ПРИНЦИПЫ ЛАЗЕРОВ

ЛИНЕАРИЗОВАННЫЙ АНАЛИЗ

Для малых колебаний вблизи стационарных значений (например, при­близительно при £ > 14 мкс на рис. 8.1) динамическое поведение можно опи­сать аналитически. Действительно, если записать:

И считать, что 6ЛГ <С М0 и 6ф <С ф0, то в скоростных уравнениях в произведе­нии Л^ф можно пренебречь величиной 6Л/^6ф, так что эти уравнения становят­ся линейными относительно переменных и 6ф. Ограничиваясь случаем четырехуровневого лазера, можно подставить выражения (8.2.1) и (8.2.2) в (7.2.16а) и (7.2.166). Поскольку величины 7У0 и ф0 должны удовлетворять

Одним и тем же уравнениям, приравнивая нулю производные по времени, из (7.2.16) получаем:

(<*6И/сН) = - Ш[В$0 + (1/т)] - БА^бф, (8.2.3)

(</5ф/</*) = БГаф06ЛГ. (8.2.4)

Заметим, что уравнение (8.2.4) получено из (7.2.166) с учетом того фак­та, что ВУаЫ0 - (1/тс) = 0. Подстановка (8.2.4) в (8.2.3) дает следующее урав­нение:

^ + [Вф0 + (1/т)]^ + (В! ЗДФо)8ф = 0. (8>2>5)

Будем искать его решение в виде:

5ф = 6ф0 ехр (р£). (8.2.6)

Из подстановки (8.2.6) в (8.2.5) вытекает, что величинар удовлетворяет уравнению:

Р2+^-р + со2=0, (8.2.7) ч

*о

Где

(2Д0) = [Бф0 + (1/т)] (8.2.8)

Со2 = Б2^АГ0ф0. (8.2.9)

Решением уравнения (8.2.7), очевидно, является:

1/2

-+ Л-т2

*0

(8.2.10)

Сначала рассмотрим случай, когда (1/£0) < Тогда квадратный корень в выражении (8.2.10) принимает мнимое значение, и можно записать р =

= -(1/£0)±усо',где

Со' = [со2 - (1До)2]1/2. (8.2.11)

В этом случае в соответствии с выражением (8.2.6) величина 6ф будет представлять собой затухающее гармоническое колебание (демпфированное § колебание), т. е.

5ф = Сех р(-£/£0)8т(со'£ + Р), (8.2.12)

Где Сир определяются начальными условиями. Если подставить это выра­жение в уравнение (8.2.4), находим, что величина 5# также представляет

Собой затухающее гармоническое колебание. Полагая (l/t0) <С со', получаем:

6N = ехр(-</<0)сов((о^ + р). (8.2.13)

Заметим, что, как было видно из предыдущего рассуждения, функция 6Л/Х0 опережает функцию 5ф (£) на полпериода, поскольку прежде чем нач-, нет возрастать 6ф (£), сначала должна увеличиться инверсия 57У(£).

Выражения (8.2.8) и (8.2.9) можно переписать в более удобной для вы­числений форме, если использовать явные выражения для ЛГ0 и ф0, заданные формулами (7.3.4а) и (7.3.46), в итоге получаем:

Г0 = 2х/х, (8.2.14)

Со = [(х - 1)/хсх]1/2, (8.2.15)

Где х = Яр/Яср — значение превышения накачки над порогом. Заметим, что

Хотя постоянная времени затухания колебания £0 определяется временем

Жизни верхнего состояния, период колебаний Т = 271/со' = 2я/со определяется геометрическим средним величины х и временем жизни фотона тс.

