла по уравнению (136)зависит не от коэффициента температуропроводности, а от обычного коэффициента теплопро­водности, удельной теплоемкости и удельного веса.

Скорость распространения температурного колебания по урав­нению (134) будет тем больше, чем короче продолжительность колебания, т. е. чем внезапнее изменение температуры во време­ни. Уравнение (136) для бесконечно короткой длительности ко­лебания температуры поверхности дает бесконечно высокую скорость распространения, что не соответствует действительно­сти. В этом заключается принципиальный недостаток основного дифференциального уравнения. Уравнение не соответствует дей­ствительности (на что обратил внимание Ф. Рихарц*), если на­ступает сверхвнезапное изменение температуры. Поэтому реше­ния этого уравнения также не применимы для первых моментов рассмотренного случая внезапного изменения температуры в бесконечно толстой стенке (см. числовой пример на етр. 443).

= е

подпись: = е Общие решения уравнения теплопроводности и важнейшие случаи его применения при решении практических задач(138)

Вывод. Для бесконечно толстой стенки, колебания температуры поверхно­сти которой подчиняются уравнению (115), применимы те? ке рассуждения, что и для стенки ТОЛЩИНОЙ 5 м. Они приводят к уравнению

-к-

1 а тп

подпись: -к-
1 а тп

Ft = &Ср - f - Д$макс • е

подпись: ft = &ср -f- д$макс • е2ітт. / к 1

'V с ,139)

Тпер V а TnepJ

Как следует из уравнения (115), &ср + Аймаке является наивысшеи достигну­той температурой (например, для т = тПер) и &ср—Аймаке наименьшей тем­пературой поверхности (для х— ), следовательно, полное колебание тем­пературы за один период равно 2ДФ Макс °С. Длина волны определяется по уравнению (139) следующим образом. Волна, как известно, представляет собой расстояние между двумя одинаковыми состояниями движения, например* между двумя точками, где колебание температуры достигает положительного максимума. Максимум наступает каждый раз, когда член уравнения cos = *= +1. Первый раз этот максимум. появляется в уравнении (139), если

SHAPE \* MERGEFORMAT Общие решения уравнения теплопроводности и важнейшие случаи его применения при решении практических задач

• |/ —----------------- 0.

Г а * тпер

-**• 1/ —1- = 2«. у а Тпе

2тст --- — *1

‘пер Т и * тпер

Второй раз, когда (cos 0=1)

2гт

Тпер У а тпер

,-*)• [/ —— =2*.

Г а тпер

Расстояние X]—х2 равно искомой длине волны. Вычитая из последнего урав­нения предыдущее, получаем ^

(*i-

Ер

Искомая длина волны определяется уравнением

— 2 тс • а • Тпер м. (140)

Скорость распространения волны, как известно, равна отношению длины вол­ны к продолжительности периода колебания. Так как продолжительность пери­ода колебания, согласно уравнению (115), равнахпер час., то скорость распро­странения волны в теле бесконечно больших размеров

М/час. (141)

Аа

Определив из уравнения (139) значение выражения X “Т" ДЛЯ * = 0, находим

Ох

Количество тепла, протекающее за половину периода через поверхность внутрь бесконечно большого тела:

Общие решения уравнения теплопроводности и важнейшие случаи его применения при решении практических задач■ х*

<? = 0,80 • Д9макс • V* ■ с • 1 - Ухпер ккая/м*. (142)

Чтобы найти среднечасовое количество тепла, необходимо уравнение (142) разделить на продолжительность половины периода, следовательно,

V тпер

подпись: v тпер<7ср — 1 »60 • Д&макс 1/ ~г —— ккал/м2*час. (143)

Тепловой поток будет тем больше, чем больше коэффициент теплопроводности, и тем меньше, чем больше продолжительность периода колебания тПер - Для точки, удаленной от поверхности на х м, полное максимальное изменение тем­пературы за один период по уравнению (139) определится из выражения

2Д» = 2Д8ма1(с • е пер.

Поэтому отношение температурных колебаний на поверхности и на расстоя­нии хм от поверхности составит

-жу —

Г ° тпер

ДО Аймаке

Критерий Фурье

В гидродинамике и теории подобия появились связанные одна с другой группы переменных, которые совместно образуют без­размерные «критерии», например известное число Рейнольдса (см - стр. 89). Критерии сильно облегчают исследование про­цессов; особенно полезно применять их при анализе работ, где приняты разные'системы измерения, например система СйБ, тех­ническая система (кг, м, час) или английская техническая систе­ма измерения.

