Основы ТЕХНОЛОГИИ МАШИНОСТРОЕНИЯ

ПОСТРОЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА

Известно, что технологический процесс, функционирование техно­логической системы подвержены воздействию многочисленных случай­ных факторов. В этом случае на помощь исследователю приходят прие­мы и способы моделирования, основанные на методах теории вероятно­стей и математической статистики. Теория вероятностей изучает случай­ные события, случайные величины и их распределение. Математическая статистика дает информацию, получаемую при конкретных реализациях случайных событий и величин. Если какой-либо процесс описывается тем или иным законом распределения, то математическую запись этого закона распределения уже можно рассматривать как математическую модель данного процесса.

С помощью вероятностно-статистических моделей решаются раз­личного рода задачи проектирования, изготовления и контроля изделий, в частности, при расчетах и исследованиях точности процессов и обору­дования, суммарных погрешностей изготовления изделий, размерных цепей, а также разработке и выборе статистических методов контроля качества изделий.

В технологии машиностроения наиболее часто встречаются вероят­ностно-статистические модели, описываемые следующими законами рас­
пределения: закон Бернулли (биноминальное распределение), закон нор­мального распределения (закон Гаусса), закон Пуассона, закон равной вероятности, закон Симпсона и многие другие и их комбинации.

Распределением Бернулли описываются процессы, которые предпо­лагают условие независимости испытаний при неизменной вероятности р = const появления события при каждом эксперименте или при вероят­ности q = 1 - р того, что событие не состоится.

Тогда вероятность осуществления т успехов в серии из п экспери­ментов

Я„(ш) = От(1-р)

П\

Где с; =----------- :-------- число сочетаний из п элементов по т.

Т\(п - т)\

Это распределение служит математической моделью многих про­цессов, в частности, может описывать ситуацию обработки партии оди­наковых деталей на одном станке.

Закон нормального распределения служит моделью процессов, ре­зультат которых зависит от большого числа независимых факторов при­мерно одного порядка. Такому распределению часто подчиняются про­цессы измерения при автоматическом или близком к нему изготовлении деталей на станках и др.

Функция распределения случайной величины X, подчиняющейся нормальному закону:

Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратичное откло­нение описываются так:

М{х} = а, d{x} = ст2; о[лг] = о.

Распределение Пуассона описывает процессы, которые относятся к так называемым редким событиям. Функция распределения случайной величины, подчиняющаяся закону Пуассона, имеет вид

Xl

Это распределение широко используют в теории надежности, в за­дачах, связанных с обслуживанием заявок, поступающих в систему.

Из других законов распределения следует упомянуть распределение по закону равной вероятности. Он моделирует поведение случайных ве­личин, появляющихся при ошибках округления по шкале до ближайшего целого деления, в ошибках электрических синхронных передач ступенча­того типа, в направлении векторных ошибок в механизмах, например, ошибок от эксцентриситетов, перекосов осей и т. д.

Область возможных значений случайной величины, подчиненной закону равной вероятности, определяется от b до с.

Плотность вероятности

О, х < Ь\

Ф(х) = <------- , Ь<х<с\

Математическое ожидание, дисперсия и ее среднеквадратическое отклонение:

Приведенные выше модели являются простейшими вероятностными моделями распределения одной величины.

Более сложная задача - описание зависимости между двумя величи­нами х и у. Пытаясь построить график зависимости у от х, исследователь поступает следующим образом: задавая значение входа х, он измеряет значение выхода/ Если бы случайные факторы отсутствовали, то выход у получался бы однозначно. Но на самом деле при одном и том же значе­нии х исследователь получит целый ряд выходных значений у (рис. 1.8.29, а). Становится очевидным, что между X и / связь можно оп­ределить, лишь обратившись к методам теории вероятностей и математи­ческой статистики.

Теоретически просто найти кривую / =/(х), если х, у заданы совме­стным распределением вероятностей. Тогда в качестве кривой берется условное математическое ожидание случайной величины у при условии, что величина х приняла определенное значение:

Л/(у|х = х0) = ф(х).

