ПРИНЦИПЫ ЛАЗЕРОВ

МОДЫ ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ

Вернемся теперь к задаче, рассмотренной в разделе 4.7.1, и зададимся вопросом, существуют ли другие собственные решения уравнения (4.6.8) для свободного пространства, или (4.6.9) для обобщенной оптической системы. Ответ снова будет положительным, и можно показать, что особенно удобный набор собственных решений может быть представлен в виде произведения полиномов Эрмита и функции Гаусса. Действительно, обратясь к рис. 4.14, предположим, что

И(х1,у1,г1) = НЯл/г*!/юх]Нт[[2у1 +у%)/2q^, (4.7.29)

Где Н{ и Нт — полиномы Эрмита порядков I пт, q1 — комплексный пара­метр пучка при г = г19 а и)х — соответствующий размер пятна. Подстановка соотношения (4.7.29) в правую часть (4.6.9) дает:

. -|1+1+т

Где q — комплексный параметр пучка на выходе изображенной на рис. 4.14 оптической системы, который определяется формулой (4.7.4), a w — соот­ветствующий размер пятна.

При распространении в свободном пространстве, считая плоскость гх плос­костью перетяжки пучка, имеем: qx = jnwfi/X, где w0 — размер пятна в пере­тяжке. Подставляя это выражение для qx в (4.7.30) и используя соотношение

(4.7.8) , получаем:

Ultm(x, y,z) = (w/w0)Hl[21'2x/w]Hm[21'2y/w]exp[-(x2+y2)/w2]x xexp{-;'[fe(*2 +y2)/2R] + j(l + l + m)ty}, (4.7.31)

Где ф снова задается соотношением (4.7.156). Используя (4.7.11) для получе­ния зависимости q = q(z), видим, что величины w и R определяются соотно­шениями (4.7.13а) и (4.7.136).

Распределение напряженности поля в моде низшего порядка можно по­лучить из (4.7.31), полагая 1 = т = 0. Поскольку полином Эрмита нулевого порядка является константой, то выражение (4.7.31) сводится к гауссову решению, которое уже было рассмотрено в разделе 4.7.1 (см. соотношение (4.7.15)). Это решение называют модой ТЕМ00, где ТЕМ является акрони­мом английского определения Transverse Electric and Magnetic — попе­речное электрическое и магнитное (в параксиальном приближении напря­женности как электрического, так и магнитного полей электромагнитной волны практически перпендикулярны направлению распространения — оси z). Индексы 00 обозначают полиномы нулевого порядка как для Hl9 так и для Нт в соотношении (4.7.31). Радиальный профиль интенсивности га­уссовой моды ТЕМ00 при произвольной координате z определяется выраже­нием 100(х, у) ос /и0012 ос exp [~2(х2 + y2)/w2]. Он зависит только от радиальной координаты г = (х2 + у2)1/2. Таким образом, этой моде соответствует круглое пятно (рис. 4.19).

Распределение напряженности электрического поля в ближайшей моде более высокого порядка можно получить из (4.7.31), полагая I = 1 и m = 0 (или / = 0и/п = 1). Поскольку Нг(х) ос х, то амплитуда напряженности поля имеет при этом вид |и10| ос х х ехр-[(х2 + y2)/w2]. Таким образом, при задан­ном х профиль поля описывается гауссовой функцией (см. рис. 4.15а) вдоль оси у, а при заданном у он описывается функцией х exp -(x2/w2) вдоль оси х. На рис. 4.156 эта функция, нормированная на свое значение в максимуме, построена в зависимости от безразмерного параметра x/w. Эту моду называют

ТЕМЮ, а вид соответствующего ей поперечного распределения интенсивности показан на рис. 4.19. Распределение интенсивности в моде ТЕМ0Х (/ = 0и7П = 1) получается простым вращением пятна моды ТЕМ10 на рис. 4.19 на 90°.

Два распределения интенсивности для мод еще более высоких порядков также представлены на рисунке. Отметим, что индексы I и тп определяют, вообще говоря, число нулевых значений интенсивности поля соответственно вдоль оси х и у (кроме нулевых значений при X = ±00 и у = ±оо).

В этой главе было рассмотрено несколько вопросов геометрической и вол­новой оптики, представляющих собой полезную основу для описания оптиче­ских резонаторов, которое содержится в главе 5. В частности, было показано, что преобразование параметров некоторого луча оптическим элементом (та­ким как изотропная среда, тонкая линза, сферическое зеркало и т. д.) может быть описано с помощью простой матрицы размера 2x2. Такая же матрица описывает распространение гауссова пучка. Кроме того, было проведено дос­таточно общее рассмотрение многослойных диэлектрических покрытий и несколько более детальное обсуждение свойств интерферометра Фабри-Перо.