Сейчас, как видцо из приведенных выше решений общего ура^ внения теплопроводности Фурье, появляются все новые и новые

Безразмерные группы переменных, подобно выражению —

В[20]

Здесь 5 будет полной толщиной стенки. Если принять, что 5 — половина толщины стецки, то выражение запишется

Р°— (144)

Этот критерий получил название критерия Фурье (^о).

В интеграл ошибок Гаусса также введен критерий /ч) в виде

У/" А).

Без применения какого-либо уравнения, путем одного лишь

Рассмотрения критерия —, можно получить ряд важных выво-

В2

Дов для практических задач. Если вместо коэффициента темпе­ратуропроводности подставить его составные части, то уравнение

(144) преобразуется следующим образом:

Ро= (144а)

С- ( ■£*

Из Зтого уравнения, например, следует, что для определен­ного нестационарного процесса передачи тепла теплопроводно­стью критерий /о остается постоянным, если коэффициент тепло­проводности удвоить, а длительность нагрева уменьшить в два раза. Следовательно, нагревание или охлаждение, т. е. по^е тем­ператур, также останется неизменным. Или, выражаясь иначе, продолжительность нагревания обратно пропорциональна коэф­фициенту теплопроводности. Далее из уравнения (144) следует, что при увеличении толщины слоя вдвое необходимое время на­гревания возрастает в 4 раза, т. е. продолжительность нагрева прямо пропорциональна квадрату толщины слоя.

Пример. Один прокатчик предложил проталкивать слитки через печь не одним слоем, как обычно, а двойным. По его мне­нию, время выдержки слитков в печи при этом удвоится, что дол­жно улучшить прогрев. Из уравнения (144) следует, что для оди­накового нагревания при двойной тЪлщине стенки необходимое время нагревания должно увеличиться в 4 раза. Следовательно, предложение неприемлемо.

Критерий Фурье в качестве необходимого и достаточного ус­ловия для сравнения двух температурных полей занимает среди других безразмерных критериев особое место. Как объясняется на стр. 114, сравнение критериев подобия является необходимым, - но недостаточным условием для подобия потоков. Так, например, при числах Рейнольдса 3000 или 5000 движение может быть тур­булентным или ламинарным, а также можно говорить и о не - стабилизированном потоке (см. стр. 90). Критерий <£урье не име­ет подобных неопределенностей. Поэтому область его применения необходимо расширить*.

В. Приближенный метод Е. Шмидта

Вышеприведенные строго обоснованные решения, к сожале­нию, дают формулы, практически применимые лишь в ограничен­ном количестве случаев, или же требуют большой работы по со­ставлению кривых и таблиц, которых пока цет. Это особенно справедливо для тех «случаев, когда при периодическом изменении температуры поверхности оказывает влияние еще и начальное распределение температуры или, наоборот, когда температура поверхности постоянна, а начальное распределение ее в теле не подчиняется прямолинейной зависимости. До сих пор существуют

(103 а), если после небольших преобразований іввеоти б него критерий Био и выразить перепад температур:

Общие решения уравнения теплопроводности и важнейшие случаи его применения при решении практических задач

Распределение температуры по сечению стенки в этом случае будет харак­теризоваться значительным перепадом между температурами на ее оси и по­верхности. Следовательно, процесс теплообмена будет определяться главным образом условиями распространения тепла внутри твердого тела (в данном случае пластины), а не условиями теплоотдачи на ее поверхности. Практи­чески условие

Ві — со ■

Можно заменить условием

Ві> 100.

Наоборот, при ВІ-+- 0 (практически В і < іОД) распределение температуры в твердом теле отличается большой равномерностью. В этом случае процесс теплопроводности будет определяться условиями теплообмена, происходящего на поверхности стенки.

Б) Более подробное изложение вопросов теплопроводности можно найти в следующих работах на русском языке:

.Лыков А. В., Теория теплопроводности, ПИТТЛ, 1952;

Лыко-в А. В., Теплопроводность нестационарных процессов, 1948;

В ей ник. А. И., Приближенный расчет процессов теплопроводности, ГЭИ, .1959;

Кондратьев. Г. М., Регулярный тепловой режим, ГИТТЛ, 1962;

Михееїв М. А., Основы теплопередачи, ГЭИ, 1956;

III о р и н С. Н., Теплопередача, ГИЛСиА, 1952*

Чубно^ский А. Ф., Теплообмен в дисперсных средах, ГИТТЛ, 1954;

Гухман А. А., Физические основы теплопередачи, ГЭИ, 1934;

,К у т а т е л а д з е С. С., Основы теории теплообмена, Машгиз, 1957;

Иванцов Г. П., На/грев металлов, 1948;

Эккерт Э. Р., Введение в теорию тепло - и массообмена, ГЭИ, 1957;

Б ос фо рт Р. Ч. Л., Проценты теплового переноса, ГИТТД, 1957;

Греб ер Г., Эр к С. и Григулль У., Основы учения о теплообмене, ИЛ, 1958;

Шнейдер П., Инженерные проблемы теплопроводности, ИЛ, 1960.