/

Хі Xj К

В)

Д) е)

Рис. 1.8.29. Точечные диаграммы

Эта функция и будет искомой зависимостью в среднем между у и. v. Уравнение у =f(x) называется уравнением регрессии >> нах.

На практике точный вид распределения почти всегда неизвестен, поэтому вид уравнения у = у(х) также неизвестен. В распоряжении ис­следователя есть лишь некоторый набор наблюдений - "облако" данных (рис, 1.8.29,6). В этом случае поступают так: сначала для различных
входных значений х строят соответствующие точки у, затем при каждом значении х, т. е. по каждой вертикали, усредняют имеющиеся значения у (рис. 1.8.29, в). Эти средние значения и будут аналогом условного матема­тического ожидания выхода по входу; они дают возможность построить приближенно график зависимости Y от X. Затем полученную кривую можно аппроксимировать (приблизить) какой-либо известной функцией, которая и будет математической моделью неизвестного уравнения рег­рессии.

Примером таких математических моделей может служить точечная диаграмма размера обработанных деталей. Так, действие случайных фак­торов и систематического износа режущего инструмента описывается линейной моделью: у = ах + b (рис. 1.8.29, г). Действие нескольких слу­чайных и систематических факторов (рис. 1.8.29, д) можно описать моде­лью, представляющей собой тригонометрическую функцию

У =As\nK\X + BcosK2x + С.

Уравнение регрессии у = f(x) неизвестно и из экспериментального материала его нельзя вывести аналитически. Поэтому исследователь по­ступает следующим образом: по внешнему виду "облака" данных он под­бирает математическую модель - какую-либо аналитическую зависи­мость/ отх, обычно в виде такой зависимости применяется многочлен

Рп{х) = а0 + а\Х + а2х2 + ... + а„х".

В математическом анализе имеется теорема, утверждающая, что любую непрерывную функцию у = <р(х) с любой заданной точностью Т можно описать многочленом р„{х) определенной'степени.

Коэффициенты многочлена выбирают таким образом, чтобы его график как можно ближе, теснее прилегал к экспериментальным точкам. В качестве меры отклонения графика от имеющихся значений обычно берут сумму квадратов отклонений в соответствующих точках х.

Если исследуемая величина / зависит более чем от одного фактора, т. е. / = /(*), ..., х„) является функцией нескольких переменных (факто­ров), то в этом случае для построения уравнения регрессии используют методы планирования эксперимента.

К планированию эксперимента обращаются тогда, когда пренебречь зависимостью / от нескольких факторов, кроме одного, невозможно, не исказив картину процесса. К планированию эксперимента прибегают и тогда, когда необходимо получить какую-либо аналитическую зависи­мость между параметрами процесса, которую нельзя вывести на основе причинно-следственных связей, так как последние неизвестны. К таким задачам можно отнести задачу определения зависимости силы резания от параметров процесса: глубины резания, твердости материала, геометрии режущего инструмента и т. п.; к этой же задаче можно отнести задачу определения периода стойкости инструмента.

Определение коэффициентов уравнения регрессии иначе можно на­звать идентификацией объекта как "черного ящика", функционирование которого описывает это уравнение.

Перечисленные способы, однако, становится трудно применять для идентификации сложных технических объектов, когда зависимость^ от х существенно нелинейна. В этом случае прибегают к методу Монте-Карло или статистических испытаний.

Схема его применения такова. Пусть функция у = f(x) существенно нелинейна (сложна) и отсутствуют удовлетворительные методы решения этой задачи. Датчик случайных чисел дает возможность построить по­следовательность случайных чисел хь х2, ■■■, xN с требуемым законом распределения. С помощью исходной формулы (т. е. проведя экспери­мент), можно получить последовательность значений

У]=/(х,), y2=f(x2),-,yn=f(xN),

Представляющую некоторую случайную последовательность. Проведя достаточно большое число вычислений и обработав последовательность ух, у2,......... > yN, можно с любой заданной точностью определить статисти­ческие свойства случайной величины У и найти интересующий закон распределения. Таким образом, выход "черного ящика" моделируется как случайная величина с определенным законом распределения.

