ПРОМЫШЛЕННАЯ ТЕПЛОПЕРЕДАЧА ТЕОРИЯ И ЕЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ПРИМЕРЫ

НЕСТАЦИОНАРНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК. Температуропроводность и общий закон теплопроводности

Тепловой поток, проходящий через тело, изменится в том слу­чае, если изменится температурное поле в рассматриваемом теле. Предположим, например, что температура правой поверхности стенки (см. рис. 1) под действием внешнего нагревания внезап­но поднимется до более высокого значения, например до тем­пературы /2. Тогда ранее установившийся процесс теплоотдачи наружу прекратится и тепло пойдет в противоположном направ­лении, к стенке. Следовательно, в этом случае в стенку тепло бу­дет передаваться с обеих сторон и полностью аккумулиро­ваться, вызывая повышение температуры стенки. С повышением температуры внутри стенки тепловой поток ослабевает. Наконец, когда все температуры примут свои определенные значения, на-

Ступит новое установившееся состояние с соответственно умень­шенной теплоотдачей. Напротив, тепло отдавалось бы стенкой I* обе стороны, если бы произошло внезапное понижение темпера* туры t. В этом случае иступила бы деаккумуляция тепла, на­копленного стенкой. Когда /ке температура не будет более изме­няться, наступит новое установившееся состояние. Из этих при­меров ясна физическая причина, которая приводит к нарушению установившегося состояния и к временному последствию этого нарушения. Этой причиной является изменение теплосодержания тела в связи с изменением температурного поля. Часть поступаю­щего тепла будет идти на повышение теплосодержания тела, и, наоборот, если теплосодержание тела уменьшается вследствие по­нижения температуры, то произойдет усиление теплового потокам Часто температура наружной поверхности тела изменяется неод­нократно, например испытывает периодические колебания (в ре­генераторах); в этом случае тепловой поток никогда не будет по­стоянным и распределение температуры внутри тела покажет периодически колеблющееся изменение во времени и простран­стве.

Физическим свойством, которое влияет на эти процессы, явля* ется не теплопроводность, а температуропроводность.

Она объясняется следующим образом; Повышение температу­ры распространяется от слоя к слою и требует в соответствии с предыдущими рассуждениями затраты тепла на аккумуляцию. Определенное количество тепла Q сообщает рассматриваемому телу тем более высокую температуру, чем меньше удельная теп­лоемкость материала соб (ккал/мгград). Эта зависимость яв­ляется линейной (определение удельной теплоемкости). Следо­вательно, интенсивность распространения температуры, ме­рой которой является коэффициент температуропроводности а, должна быть обратно пропорциональна удельной теплоемкости

Q

Единицы объема ст. е. а = — , где С — коэффициент пропор-

^об

Циональности. Скорость распространения температуры тем выше, чем быстрее поднимается температура в соседнем слое. Этот подъем пропорционален количеству поступающего тепла. Прй данной разности температур это количество тепла, согласно за­кону Фурье, пропорционально величине теплопроводности X; сле­довательно, температуропроводность должна выражаться урав­нением а = С'* —, где С' — новый коэффициент пропорциональ­ное

Ности, который зависит лишь от выбранной системы измерения. Мы принимаем его для постоянно применяющейся здесь техниче­ской системы мер (м; час; кг) равным единице. Удельная тепло­емкость единицы объема известна:

Соб = с Т ккал/м*град,

Где с — удельная теплоемкость единицы веса, ккал/кг • град-, Т ■—удельный вес материала, кг/м3.

Отсюда коэффициент температуропроводности

(54)

Необходимо подчеркнуть, что вышеуказанное 'определение тем­пературопроводности физически не вполне обоснованно, но оно

Правильно отражает факторы, от,/ которых зависит скорость распро-

« странения температуры в изменяю­

Щемся во времени температурном поле. Сообразно с этим температу­ра растет быстрее всего в телах, в которых высокая теплопроводность сочетается с малой удельной тепло­емкостью единицы объема.

