ПРИНЦИПЫ ЛАЗЕРОВ

ПОПЕРЕЧНОЕ СЕЧЕНИЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ ЭЛЕКТРОННЫМ УДАРОМ

На рис. 6.22 показана качественная зависимость сечений возбуждения электронным ударом ст от энергии налетающих электронов Е для трех случа­ев: (1) разрешенных оптических переходов, (2) запрещенных оптических переходов без изменения мультиплетности, (3) запрещенных оптических переходов с изменением мультиплетности. Для всех трех случаев максималь­ная величина а нормирована на единицу. Отметим, что для каждого из слу­чаев существует определенная пороговая энергия Егк, при превышении ко­торой сечения становятся отличными от нуля. Как можно было бы ожидать, величина Еоказывается близкой к разности энергий уровней, связанных рассматриваемым переходом. Сечения резко возрастают при превышении пороговой энергии, достигают максимальной величины, а затем медленно уменьшаются. Максимальная величина а и ширина соответствующей кри­вой зависят от типа перехода:

■ для разрешенных оптических переходов максимальная величина а обыч­но достигает 10~16 см2, а характерная ширина кривой может быть в 10 раз больше, чем пороговая энергия (кривая а на рис. 6.22);

■ для запрещенных оптических переходов без изменения мультиплетно­сти максимальная величина сг почти на три порядка меньше (до 10~19 см2),

Рис. 6.22 Качественная зависимость сечения возбуждения электронным ударом от энергии налетающего электрона:

£0,4

А) разрешенные оптические перехо­ды, б) запрещенные оптические пере­ходы без изменения мультиплетности и в) запрещенные оптические перехо­ды с изменением мультиплетности.

А ширина кривой может быть только в 3-4 раза больше, чем пороговая энергия (кривая Ъ на рис. 6.22); ■ если происходит изменение мультиплетности, то максимальная величи­на а может быть больше, чем для запрещенного оптического перехода без изменения мультиплетности: характерная ширина кривой может быть в этом случае равна пороговой энергии или немного меньше ее (кривая с на рис. 6.22). Следует отметить, что в любом случае ширина каждой из кривых сравни­ма с пороговой энергией, т. е. с разностью энергий связанных переходом уров­ней. Напротив, ширина линий переходов при поглощении фотонов является гораздо более узкой (составляя обычно 10~4-10~5 частоты перехода). Это очень важное обстоятельство обусловлено тем, что, как объяснялось в разделе 6.1, возбуждение электронным ударом является нерезонансным процессом. Вот почему возбуждение газовой среды «широкополосным» источником элек­тронов (таким, как газовый разряд) осуществляется с гораздо большей эф­фективностью, чем широкополосным источником света (таким, как лампа). Для того чтобы дать более глубокое представление о механизмах, обу­словливающих возбуждение электронным ударом, рассмотрим вкратце про? цедуру квантовомеханического расчета сечения а. Для разрешенных опти* ческих* переходов или запрещенных оптических переходов без изменения мультиплетности простейший и зачастую наиболее точный расчет использу - ет приближение Борна. Перед столкновением атом описывают волновой функцией иг основного состояния, а налетающий электрон представляют в виде плоской волны ехр(ук0 • г), где к0 — волновой вектор электрона, а г — радиус-вектор налетающего электрона относительно начала координат, на­ходящегося, например, в месте расположения ядра атома. После столкнове­ния атом описывают волновой функцией и2 верхнего состояния, а рассеян­ный электрон — плоской волной exp (Jkn • г), где kn — волновой вектор рассе­янного электрона. Для последующего описания напомним, что k = 2п/Х, где X — длина вол­ны де Бройля электрона. Эта величина равна X = (12,26/VF) А, где V — энер­гия электрона в эВ. Взаимодействие обусловлено электростатическим оттал-j киванием между налетающим электроном и электронами атома. Предпола-j

Гается, что взаимодействие настолько слабое, что вероятность одного пере­хода атома за время удара очень мала, а двух таких переходов не происходит вообще. В этом случае уравнение Шредингера для рассматриваемой задачи можно линеаризовать. Кроме того, оказывается, что сечение перехода мож­но выразить в виде:

Пе ос| |[ц2 ехр(/к„ • r)]»[Ul ехрО'ко • Г)]dV |2 .

