ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ СВАРНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

УПРОЧНЕНИЕ НА РАСТВОРЕННЫХ АТОМАХ

5.2.1.

ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ СФЕРИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Рассмотрим равновесие половины малого симметричного сфе­рического элемента, изображенного на рис. 5.16.

Сферические координаты: r — радиус; ф — угол азимута (дол­гота на глобусе); 0 — угол места (широта на глобусе).

Выделим сферический тонкостенный элемент с внутренним радиусом r и наружным радиусом r + dr. Рассечем этот элемент по

диаметру 0 = 0. Получим сфериче­скую чашу, изображенную в сред­ней по высоте части рис. 5.16. Для нее составим уравнение проекций всех сил на ось 2.

УПРОЧНЕНИЕ НА РАСТВОРЕННЫХ АТОМАХ

Рис. 5.16

Расчетная схема уравнения равновесия для половины малого сферического элемента

Проекция напряжений ar, дей­ствующих на всей внутренней по­верхности элемента, равна этим напряжениям, умноженным на площадь проекции внутренней по­верхности на плоскость, перпенди­кулярную оси 2. Эта эпюра изобра­жена в верхней части рисунка, и сила от нее составляет: N2 = ar - л - г2.

При увеличении радиуса r на малую величину dr напряжения ar получают приращение dar. Поэто­му проекция на ось 2 равнодейст­вующей радиальных напряже­ний, действующих на наружную поверхность элемента, равна:

(N2 + dN2) = (ar + dar) - л - (r + dr)2.

Эпюра, создающая эту силу, показана в нижней части рисунка. Напряжения сте, действующие в диаметральном сечении стен­ки элемента, создают погонную силу, равную aedr. Эпюра этой силы изображена в средней части рисунка. Ее равнодействующая:

N2e = сте - 2 -л - r - dr.

Суммируя все перечисленные силы, получим уравнение рав­новесия для половины сферического элемента:

£ Z = 0 = N - (N + dNz) + N2,=

= ar - n-r2 -(ar + dar)-n-(r + dr)2 +ct0 • 2n •r dr = 0.

Сокращая на л, раскрывая скобки, пренебрегая малыми вели­чинами второго и третьего порядка и уничтожая члены (-стг - лг2 + + ar ■ лг2), получим:

ar - 2r - dr + dar - г2 - сте - 2r - dr =0.

После деления этого выражения на г2 - d, получим дифферен­циальное уравнение равновесия с двумя (ar и сте) неизвестными функциями от r:

dQr + 2(pr ~р8 ) = 0 dr r

(5.21)

Чтобы получить из (5.21) обыкновенное дифференциальное уравнение, нужно выразить напряжения через радиальное пере­мещение uk. При записи закона Гука учтем, что в силу сфериче­ской симметрии

^8 ; ^8 r ; ^r

dur dr '

Тогда уравнения закона Гука примут вид:

sr = E' [°r _V' (СТФ +СТе )] = E' [°r _ 2v-ct9 ] = dr;

ф

ф

E

E

єф = 1 -[СТф - V'(CT0 + CTr )] = — '[(1 - V) - СТф - V'CTr ] = ~r.

Решим эту систему из двух уравнений относительно напря­жений: d

°r -2v' СТФ = E' ~r;

-v' Or + (1 - v)' СТф = E' Ur;

откуда следует:

стф = CTe = C ■

(5.22)

стг = C

(1 - v) .^- + 2v u dr r

. dUr + u dr r du.

где

E

C = -

1 - v-2v2

Подставим формулы (5.22) в уравнение (5.21):

d2ur

C ■

(1 - v)

dr 2 dur

2C

r

(1 - v)

= 0.

dr

Q I 1 d ur 1

-2v-|----------- - u ■ —

r dr r2

-2v ■ u-v ^ - u r dr r

Сократив на С ■ (1 - v), получим обыкновенное дифференциаль­ное уравнение сферически симметричной задачи:

(5.23)

d2ur + 2 dur _ 2u _ о dr2 r dr r2

Его решение будем искать в виде степенной функции: ur = A ■ rn, где: A, n — постоянные. Вычислим производные этого решения:

— = A ■ n ■ rn 1;

du

dr

d2u

L = A ■ n ■ (n -1) ■ rn-2.

dr 2

После подстановки этих производных в уравнение (5.23) полу­чим:

A ■ n ■ (n -1) • rn-2 + — • A ■ n ■ rn-1 - -—- ■ A ■ rn - 0, r r2

или после сокращения на A ■ rn-2:

n ■ (n -1) + 2 • n - 2 = 0; ^ n2 + n - 2 = 0; ^

ni,2 =-2±^(-1) -(-2) =-0,5±1,5;^

ni = 1,0; n2 = -2,0.

Двум решениям (n1 и n2) соответствуют два значения постоян­ной А. Общее решение уравнения (5.23) получается в виде суммы

A,

г2 ’

этих решений:

(5.24)

где постоянные A1 и А2 определяются из граничных условий.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ СВАРНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

УРАВНЕНИЯ СПЛОШНОСТИ И ПОСТОЯНСТВА ОБЪЕМА

Уравнения сплошности выполняются автоматически, если де­формации вычисляются по формулам (2.25) и (2.26) путем диф­ференцирования трех непрерывных функций для перемещений: ux(x, y, z), uy(x, y, z) и uz(x, y, z). Однако …

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ФОРМУЛЫ (7.16)

Для экспериментальной проверки совместно с ЦНИИ «Проме­тей» были изготовлены крупные образцы из стали М16С (типа ВСт3) и 10ХСНД толщиной 20-40 мм, которые разрушались при температурах от +24 до -196°С. Конструкции …

СОЕДИНЕНИЯ С ЛОБОВЫМИ ШВАМИ

На рис. 7.18 показано сварное соединение листов разных тол­щин (t1 и t2) лобовыми швами № 1 и № 2. При дальнейших расчетах будем считать длину шва равной единице, т. е. …

Как с нами связаться:

Украина:
г.Александрия
тел./факс +38 05235  77193 Бухгалтерия
+38 050 512 11 94 — гл. инженер-менеджер (продажи всего оборудования)

+38 050 457 13 30 — Рашид - продажи новинок
e-mail: msd@msd.com.ua
Схема проезда к производственному офису:
Схема проезда к МСД

Оперативная связь

Укажите свой телефон или адрес эл. почты — наш менеджер перезвонит Вам в удобное для Вас время.