ПРИНЦИПЫ ЛАЗЕРОВ

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСА ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В ДИСПЕРГИРУЮЩЕЙ СРЕДЕ И В УСИЛИВАЮЩЕЙ СРЕДЕ

Сначала рассмотрим импульс лазерного излучения, распространяющийся в диспергирующей среде. Пусть с— его центральная частота, а Аыь — спектраль­ная ширина (см. рис. 8.25а). Тогда напряженность электрического поля2£(£, г) соответствующей импульсу волны в точке г вдоль направления распространения в общем случае можно представить в виде интеграла Фурье:

+00

ЕЦ, г) = |д)(со-соі)ехр [Д«<-р2)]Ло, (Ж.1)

—00

Где Асо = ДДю - со£) — комплексная амплитуда каждой из спектральных компо­нент напряженности поля, а величина р = Р(со - со£) описывает дисперсионное со­отношение для среды.

Теперь допустим, что дисперсионное соотношение в полосе частот А(0£ можно аппроксимировать линейной зависимостью:

Р = Эх, + Г (ю-®!,). (Ж. 2)

V /(0Ь

Где рь — постоянная распространения, соответствующая частоте Подставляя выражение (Ж.2) в (Ж.1), перепишем последнее соотношение в виде:

+00 ^ Е(і, г) = ехр [Дю£*- Рь2)]х |д„(Аю)ехр | у'Аю

(Ж. З)

Где Дсо = со - со^. Видно, что, проинтегрировав соотношение (Ж. З) по Дсо, мы полу­чим функцию одной переменной [£ - (ф/^со)Ю1 г]. Таким образом, уравнение (Ж. З) можно записать в виде:

Е(г, г) = А[* - (г/^)]ехр [/(©** - р^)], (Ж.4)

Где А — амплитуда импульса, ехр [Дсо^ - Р^г)] — волна на несущей частоте, а ве­личина иё определяется выражением

Поскольку амплитуда импульса зависит от переменной (f - (z/vg)), то им­пульс распространяется со скоростью ug и не изменяет свою временную форму. Скорость vg называется групповой скоростью импульса. Согласно выражению (Ж.5). она определяется наклоном кривой со(Р) в точке со = coL (т. е. vg = tanG', см. рис. 8.25а).

Рассмотрим теперь импульс света, спектральная ширина Acojr которого на­столько велика, что дисперсионное соотношение уже нельзя приблизить линей­ной зависимостью (см. рис. 8.25в). В этом случае различные спектральные ком­поненты импульса будут распространяться с различными групповыми скоростя­ми, и, следовательно, импульс будет уширяться по мере распространения. После прохождения расстояния I в среде уширение импульса Ата будет приблизительно равно разнице групповых задержек между спектральными компонентами, имею­щими наибольшую и наименьшую скорости. Тогда

-1 , , V«,'

Где иёииё— групповые скорости этих компонент, а со и со — соответствующие частоты. Предположим теперь, что в пределах ширины линии Асо^ дисперсион­ное соотношение можно приблизить параболической (квадратичной) зависимо­стью, т. е.

Р=р"+(£1/ю-^)+1(0)и (cы~Wi)2-

/(oL

Из соотношений (Ж.6) и (Ж.7) получаем:

Acol =| <|>"(g)l)| Acol,

Где ф = р/, ф" = d2ty/d(d2, a производная ф" берется на центральной частоте лазерной генерации coL. В соотношении (Ж.8) заданного вида величину ф'Чо^) называют дисперсией групповой задержки (англ. group-delay dispersion, GDD), а параметр

D(l/vg)

D(d

Называется дисперсией групповой скорости (англ. group-velocity dispersion, GVD) на частоте coL.

Рассуждения, в результате которых было выведено соотношение (Ж.8), явля­ются нестрогими, потому что на самом деле при его получении рассматривалось распространение ограниченного числа спектральных компонент импульса, каж­дая из которых соответствует другому и фактически более длинному импульсу, чем исходный. Более точные и полезные расчеты можно провести, предположив, что на входе в среду (в точке 2 = 0) импульс имеет гауссов временной профиль амплитуды, т. е.