Изменение температуры в стен-' ке от координаты х и времени т (при. условии, что тепло распространяется лишь в направлении оси *) выра­жается следующим дифференци­альным уравнением второго порядка в частных производных, ко-т торое выводится из общего закона теплопроводности Фурье

(55)

Здесь и в дальнейших рассуждениях этого раздела через 0°С обозначаем переменную температуру и через т — время.

Вывод, Рассмотрим (процессы, протекающие в бесконечно малом объе­ме йУ*=йх*йу. йг (рис. 4). Так как предполагается, ^то изменяющийся тепловой поток распространяется лишь в направлении оси х, то в этот объем поступает количество тепла и выходит фг- Поэтому внутри объема остается:

С=<?1-<г2. (56)

На левой поверхности рассматриваемого объема (х = х) наблюдается пере' д §

Пад температуры —г— °С/м. Тогда по уравнению (2) количество тепла, по - дх

Ступающего в объем за время (1%, будет равно

ДЪ. *

О. = X • Аи • йг • —— • й т ккал. дх

ПЕРЕДАЧА ТЕПЛА ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬЮ 53

------ >„! -— --------------------------------------------------------------------------------------

Температурный перепад = л, согласно предположению, изменяется во

Времени и. пространстве. Пространственное изменение в направлении оси х дк

Выразится через ——, если предположить, что температурный перепад

Ох

Уменьшается с увеличением х (т. е. при +йх получается —сВД. Таким об-

ДИ,

Разом, на участке йх это изменение составит — —г— йх или, если подста-

Ах

, д* дЧ ; ^ вить Н = то—ах. Это является изменением температурного пере­пада на пути от х до х + йх. Поэтому температурный перепад на расстоя-

Аа а2 &

Нии х + йх равен т— — _ — йх. В соответствии с этим количество тепла,

Дх дх2

Выходящее из рассматриваемого объема за ®ремя йх, составит но урав­нению (2)

/ дЬ

Л).

Следовательно, количество тепла, остающееся в объеме в соответствии с уравнениями (57) и (58), будет равно

Д2&

(? = (?1 — 02 = * ' &У Аг • й т • йх. (59)

Этому количеству тепла соответствует определенное повышение температу­ры &Ъ в объеме. Температурное изменение в объеме за единицу времени

Аа а»

Составит - ^ " °С, следовательно, за время йх оно будет равно.^т°С, Количество тепла, соответствующее этому изменению температуры, равно

ДЬ

О = с-^йх-йу-йг —— й х о т

TOC o "1-5" h z или после подстановки ф из уравнения (50) 1

ДЧ д 8

Л*йх йу-йг й т = с-ц йХ'йу >йг ~—йг;

Отсюда находим искомое уравнение (55)

X дЧ д&

с • 7 дх2 а т

Применение частного дифференциала д означает, что на главную перемен­ную Ф одновременно влияют две независимые друг ог друга переменные, а именно х и х однако частная производная позволяет рассматривать эту зависимость лишь от одной независимой переменной, в то врейя как пред­полагается, что другая переменная — временно постоянная величина. На-

А 8

Пример, —— означает повышение температуры О с течением времени х> при-

О X

Чем текущая координата (х) принята постоянной величиной. В задачах технической физики в качестве независимых переменных почти исключитель­но встречаются пространство и время. Поскольку пространство и время одно­временно влияют на какой-нибудь процесс, он может быть описан только дифференциальным уравнением в частных производных. Обычно можно исхо-

Дйть из предположения, сделанного в приведенном выше выводе, что тепловой поток распространяйся в направлении оси х. Если же тепловые потоки наблю­даются и в направлении осей у и г, то пользуясь почти теми же рассужде­ниям«, суммируют количество тепла, остающееся в объеме по направлению осей х% у иг, получая общее количество тепла, идущее на повышение тем­пературы в рассматриваемом объеме.