ОСНОВЫ СВАРКИ СУДОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ

ДЕФОРМАЦИИ, НАПРЯЖЕНИЯ И ПЕРЕМЕЩЕНИЯ, ВОЗНИКАЮЩИЕ В НЕРАВНОМЕРНО НАГРЕТОЙ БАЛКЕ

Рассмотрим балку простейшего сечения (прямоугольник) с прямо­линейной осью, н в центре тяжести ее левою торца поместим начало системы координат ATZ, направив ось А' вдоль ее длины, оси )' и 7, - вдоль главных осей поперечного сечения балки (рис. 16.5, а).

два

Выделим па некотором расстоянии. гот начала коордпнатдвумя бес­конечно близкими сечениями ап и bb, перпендикулярными к оси ОХ, участок балки dx, отнесем его к единице длины и изобразим в несколь­ко увеличенном виде (рис. 15.5, б, в). Предположим теперь, что балка подвержена внешнему нагружению (центральной продольной силой X и изгибающими моментами в плоскостях X0Z и АО Y М / и Л/, соответ­ственно) и неравномерно нагрета как но длине, так и по поперечному сечению (причем значения температур и их распределение не оговари­ваются).

а - общая схема нагружения: и. я - деформации участка балки единичной длины: с0 - смещение сечения bb но центральной оси: tp и ц/ — глы попорота сечения bb отпек итолыю осей О Y и II/. t - // и г координаты центра тяжести доны остаточных и. ніс і нчееких деформаций

Соответственно в выделенном участке балки в результате внешнего и теплового нагружения каждое продольное волокно будет стремиться удлиниться (или укоротиться) на величину, обусловленную этим на­

гружен нем. Это удлинение (укорочение) волокна может быть реализо­вано полностью, частично или вообще не реализовано по причине, что это удлинение (укорочение) ограничено смещенным сечением Ь'Ь'{ш. рис. 15.5, 6, в), которое, согласно гипотезе плоских сечений, правомер­ной для балок, всегда при деформировании балок остается плоским. Таким образом, согласно выражению (15.5), действительная относитель­ная продольная деформация каждого волокна в сечении балки є (у, г)[15], ограниченная смещенным, но плоским сечением, будет являться сум­мой упругой е' _ а(У - температурной г1 (у, г) и пластической £''(*/> г) деформаций:

= —■-г-- + вГ(г/, z) + zp(y, z). (15.6)

Ь

Заметим, что выражение (15.6) является уравнением смещенного плоского сечения.

С другой стороны, как видно из рис. 15.4, б, в, геометрически урав­нением этого смещенного сечения является известное выражение

є(/А г) = єо +Э г + сгУ< (15-7)

где е(| - продольная относительная деформация по нейтральной оси:

с, = tg ср - кривизна оси единичной длины балки относительно оси Т;

су = tg ф - кривизна оси единичной длины балки относительно оси Z.

Значение кривизны с} или су принимается положительным, если центр кривизны расположен в отрицательных направлениях осей Z и У соответственно.

Уравнения (15.6) и (15.7) описывают одну и ту же плоскость, поэто­му приравняем их правые части и решим полученное выражение отно­сительно а (у, г):

а(у, г) = £^є„ +cyz + czy-z! (у, г)-г'’(у, г)]. (15.8)

Поскольку выделенный участок балки должен находиться в равно­весии. то должны выполняться условия равновесия

[ст(//. z)dF = Л'

ja(y. z)z(lF = M/:

г

Jct(//. z)ijdF = M) :

Подставляя выражение (15.8) в (15.9). получим гри совместных урав­нения относительно трех неизвестных величин е(), г, и су, которые назы­вают характерными деформациями сечения балки.

Решая эти уравнения, учтем, что интегрирование распространяется на всю площадь поперечного сечения балки. Так как координатные оси являются главными осями поперечного сечения, то статические и цен­тробежный моменты равны нулю:

I I Г

Другие интегралы представляют собой:

jdF = F - площадь поперечного сечения;

/

ji/dF = }/ - момент инерции относительно оси Z;

F

j:~dF = J] - момент инерции относительно оси Y.

1-

Учитывая эти выражения, получим формулы для определения ха­рактерных деформаций сечения балки:

(15,10)

где

E jV {y, z)dE = Лг/ - усилие, обусловленное неравномерным нагревом

/

сечения выделенного участка балки;

£ jc. г )<•/£ = .г/‘ - усилие, обусловленное развитием продольных /

пластических деформации:

Е (i^z)zdE = М - момент в плоскости X0Z, обусловленный нерав-

/

номерным нагревом сечения;

Е js7 (y, z)ydF = М{ - момент в плоскости ХОУ, обусловленный нерав - /

номерным нагревом сечения;

£ Je'' (t/,z)zdF = My - момент в плоскости X0Z, обусловленный раз-

г

витием продольных пластических деформаций;

£ jV;''(у. г)ydV = М(‘ - момент в плоскости ХОУ, обусловленный раз-

/

витием продольных пластических деформаций.

Полученные уравнения (15.10) являются универсальными в том смысле, что они справедливы для нагретых и не нагретых балок, рабо­тающих как в упругой, так и в упругопластической области. Но при этом, и это следует подчеркнуть, уравнения (15.10) справедливы, если извес­тна на любой определенный момент нагружения вся предыстория внеш­него и теплового нагружения, т. е. до этого момента прослеживалось развитие продольных упругих, температурных, пластических и действи­тельных деформаций во времени от начала нагружения во всех точках сечения выделенного участка балки.

