ПОЛИЭТИЛЕН ВЫСОКОГО ДАВЛЕНИЯ

Исследование устойчивости системы и определение областей различных режимов работы

Исследование устойчивости системы (5.10), (5.11) выполняется с помощью первого метода Ляпунова. Пусть xs и js — координаты иссле­дуемого состояния равновесия на плоскости ху. Найдем уравнения для х и у, подставив новые переменные в уравнения (5.10) и (5.11). Вели­чины % и т? связаны с переменными х и у уравнениями:

Y=ys+n -

Правые части уравнений (5.10) и (5.11) являются аналитическими функциями в некоторой области около рассматриваемого состояния равновесия, поэтому их можно разложить в ряд Тейлора относительно этого состояния равновесия.

Учитывая это и пренебрегая членами высших степеней, т. е. делая допущение о малости отклонений от состояния равновесия, получим систему двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

DC

—=а4+Ь»7, (5.13)

Dr

~ =c4+d»?, (5.14)

Dr

Где a, b, c,d - коэффициенты ряда Тейлора. 84

А = px(.xs■ ys); b = Ух); С = Qx(xs, ys); d = e^CJCj, /j) .

Характеристическое уравнение для данной системы будет: \2 - (a + d)X+ (ad - be) = 0.

Условия устойчивости системы (5.13), (5.14) соответственно запи­сываются в виде:

Д>0; о >0, где Д =ad-bc\ cr=—(fl + d) .

Граница устойчивости определяется из условий:

А = 0; (5.15) сг = 0. (5.16)

Кривые (5.15), (5.16) позволяют разбить плоскость входных пара­метров системы — входная температура у0, входная концентрация ини­циатора л:0 — на ряд областей, отличающихся друг от друга числом и ха­рактером устойчивости состояний равновесия. Пример такой разбивки приведен на рис. 5.3. Исследование показывает, что области 1 и 2 со­ответствуют одному состоянию равновесия: область 1 — устойчивому; 2 — неустойчивому; области 3—6 — трем состояниям равновесия; в обла­сти 3 два из них устойчивы, одно неустойчиво; в областях 4,5 — два не­устойчивых и одно устойчивое состояние; в области 6 все три состояния равновесия неустойчивы [71].

Рис. 5.4. Регистрация автоколебаний в реакторе

Интересной особенностью рассматриваемого объекта, обнаруженной Вольтером [75], является возможность возникновения в реакторе полимери­зации автоколебаний — незатухающих периодичес­ких колебаний температуры и концентрации реаген­та в реакторе. На рис. 5.4 представлена регистрация периодических колебаний температуры в промыш­ленном реакторе. Амплитуда колебаний составляет 25-30 °С, их период - 40-50 мин. Анализ матема­тической модели реактора показывает [71], что ав­токолебательным режимам соответствуют области 2 и 6 на рис. 5.3. Изменения входных параметров (входной температуры и входной концентрации

_

инициатора) приводят к переходу в другую область

функционирования реактора и прекращению авто­

Колебаний.

В ряде случаев реактор смешения в производстве ПЭВД рассматри­вается как аппарат, работающий в полусегрегационном режиме [73]. При этом предполагается, что по концентрации в реакторе осуществля­ется режим полной сегрегации, а по температуре — максимум смешения, т. е. температура однородна по всему объему реактора, а входные кон­центрации этилена и инициатора должны определяться через усреднение решений уравнений по плотности распределения времен пребывания Р(т), которое предполагается известным для изучаемого аппарата. Модель статики такого реактора включает уравнение теплового баланса вида (5.6) при условии dTJdt = 0 и уравнения для расчета концентраций:

_____ оо

Сi= f Р(т)Сі(т)с1т \ і = 1,2 (этилен, инициатор) , (5.17)

О

Где т - время; Q(r) - решения кщетических уравнений для концентраций моно­мера (i = l) и инициатора (/ = 2); С{ - концентрации мономера (i = l) и инициато­ра (/ = 2) на выходе нз реактора; Т - температура; Р(т) - плотность распределения времен пребывания частиц реакционной смеси для выходного сечения реактора.

Сравнительный анализ результатов по исследованию устойчивости с помощью математических моделей (5.5), (5.6) и (5.6), (5.17) пока­зывает, что модели (5.5), (5.6) дают более жестки$_условия устойчиво­сти. Качественный характер результатов при этом не изменяется. Поэтому анализ устойчивости обычно целесообразно выполнять с помощью более простой модели идеального перемешивания, получая при этом достаточ­ные условия устойчивости для полусегрегационной модели реактора.

Более точные расчеты количественных характеристик — температу­ры в реакторе, достигаемой в нем конверсии этилена — целесообразно
проводить с помощью полусегрегационной модели типа (5.6), (5.17), которая дает лучшее совпадение с экспериментальными данными. При­мер такого расчета рассмотрен в работе [74] при анализе работы цепоч­ки реакторов — аппарат смешения — трубчатый реактор.