Пример 8.1. Затухающие колебания в Nd:YAG и GaAs лазерах. Рас­смотрим сначала одномодовый Nd: YAG лазер (рис. 7.26) и предположим, что рассмотренная выше пространственно-независимая модель релакса­ционных колебаний применима и для лазера с однонаправленным непло­ским кольцевым резонатором, возбуждаемым излучением полупровод­никового лазера. Предположив, что превышение накачки над пороговым значением х = 5, из выражения (8.2.14) находим t0 = 92 мкс, где было взято х = 230 мкс. При этом пусть длина полного прохода такого кольце­вого резонатора составляет I = 11,5 мм. Предположим, что связь на выхо­де (по пропусканию) равна Т = 0,4% и что потери за проход составляют L = 0,5%. Тогда полные потери за проход составят y = (T + L) = 0,9%, а время жизни фотонов в резонаторе будет равно хс = nl/cy = 7,8 не, где п = 1,82 — показатель преломления кристалла Nd:YAG. Далее, из выраже­ния (8.2.15) находим частоту релаксационных колебаний v = со/2л = 238 кГц. Следует заметить, что в этом случае имеем *0 » 1/со, и, таким образом, приближение со' = со является справедливым. Заметим также, что спектр этих колебаний характеризуется лоренцевым профилем с шириной Av0 = l/2nt0 = 1,73 кГц, которая также является шириной пика релакса­ционных колебаний (при разности 3 дБ) спектра относительного шума интенсивности (RIN-спектра) лазера (см. рис. 7.30а). Теперь рассмотрим обычный инжекционный GaAs лазер с длиной резонатора L = I = 300 мкм, в котором сколотые грани торцов кристалла являются зеркалами резона­тора. Согласно выражению (4.3.1) в этом случае коэффициент отражения (по мощности) для обоих зеркал будет равен R = [(п - 1 )/(п + 1)]2 = 0,3, где п — 3,35 — показатель преломления материала GaAs. Таким образом, имеем ух = у2 = - ln i? = 1,2.

Предположим также, что коэффициент распределенных потерь по длине полупроводника составляет а0 = 60 см-1, и, следовательно, можно записать yt = а 0L = 1,8. Таким образом, получаем у = yt + [(уг + у2)/2] = 3 и хс = LJсу = nL/cy = 1,1 пс. Время жизни верхнего состояния можно при­нять равным х = 3 не. Полагая вновь х = 1,5, из выражения (8.2.14) нахо­дим f0 = 4 не, и из соотношения (8.2.15) получаем v = со/2тс = 2 ГГц. В этом случае имеем t0 1/со, и приближение со' = со будет опять обосновано. Сле­дует также отметить, что согласно этим расчетам пик релаксационных колебаний RIN-спектра этого лазера будет лежать предположительно в диапазоне гигагерц (см. рис. 7.31).

Если условие £0 > 1/со не выполняется, то оба решения для переменнойр, определяемые выражением (8.2.10), вещественны и отрицательны. В этом слу­чае временная зависимость 5ф(£) представляет собой суперпозицию двух экс­поненциально затухающих релаксаций. Чтобы получить условие £0 < 1/со, в соответствии с выражениями (8.2.14) и (8.2.15), необходимо, чтобы выпол­нялось неравенство:

(тс/т) > 4(х - 1)/х2. (8.2.16)

Правая часть этого неравенства имеет максимальное значение (единицу) при х = 2. Это означает, что если тс > т, то это неравенство выполняется при любых значениях х. Данное условие обычно удовлетворяется в газовых ла­зерах, в которых поэтому не проявляется пичковый режим.

Пример 8.2. Нестационарный режим работы Не-Не лазера. Рассмотрим Не-Ме лазер, генерирующий на собственном красном переходе (к = 632,8 нм). В этом случае имеем т = 50 не. Выбрав длину резонатора равной Ь = 50 см, связь на выходе 1 %, а также пренебрегая всеми остальными потерями, получаем у = у2/2 = 5 • 10_3 и тс = Ь/су = 322 не. Таким образом, имеем тс>т, и условие (8.2.16) выполняется при любом значении х. Из выражений (8.2.14) и (8.2.15), принимая х = 1,5, находим £0 = 66,6 не и со = 5,6 • 106 Гц. Из (8.2.10) можно видеть, что два значения времени жизни, описывающих эту релаксацию, составляют 1 мке и 33,3 не.

Прежде чем завершить данный раздел, следует заметить, что рассмот­ренная линеаризованная модель применима и в несколько ином случае, а именно, когда необходимо проверить устойчивость стационарного решения с помощью линейного анализа устойчивости. Предположим в этом случае, что лазер уже работает в стационарном режиме и что он испытывает неболь­шое внезапное возмущение (т. е. ЪИ = ЪИ0 и 8ф = 8ф0 при £ = 0, где ЪИ0 и 8ф0 — две известные величины). Согласно приведенному выше рассуждению, воз­никшее в момент времени £ = 0 возмущение будет со временем затухать либо по затухающей синусоиде, либо по биэкспоненциальному закону. Поэтому стационарные решения Н0 и ф0, которые были рассмотрены в предыдущей главе, соответствуют устойчивому равновесию.