ПРИНЦИПЫ ЛАЗЕРОВ

КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОГЛОЩЕНИЯ И УСИЛЕНИЯ

Для того чтобы рассчитать поглощение с учетом закона сохранения к±, необходимо вначале ввести объединенную поверхностную плотность перехо­дов, или состояний, р2В так, что р2Л(Иг± дает отнесенное к площади попереч­ного сечения КЯ число разрешенных переходов или связанных переходами состояний с величиной к±, заключенной между к± и + йк±. Поскольку пе­реходы на рис. 3.23 могут происходить только вертикально и при этом = О,

То эта величина равна также поверхностной плотности состояний в валент­ной зоне или зоне проводимости, относящихся к тому же элементарному интервалу с1к±. Таким образом, используя соотношение (3.3.6), получаем:

Рл=Р 1°=к1/п. (3.3.17)

Рассмотрим теперь два заданных состояния с энергиями Е^иЕ'^, принадле­жащие, например, подзонам с п = 1 соответственно в зоне проводимости или в валентной зоне. Из рис. 3.236 и соотношения (3.3.3) видно, что разность энергий Е0 = Лу0 =Е>2~ Е[ определяется как

К2к2

Е0=Е8 + ^+АЕ1у (3.3.18)

Где тг — приведенная эффективная масса, а АЕХ = Е1с + Е1и. Если теперь вве­сти поверхностную плотность состояний р5£о в шкале энергий Е0У то можно записать:

Р^Ео^о =р5£<2Дг± =*±<гА±/я, (3.3.19)

Где было использовано соотношение (3.3.17). Величина к^к± может быть получена при дифференцировании обеих частей равенства (3.3.18). Исполь-/ зуя соотношение (3.3.19), определяем:

Тг/пН2.

Если теперь дополнительно ввести поверхностную ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ нуУо в шкале частот переходов у0, то, поскольку снова должно выполняться^ ра­венство р2^Уо=р^о<£Ео> из (3.3.20) получим:

Р2?о=4л тг/Н. (3.6.21)

Расчет общего поглощения падающей электромагнитной волны с Часто­той V можно провести таким же образом, как это было проделано для объем­ного полупроводника, т. е. с помощью соотношений (3.2.30) — (3.2.32), в которых величину р^у0) следует заменить на (р*во /Ь2), являющейся в рас­сматриваемом случае объемной объединенной плотностью состояний. Снова предполагая, что переходы между любыми двумя состояниями являются бес­конечно узкими, из соотношений (3.2.34) и (3.2.35) нетрудно получить ко­эффициент поглощения для переходов (п = 1) —»(п = 1) в КЯ в виде:

(3.3.

А(

(3.3.22)

Где через Е[ и Е% обозначены теперь энергии двух состояний, частота перехо­да между которыми равна V. При выполнении закона сохранения к± величи­ны Ег2 и Е{ нетрудно определить с помощью рис. 3.236и соотношения (3.3.18), полагая у0 = V.

Пример 3.11. Расчет коэффициента поглощения для квантовой ямы в СаАз/АЮиАв. Рассмотрим вначале случай Т = ОК. При этом все валент­ные подзоны заполнены, а все подзоны проводимости пусты, так что /„(£{) = 1и£(£2) = 0. Коэффициент поглощения в этом случае максима­лен и равен

Атах _( 2Л2У "| Ц2 Р5у

^ ; з ьг ’ <3-3-23)

А его зависимость от энергии фотона в наибольшей степени определяется величиной р^. Зависимость коэффициента поглощения в КЯ от разности между энергией фотона и шириной запрещенной зоны (Е - Её), рассчитан­ная из (3.3.23) для ширины ямы Ь2 = 10 нм, показана на рис. 3.27. Из рис. 3.25а видно, что равна нулю для таких энергий фотона, что Е < Её + Е1с + ЕХи = Её + АЕх. Таким образом, в случае (Е - Её) < АЕг погло­щения не ожидается. Снова полагая тс = 0,067т0 и тХ) = 0,46т0, из приме­ра 3.8 получаем АЕг = Е1с + Е1о = 65 мэВ. При АЕг ^ (Е - Её) ^ АЕ2, где АЕ2 = Е2с + Е2о9 объединенная плотность состояний р§^ задается соотно­шением (3.3.21) с у0 = V, а коэффициент поглощения имеет постоянную величину, равную

8тг3 (ь2гпг

(3-3.24)

Где X = c/v. В соответствии с примером 3.6 возьмем [iav = [ц2/3]1/2 = 0,68 • 10~25 К • м, тг = 5,37 • 10~32 кг, п = 3,64 и X = 833 нм. Тогда из (3.3.24) получим aQw =5/250 см-1. При (Е - Eg) ^ АЕ2 начинают происходить также перехо­ды между подзонами с п = 2, объединенная плотность состояний удваива­ется (см. также рис. 3.25а), а коэффициент поглощения также увеличива­ется в два раза. Отметим, что, поскольку Е2с = 4Е1с и E2v = 4Elv выполняет­ся соотношение АЕ2 = 4ДЕх = 260 мэВ. (Уместно теперь сравнить рис. 3.27 и рис. 3.16.)