Один из возможных способов применения метода Монте-Карло оптимизация режимов резания при нелинейном критерии оптимизации (например, себестоимость механической обработки изделия). Автомати­зация технологических процессов и управления ими ставит новые задачи, некоторые из них можно решить с помощью метода стохастической ап­проксимации.

Метод стохастической аппроксимации состоит в следующем. С по­мощью датчика случайных чисел определяется ^ = ^ (моделируется слу­чайное возмущение). Для этого ^ = решается неслучайная задача ка­ким-либо методом оптимизации и находится значение управляемого па­раметра х = X]. Далее по новому случайному значению £ = находят х = х2. Вычисляют

Х2 = х, + а[(х2 - Х[).

Этим же способом определяют х = х3 и следующее приближение: Зс3 = Зс2 + а2(х3 - х2) и т. д.

Схема указанной процедуры в общем виде может быть представлена

Так:

Хк + 1 = хк + ak(xk + l ~ хк)>

Где ак - коэффициент; к - номер шага процедуры, которая выполнима при следующих условиях:

А*—>0; 1а4=<ю; 1а* <оо.

Эту процедуру можно изобразить графически (см. рис, 1.8.29, е). Выполняя эту процедуру для каждого заданного значения а, можно смо­делировать зависимость/ от х в среднем.

Метод стохастической аппроксимации универсален. С его помощью можно решать задачи на оптимум. Метод стохастической аппроксимации используют при создании адаптивных систем управления технологиче­ским оборудованием, предназначенных для повышения точности размера.

Особое значение в технологии машиностроения имеет моделирова­ние процессов, параметры и характеристики которых изменяются с тече­нием времени. Сюда можно отнести все процессы механической обра­ботки деталей, временные связи технологических процессов, задачи ак­тивного контроля размеров. Эти задачи и другие, им подобные, решаются с привлечением аппарата теории случайных процессов (случайных функций),

Значения случайного процесса X{t) при каждом t являются случай­ными величинами. Основные характеристики случайного процесса:

- функция A(t) = Mx(t), называемая средним значением случайного процесса;

- корреляционная матрица B{B(tK, /,)}, составленная из значений функции B(s, t) = Лфс(я) - Я(я)][х(/) - А (г)], называемая корреляционной функцией процесса и служит моделью взаимосвязи значений процесса в различные моменты времени.

Каждое значение х(?) случайного процесса, являясь случайной вели­чиной, формально зависит от некоторого элементарного события (исхо­да). Рассматривая случайный процесс при каждом элементарном исходе, мы имеем соответствующую функцию, которая называется реализацией или траекторией или выборочной функцией случайного процесса. Реаль­но наблюдая случайный процесс, фактически можно наблюдать одну из его возможных траекторий. Представим, что имеется некоторая совокуп­ность X всех возможных траекторий и некоторый "механизм случайно­сти" избирает одну из этих функций x(t). Общая теория случайных про­цессов имеет несколько частных теорий: стационарных случайных про­цессов, цепей Маркова, диффузионных процессов. Пользуясь методами теории случайных процессов, можно решать задачи прогнозирования и регулирования.

Широко применяют эту теорию в задачах активного контроля раз­меров. Известно, что погрешности размеров являются результатом со­вместного действия ряда факторов, носящих случайный характер (изна­шивание и затупление режущего инструмента, тепловые и силовые де­формации технологической системы), степень влияния которых на про­цесс механической обработки изменяется в процессе обработки, т. е. с течением времени. При моделировании действия этих факторов исполь­зование аппарата случайных процессов (случайных функций) позволяет получить гораздо больший объем интересующей информации, чем ис­пользование для этой цели лишь одной реализации случайной величины. Теорию случайных процессов применяют также при создании различного рода систем автоматического регулирования, следящих систем.