■ Кроме того, см. список рекомендуемой литературы на стр. 85. (Прим. ред.)

6 А. Шак

Решения лишь для некоторых видов распределения температуры на поверхности, причем они не совпадают по точности с данными практических наблюдений. Для целого ряда случаев вообще нельзя найти решения дифференциального уравнения. Поэтому в таких случаях рекомендуется применять указанный прибли­женный метод Е. Шмидта [21], который основан на решении диф­ференциального уравнения. Если в уравнение теплопроводности (55) [22] вместо бесконечно малых изменений дх, д& и т. д. под­ставить какие-то конечные значения Ах, ДО и т. д. то уравнение (55) можно преобразовать в выражение

Общие решения уравнения теплопроводности и важнейшие случаи его применения при решении практических задач

Дх2

Дт

подпись: дт(145)

Здесь означает повышение температуры О0 за время

Дт час на постоянном расстоянии хм от поверхности. Для приме­нения уравнения (145) рассматриваемую стенку необходимо мыс­ленно разделить на определенное число слоев толщиной Ах за­данное общее время прогревания также делят на определенное число промежутков времени продолжительностью Ат. Тогда из уравнения (145) получим <

Общие решения уравнения теплопроводности и важнейшие случаи его применения при решении практических задач

?)°С. (146)

Здесь п — номер соответствующего промежутка времени и т— номер слоя. Промежуток времени Ат час выбирается не произ­вольно, а в связи с выбранной толщиной слоя Д* м по уравнению

(147)

подпись: (147)А (А X)2 Дт = -—час.

2 а

Необходимо усвоить большое количество индексов в уравне-

Нии (146) и применять иіх, зная какая температура подразумева­ется.

Л дт, (т+ 1)<л* —означает, например, температуру в рассмат­

Риваемой пластине, спустя пАх час. после начала процесса на рас­стоянии (т+1) Ах м от поверхности.

^(«+1)дт тьх —означает температуру на расстоянии тАх хм от поверхности, спустя (п+ 1) Ах час. Толщина слоя Д* вы­бирается произвольно. Уравнение (134) будет давать результа­ты тем точнее, чем меньше выбрана толщина слоя Ах. Вообще достаточно рассматриваемую стенку разделить на 4—5 слоев толщиной Д* м.

Простейшее решение уравнения (146) возможно в том случае, если даны температуры поверхностей стенки. При этом допустимо

Любое изменение температуры поверхности за весь период рас­сматриваемого промежутка времени (п+1) Ат час., что нисколько не затрудняет определения температурного поля. Это является существенным преимуществом данного метода по сравнению с точным аналитическим расчетом. Но, если температуры обеих поверхностей не даны, а известна лишь (любая переменная)

Температура окружающей среды, то температуру поверхности

Находят из приближенного уравнения

«Д**Г +*•&». Дт. Д* ор ' /Но

0 “---------------------------------------------------- с - (148)

VfiAT. O

JnA TtAx

Общие решения уравнения теплопроводности и важнейшие случаи его применения при решении практических задач

^пйт, тйх

 

УпйТ,(т+і)йх

 

Рис. 12. Распределение темпера­тур в слоях стенки в момент времени лЛт час.

 

УяАсМх

 

ИЛИ

= п Дт == Дт, (т + 1) Д X дТ( т д * + дТ§ (/л — 1) Д х * (151)

Подставляя уравнения (149) — (151) в уравнение (145), получим

^(п 4- 1) Дт, т Д х Дх, т Д____ х

Ат

(152)

подпись: (152)

= а

подпись: = а^п Дт, (т + 1) Д х Дт, т Д х ~Ь Дт, (т — 1) Д х

Дх2

Это уравнение связывает все значения 0(/г + 1)Дт» т. е. температуру, отмеча­емую спустя (л+1)Дт час с температурой ^лдт, которая была раньше в Дх час. Благодаря этому можно определит^ изменения температурного поля во времени. Найденное уравнение существенно упрощается, если считать, что

2а]Дт = (Дх)2,

Как это было сделано в уравнении (147). Тогда уравнение (152) преобразует­ся в искомое уравнение (146).