E(t) = A0exp {-(*2/2т|)}ехр (yroL<), (Ж.10)

Где тр — полуширина профиля интенсивности импульса на уровне 1/е. Так как спектральная амплитуда ДДсо - coL) является гауссовой функцией разности (со - coL), то с помощью соотношения (Ж.1) можно непосредственно вычислить напряжен­ность электрического поля на расстоянии, большем г, если предположить, что

Где иё — групповая скорость. Это означает, что амплитуда импульса представля­ется в зависимости от локального времени, в котором учтена групповая задержка импульса. В новых координатах амплитуда импульса будет иметь вид [1]:

(Ж. 12)

Где для простоты введено обозначение Ь2 =(гі2р/гісо2)Юі =GVD и где (также для простоты), учитывая равенство (Ж. 116), проведена замена z' = z. В соответствии с выражением (Ж. 12), A(t z) представляет собой гауссову функцию, зависящую от V и комплексного аргумента, поэтому A(t z) = A(t’, г)|ехр{-7ф(£', z)}. (Ж.13) Из соотношения (Ж. 12) можно выразить величину амплитуды импульса |A(f, z)І в виде:

(Ж. 14)

Из выражения (Ж. 14) легко видеть, что гауссов импульс сохраняет свою фор­му по мере распространения, а учитывая соотношение (Ж. 10), получаем, что ширина импульса тр(г) в точке г такова, что т2р(г) = (тр + Ь|г2)/Тр. Это соотношение можно записать в виде:

1/2

(Ж.15)

Где Ьв - т2 /1Ь2 | называется дисперсионной длиной импульса в среде. Заметим, что, согласно соотношению (Ж. 15), временное уширение гауссова импульса в дис­пергирующей среде аналогично увеличению размера пятна гауссова пучка в ре­зультате дифракции (сравните с выражением (4.7.17а)), причем дисперсионная длина в первом случае эквивалентна длине Рэлея во втором случае. Эта аналогия связана с формальным сходством дифракционного уравнения в параксиальном приближении с дифференциальным уравнением, описывающим распростране­ние импульса в квадратичной диспергирующей среде [1]. Из соотношения (Ж. 12) можно найти фазу ср(£', г): V(,.г)=_sи^№Z;Ы.|+lton-,^ (Ж.16) Где sgn(62) означает знак величины Ъ2, т. е. дисперсии групповой скорости. Из выражения (Ж. 16) видно, что фаза ср(£', г) представляет собой сумму константы

(1/2^ап 1(г/Ьв) и величины, квадратично зависящей от?. Это означает, что мгно­венная частота импульса со(£') = ^[(со1^') — ср(£', £)]/д£' задается соотношением:

> = + 5ёп(Ь2)—. Щ- 2)1 + (*/1Ф)2 т%'

(Ж.17)

Ф"2 -г- Р

6т г

(Ж.19)

"Р

Теперь рассмотрим случай, когда гауссов импульс, описываемый выражени­ем (Ж. 10), попадает в усиливающую среду, контур линии усиления которой од­нородно уширен. Спектральную амплитуду импульса Аа(со - со0) на входе в среду можно найти, применив обратное преобразование Фурье к выражению (Ж. 10):

(Со-Юі)2!2 2

А» (<*>-<*>!,) °с ехр

(Ж.20)

Где со£ — центральная частота генерации. Если спектральная ширина импульса много меньше ширины линии усиления, то усиление амплитуды напряженности электрического поля задается выражением (см. приложение Е)

<2Лю-Юо) = ехр || ^ |{1-[2(ю-ю0)/Аюо]2}},

(Ж.21)

Где ё0 = И0а1 — насыщенный коэффициент усиления по мощности при одном про­ходе через усилитель, а Доэ0 — ширина линии перехода. Тогда спектральная ам­плитуда импульса, прошедшего через усиливающую среду, будет равна: А? ю(ш - ю0) = С„(м - со0) х Аш(со - юь). (Ж.22) Из соотношения (Ж.22), учитывая (Ж.20) и (Ж.21), а также полагая соь = со0, получаем:

(Ж.23)

Соотношение (Ж.23) показывает, что в пределах сделанных допущений спектр остается гауссовым и после того, как импульс прошел через усиливающую среду. Сравнение соотношений (Ж. 23) и (Ж.20) показывает, что длительность импульса

Увеличилась до значения т'р, где т'£ /2 соответствует члену, стоящему в квадрат­ных скобках в соотношении (Ж.23). Таким образом, получаем:

1/2

(Ж.24)

При малых изменениях длительности импульса его относительное уширение (Ътр/^р-Хр)/Хр после прохождения через усиливающую среду можно получить из соотношения (Ж.24):

Соотношение (Ж.25) может быть выражено через ширину линии усиления Ду0 = А(о0/2п и ширину лазерного импульса Атр = 2(1п 2)1/2тр. Окончательно полу­чаем:

(Ж.26)