Аналогичным образом можно продолжить описание для случая вынуж­денного излучения в КЯ. Легко показать, что соответствующие соотноше­ния для коэффициента усиления получаются из (3.3.22) путем перестановки местами индексов с и и, 1 и 2. При этом получим:

Необходимым условием положительного общего усиления снова является выполнение неравенства Ъ(Е2) из которого опять следует условие

Бернара-Дюраффура Н = Е2- Е[ ^ Е'Рс - Е'Ги. С другой стороны, величина должна быть больше, чем Её + АЕи так что

Ее+АЕ^ку^Е'р'-Е'ъ, (3.3.26)

И этими неравенствами определяется ширина линии усиления. Из (3.3.26) следует, что условие прозрачности имеет вид:

Е'Рс -Е’ъ =Её+АЕ1. (3.3.27)

Пример 3.12. Расчет концентрации прозрачности в квантовой яме в СаЛв. Из рис. 3.23 (см. также соотношение (3.2.3)) получаем, что

Е'рс = Ерс + Её и Ери = - Ери.

Условие (3.3.27) в новых переменных Ерс и Еро преобразуется, с использо­ванием соотношения АЕг = Е1с + Е1о, в более простое выражение:

(ЕРс - Е1с) + (ЕРи - Е1и) = 0. (3.3.28)

Для того чтобы получить из выражения (3.3.28) величину концентрации носителей при условии прозрачности Л^г, на рис. 3.26 пунктиром построе­на линия значений [(ЕРс - Е1с) + (ЕРи - Е1х) )]/кТ. Эта кривая получена путем суммирования величин, определяемых двумя сплошными линиями на рис. 3.26, при данной концентрации носителей N. Согласно (3.3.28), кон­центрация прозрачности соответствует точке, в которой пунктирная ли­ния пересекает нулевой уровень оси ординат. Из рис. 3.26 получаем Ntr= 1,25 • 1018 электронов/см3. I
При N > Л^г излучение в КЯ будет усиливаться, а величину коэффициен­та усиления можно определить из (3.3.25), если при данной концентрации инжектированных электронов N рассчитать энергии квазиуровней Ферми (в данном примере — из рис. 3.26). Характерные зависимости рассчитанно­го указанным способом коэффициента усиления от энергии фотона Е для КЯ шириной 8 нм в ОаАз/А10показаны на рис. 3.28 сплошными кривы­ми, для которых величина N (в единицах 1018см_3) является параметром. Кривая, помеченная как N = 0, отвечает поглощению в КЯ, и ее следует срав­нивать со ступенчатой линией на рис. 3.27. На рис. 3.28 ступеньки сглаже­ны, поскольку в расчете учитывалось также уширение индивидуальных пе - , реходов. Кроме того, следует отметить, что в расчетах принимались во вни­мание все возможные переходы в подзоны тяжелых дырок (НН) и легких дырок (ЬН), а прозрачность наступает при И1г г 2 • 10185 см"3. При АТ#Г ^ Игг пиковое значение коэффициента усиления снова может быть аппроксимиро - ! вано зависимостью, аналогичной (3.2.42), а именно:
Ёр — ~ Nіг)	(3.3.29)
Где 7 • 1016 см2. Сравнение полученных величин с соответствующими Характеристиками объемных материалов показывает, что хотя концентра­ция ІУ, Г и остается в обоих случаях почти одинаковой, дифференциальный коэффициент усиления <JQW в КЯ значительно (примерно вдвое) больше, чем В объемном полупроводнике. Аналогичная ситуация имеет место в лазерах на основе КЯ в 1п1_хОад. АзуР1_у/1пР [14], и в основном это связано с различия-
8000
*8 4000
- ЬН ’I I ■ -20000 Ь-і—Ь-і—»—I—і—і—і—і—I—і—і—і—і—I—і________ і_ і__і 1.4 1,5 1,6 1,7 1,8
Энергия [эВ]

Ми в плотностях состояний в объемном полупроводнике и в полупроводни­ковой КЯ (см. рис. 3.25а) [16]. Отметим, однако, что в полупроводниковых КЯ — как в ОаАз/АЮаАв, так и в Гп^Оа^Ав^Р^/ГпР — линейная зависи­мость ёр от N выполняется с меньшей точностью, чем в соответствующих объемных полупроводниках. Действительно, график зависимости ёр от N при данной температуре показывает, что при достаточно высокой величине N происходит насыщение ^ [14], причем этот эффект также в основном связан с различиями в плотностях состояний в двух сравниваемых полупроводни­ковых гетероструктурах. Наконец, напомним, что выражение (3.3.29) опре­деляет коэффициент усиления в веществе, в котором находится КЯ. Вопрос

О том, как эта величина связана с коэффициентом усиления моды полупро­водникового лазера, изготовленного на основе КЯ, а также реальные пре­имущества таких лазеров будут рассмотрены в главе 9 (см. раздел 9.4.4).