Из приведенного выражения для длины волны де Бройля, предполагая, что энергия электрона составляет всего несколько эВ, видим, что величина параметра X' = 2я/|к0 - kJ = 2л/|Ак| существенно превышает размеры атома (-0,1 нм). Это означает, что (Дк • г) <С 1 при |г| ^ а, где а — радиус атома. В этом случае множитель ехр Д(к0 - кд) • г] = ехр ДА к • г) в (6.4.8) можно разложить в ряд по малому параметру (Ак • г). Поскольку функции иг и и2 ортогональ­ны, то первый член в этом разложении, который дает отличный от нуля вклад в ое, равен ;(Ак • г), откуда получаем:

(6.4.9)

Где |и21 — матричный элемент электрического дипольного момента атома (см. (2.3.7)). Отсюда следует, что при х21 * 0, т. е. когда переход является раз­решенным оптическим, сечение возбуждения перехода электронным ударом пропорционально сечению поглощения фотона для этого перехода. Таким об­разом, следует ожидать, что сильные разрешенные оптические переходы бу­дут иметь также большое сечение возбуждения электронным ударом. Для за­прещенных оптических переходов без изменения мультиплетности (с АЗ = 0, например, для перехода 1х5 -» 2в Не; см. главу 10) интеграл (6.4.8) имеет ненулевое значение только для следующего, более высокого порядка, члена в разложении ехр;(Ак • г), а именно -(Ак • г)2/2. При этом выражение для ое может теперь быть записано в виде

Это выражение полностью отличается от того, которое соответствовало бы взаимодействию с фотоном, т. е. магнитному дипольному взаимодействию. Поэтому не удивительно, что отношение максимальных значений сечений электронного возбуждения для запрещенного и разрешенного переходов Gforbidden/°allowed равно в данном случае примерно 10-3, тогда как было показа­но ранее, аналогичное отношение сечений поглощения составляет ~10“5 (см. (2.4.14)). Таким образом, запрещенные оптические переходы относитель­но легче возбуждаются при столкновении с электроном, чем при «столкнове­нии» с фотоном (поглощении). Данное обстоятельство имеет большое значе­ние с точки зрения принципов работы газовых лазеров, поскольку накачка в них зачастую осуществляется через запрещенные оптические переходы.

Если мультиплетность при переходе изменяется (например, при перехо­де VS —> 2sS в Не; см. главу 10), то в борновском приближении вклад в сечение любого из членов разложения ехр ДАк • г) равен нулю. Действитель­но, такой переход предполагает изменение спина, тогда как в приближении

Борна налетающий электрон, в результате электростатического взаимодей­ствия, может влиять только на орбитальное движение электронов атома, но не на их спин.1 Теоретическое описание данного случая, основанное на работах Вигнера, исходит из предположения, что при столкновении дол­жен сохраняться суммарный спин атома и налетающего Электрона, но не обязательно спин одного только атома. Таким образом, переходы могут про­исходить за счет столкновений с обменом электронов, когда налетающий электрон замещает участвующий в переходе электрон в атоме, а послед­ний, в свою очередь, испускается атомом. Для того чтобы сохранялся пол­ный спин системы, спины налетающего и испущенного электронов долж­ны быть направлены противоположно.

Для пояснения рассматриваемого процесса обмена на рис. 6.23 показа­но возбуждение электронным ударом перехода —» 2в Не. Отметим,

Что это столкновение можно представить следующим образом: налетаю­щий электрон, обозначенный как 1, захватывается в состояние атома Не,

Тогда как электрон атома, имеющий противоположный спин и обозначен­ный как 2, испускается. Однако приведенное описание является достаточ­но примитивным, поскольку непосредственно во время столкновения два электрона являются квантовомеханически неразличимыми (т. е. фактиче­ски при столкновении происходит спиновый обмен, а не обмен электро - ] нов). Тем не менее, из этого простого описания нетрудно видеть, что такой обменный механизм должен быть более резонансным, чем тот, который^ был рассмотрен в борновском приближении. Действительно, вероятность! того, что переход с обменом электрона произойдет, будет велика только в| тех случаях, когда энергия налетающего электрона близка разности энер-1 гий связанных переходом состояний. Фактически в этом случае энергии на - ] летающего электрона как раз хватает для того, чтобы после столкновения! электрон 1 остался*в возбужденном состоянии 2§, в то время как электрон 2 ] испустился с нулевой скоростью. При более высоких энергиях налетающего| электрона в результате процесса обмена электрон 1 остается в состоянии 2«, | а испущенный атомом электрон 2 должен унести соответствующую избы-| точную энергию. Такая ситуация определенно будет менее вероятна. Уста-| новив, что рассмотренный процесс спинового обмена является в некотором! смысле резонансным, можно понять, почему пиковое значение его сечения ] может оказаться выше, чем сечения запрещенного оптического перехода! без изменения спина. ]