С этой точки зрения оценим следующую ситуацию: балка была под­вергнута внешнему и тепловому нагружению, прослеживалась история нагружения, и в какой-то момент времени балка остыла, а внешнее на­гружение сняли, т. е.:

N = 0: Му_ = 0; Му = 0; N1 = 0; М = 0; Ы = 0.

Уравнения (15.10) преобразуются к виду:

y'iii, z)zdF

Щ г

Cy~EJ)= Jr =./>V

js1' (у, z) ydF

Аг

/z Jz

здесь Ar= Jr7'(jy.3)(/F - величина объемного изменения металла, обус­ловленного пластическим деформированием металла в продольном на­правлении, на единицу длины балки, сг’. В сварочной практике эту ве­личину объемного изменения металла называют объемом продольных пластических деформаций, а в случае полного охлаждения - объемом остаточных продольных пластических деформаций, а в зависимости от знака величины объемного изменения: минус - объемом продольного укорочения, плюс - объемом продольного удлинения; z, у -координа­ты центра тяжести объема Лг. см (рис. 15.5, і, где. например, заштрихо­ванная часть сечения балки - зона остаточных пластических деформа­ций):

jsp (у, z) zdF

jep(y. z)rlF

Г

JV' (y, z)ydF

je1’ (i/,z)dF г

Если положить, что объемные изменения по длине балки одинако­вы и координаты центров тяжестей этих объемов в любом сечении бал­ки неизменны, то

Соответственно:

I-

AV = |дг(л)е/л' = Дг£.

где Л V — величина объемного изменения металла, обусловленная плас­тическим деформированием в продольном направлении на всю длину балки, см ’: L - длина балки, см.

Значения кривизны в любом сечении по длине балки также одинаковы:

с> (*) = {ї ■•<>(•*■) = сг-

Зависимости (15.11) представлены в форме, аналогичной той, кото­рая дается в курсе «Сопротивление материалов» для балок, подвергае­мых внецентренному сжатию или растяжению. Действительно, умно­жая числители и знаменатели правых частей формул (15.11) на модуль нормальной упругости, получим

(15.15)

где NP = EАг. Величина N'1' характеризует величину усилия, которое, будучи приложено в центре тяжести объема Лг, вызывает те же пара­метры деформации сечения, что и изменение объема металла, приходя­щееся на единицу длины балки. Такое написание формул для опреде­ления характерных деформаций сечения балки позволяет свести определение деформаций балочных конструкций, обусловленных объемными изменениями металла, к решению задач об изгибе бруса.

Для определения перемещений точек оси балки имеем известные из сопротивления материалов дифференциальные зависимости

(15.16)

где ггч, и/ - продольные и поперечные перемещения точек оси балки.

Интегрируя первое уравнение от 0 до L, находим изменение длины балки по ее центральной оси:

ЛА>=«(£)= JeiA-

о

Подставляя значение єі( из (15.11), с учетом (15.13) имеем

Интегрируя второе и третье уравнения (15.16) в пределах от 0 до х, находим углы поворота текущего сечения. г:

du

ф =_£= Jfyr/v + q^ (());

(Ix (f

Ф/=^= JV0' + 'Pz((>)-

Интегрируя (15.18) еще раз от 0 до х. получим уравнение изогнутой продольной оси балки

иЛх)= JJc, т/л г/л + л (0) + wz(0):

0 0 I I

Uy (х) = J jcz(lxdx + л'ф7 (0) + (0),

0 0

Постоянные интегрирования ф((0), Ф7(0) и мДО), «,(0) характери­зуют углы поворота и перемещений оси балки в нулевом сечении (г = 0).

При сделанном ранее предположении, что объемные изменения по­стоянны по длине балки (15.12) - (15.14), эпюры кривизны с, и с пред­ставляют собой прямоугольники (эпюра кривизны г, представлена на рис. 15.6. а).

R =R„=1^.

2 (15.20)

Перерезывающая сила в сечении а, определяющая угол поворота сечения (рис. 15.6, 6):

Фг 0) = Я г - <5 - V = (-у~<уХ = су ^х'-

Отсюда

Фг(0) = 1“- Ф>(і) = -^.

Следовательно. угол поворота концов балки один относительно дру­гого

Ф) =ф((>)~Фг(/-) = - У

Аналогично:

Подставив значение г, и с/ из (15.11) и учитывая (15,13), получим

Л Г

Ф> = -7~г<';

JY

А Г Фг =т~#< • Jz

Изгибающий момент в сечении. г, определяющий прогиб балки иу(х) в этом сечении (рис, 15.6, в):

их (.v) = К,.v - г,,г| = L - х).

Отсюда максимальный прогиб в среднем сечении балки (стрелка прогиба)

L1 _ ф) і

Аналогично:

Учитывая разобщенность полученных в настоящем подразделе ос­новных формул, связывающих объемные изменения металла с дефор­мациями и перемещениями точек балочной конструкции, приведем их в компактном виде:

В дальнейшем формулы (15,26) будут использованы для расчетной оценки остаточных геометрических искажений сварных конструкций балочного типа. Следует также заметить, что полученные формулы мо­гут быть расчетными и в случаях, когда объемные изменения обуслов­лены и другими причинами.

Определение же объемных изменении Дг и ДК в процессе сварочно­го нагрева и охлаждения является специфической сварочной задачей, рассматриваемой в следующих разделах.