Как показывает примерный расчет, для определения температур наруж­ных поверхностей стенки д 0,о недостаточно лишь уравнения (146). Их можно определить различными способами по температуре окружающей сре­ды $г и коэффициенту теплоотдачи а. Количество передаваемого тепла по уравнению (2)

Общие решения уравнения теплопроводности и важнейшие случаи его применения при решении практических задач

(153)

С другой стороны,

(154)

Вычитая одно уравнение из другого, находим искомую температуру поверх пости »

Общие решения уравнения теплопроводности и важнейшие случаи его применения при решении практических задач

-I

подпись: -i(155)

Для решения этого уравнения необходимо знать температурный перепад на поверхности. В большинстве случаев это невозможно. Чаще бывает известно количество передаваемого тепла. Тогда по уравнению (154) искомая темпе­ратура поверхности

Общие решения уравнения теплопроводности и важнейшие случаи его применения при решении практических задач

(156)

В большинстве случаев не известны ни ц, . Но всегда из уравнения (146)

А»

подпись: а»Известна расчетная температура §п д х> Д;г зафиксированная в точке, распо­ложенной на расстоянии Ал: м от поверхности. Тогда средний температурный перепад между этой точкой и поверхностью составит

Дт, О Дт, Д. у

Подставляя это выражение в уравнение (155), получим

».4,, о =»г—7 &ПАТ'°д^АТ'А*- °С. (158)

Решая это уравнение относительно д т>0( определяем искомую температуру поверхности

ЯА х & —|— д д „

А ________ Г 1 Л Дт, Д X /1ГЛ

Л Дт, о------------ —----------------- °с. 159)

• Х + а-Д*

Е. Шмидт применяет несколько иной, графический метод определения температуры поверхности, отличающийся от приведенного выше *.

, * (Кроме метода Шмидта, разработаны еще другие методы приближен­ного решения задач теплопроводности. Например, методы, предложенные

A. П. Ваничевым и П. П. Юшковым. Метод А. П. Ваничева разработан при­менительно к трехмерной задаче для тела, физические свойства которого из­меняются с температурой. Метод П. П. Юшкова позволяет получить, реше­ния не только с учетом изменения физических параметров с температурой, но с учетом еще возможного переноса вещества в процессе. Следовательно, оба указанных метода обладают большей общностью, чем метод Шмидта, и дают* кроме того, более точные результаты при меньшей затрате времени на рас­четы.

Представляют значительный интерес решения задач теплопроводности, основанные на методе так называемых аналогий. Здесь используется основ­ное положение о том, что «Единство природы обнаруживается в поразитель­ной аналогичности» дифференциальных уравнений, относящихся к различ­ным областям явлений» (Ленин В. И., Материализм и эмпириокритицизм).

Аналогии процессов нестационарной теплопроводности с электрическими и гидродинамическими явлениями, которые являются более управляемыми, позволили создать счетно-решающие приборы, получившие названия соответ­ственно электроинтегратора Л. И. Гутенмахера и гидроинтегратора

B. С. Лукьянова. Эти приборы дают возможность осуществлять приближен­ное интегрирование не только дифференциальных уравнений теплопроводно­сти, но и других уравнений математической физики, относящихся к различ­ным областям техники, с точностью вполне достаточной для технических4 це­лей.

ПРОМЫШЛЕННАЯ ТЕПЛОПЕРЕДАЧА ТЕОРИЯ И ЕЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ПРИМЕРЫ

РАСЧЕТ РЕГЕНЕРАТОРОВ

Предположим, что с помощью регенератора необходимо подо­греть воздух в количестве Vв = 13000 нм3/час, температура кото­рого на входе составляет $в1 = 100° С, до температуры на выхо­де 8^2 = 1000°. …

Прямоточные и противоточные рекуператоры

Дан рекуператор, диаметр воздушных каналов которого йв = = 0,08 ж, а газовых — с1г =0,1 м. Каналы разделены шамотной стенкой толщиной 3 см. Через рекуператор за час проходит отхо­дящий …

РАСЧЕТ ТЕПЛООБМЕННИКОВ ВОДОПОДОГРЕВАТЕЛЬ

Точный метод. Водоподогреватель состоит из вертикальных стальных труб диам. в свету 30 мм и толщиной стенки 3 мм. Дли­на труб 2 м: снаружи их обогревают насыщенным паром 10,2 ата, что …

Как с нами связаться:

Украина:
г.Александрия
тел./факс +38 05235  77193 Бухгалтерия
+38 050 512 11 94 — гл. инженер-менеджер (продажи всего оборудования)

+38 050 457 13 30 — Рашид - продажи новинок
e-mail: msd@msd.com.ua
Схема проезда к производственному офису:
Схема проезда к МСД

Оперативная связь

Укажите свой телефон или адрес эл. почты — наш менеджер перезвонит Вам в удобное для Вас время.