Оптоэлектроника

Валентные подзоны

В разделе 8.3 мы уже видели, каким образом электронное ограничение потенциа­лом ямы приводит к сдвигу минимума зоны проводимости и проявлению кванто­вой энергии ограничения. В случае валентной зоны мы уже не можем использо­вать ту же аппроксимацию. Уровни у потолка валентной зоны являются вырож­денными по отношению к подзонам легких и тяжелых дырок в центре зоны Бриллюэна. В дополнении 1.Б мы уже видели, что возмущение может приводить к снятию выврождения уровней. И в этом случае мы смогли решить задачу, устано­
вив векторное подпространство, перекрываемое вырожденными состояниями, а также изучая влияние возмущения на это подпространство. Сейчас мы покажем, каким образом можно расширить этот подход с тем, чтобы включить в него аппроксима­цию огибающей функции для набора зон.

Основной идеей, лежащей в основе этой аппроксимации, является предположение о том, что волновые функции дырок могут быть представлены в виде ряда:

(8.Г.1)

Здесь: ип0 есть волновые функции в центре зоны Бриллюэна для различных дырочных подзон (т. е. п = 1 для тяжелых дырок и п = 2 для легких дырок), а £п есть огибающая функция, которая изменяется в пределах существенно большего масш­таба длин по сравнению с постоянной решетки. При рассмотрении в пределах мно­гих элементарных ячеек уравнение (8.Г.1) показывает, что мы находимся в вектор­ном подпространстве, образованном вырожденными дырочными зонами. Уравне­ние Шредингера для у всегда может быть выражено в виде:

(8.Г.2)

подпись: (8.г.2)_£_+Кс(г) + К(г) у{т)=Еу,(г)

Здесь К есть кристаллический потенциал, а У есть внешний потенциал. Это урав­нение можно записать также и в виде:

(РС,)[Р«„о(г)]

Та

подпись: (рс,)[р«„о(г)]
та

= £^«„0(г)С(г) (8.Г. З)

подпись: = £^«„0(г)с(г) (8.г.з)У «.«(Г) ^- + е., + К(г) Ш +

П _2т°

Здесь мы использовали тот факт, что ип0 представляют собой стационарные состо­яния кристалла при к = 0 с энергией ем. Подобно тому, как это уже неоднократно делалось на протяжении этой главы, спроецируем это уравнение на известный ба­зис. Для этого умножим это уравнение на м*0 и проинтегрируем по всему про­странству. Изменение £п в пределах постоянной решетки пренебрежимо мало, по­этому мы можем привести интегралы к более удобному виду, следуя методу, ис­пользованному в (8.55). Ортогональность блоховских функций в пределах каждой ячейки приводит к следующему уравнению для £п:

Валентные подзоны

Рис. 8.Г.1. Валентные зоны в квантовой яме.

<Г*(г) + [р<Г„(г)1 = (Е - eN0){N(T)

+ y^(*a<.v,

4" «о

П2

■+v{z)

2 тп dz

Рт

+ У г? то

+/?'2)е^г)

Az

2т0

7Ef-fe>

1 Nn

Mt,

+ Г(г)

2/и„

(8.Г.4)

 

Валентные подзоны

Здесь = (и^и^) есть матричный элемент, связывающий ТУ-ную и я-ную зоны в рамках

К • р-теории (смотрите Дополнение 5. В).

Мы видим, что (8.Г.4) является тем же самым матричным уравнением, полученным при рассмотрении к • р-теории (смотрите (5.В. 10), если мы заменим к на оператор р и вве­дем в диагональ матрицы внешний потенциал. Для потенциала V(г), изменяющегося только в одном направлении, останется хорошим квантовым числом, при этом огибающая фун­кция может быть представлена в виде £(г) = (1/л/у4)^1К(г)ехр(1К)| • Л), который приводит уравнение к системе связанных дифференциальных уравнений относительно СпК(%):

 

Валентные подзоны
Валентные подзоны

Здесь мы использовали тот факт, что плоская волна в направлении, перпендикулярном z, диагонализирует к • р-матрицу с собственными энергиями ^К|(, 0).

В прямоугольной квантовой яме (смотрите рис. 8.Г.1) PNn и ^(Кц, 0) являются постоянными в каждом материале. Влияние потенциала V(z) заключается в возник­новении разрывов зон, которые мы учитываем, накладывая на волновые функции и поток вероятность условия непрерывности на границах раздела (смотрите раздел 8.2).

Мы видим, что в каждом материале решение (8.Г.5) соответствует энергии Е в виде:

 

= a„eikmZ + Д, е

 

(8.Г.6)

 

Здесь кп есть комплексное число, которое является решением уравнения:

Еп( к) = Е (8.Г.7)

Т. е. кп есть поперечный волновой вектор, при котором зона п имеет энергию Е.

Следует отметить, что для энергии в пределах запрещенной зоны и над потолком ва­лентных зон уравнение (8. Г.7) имеет чисто мнимое решение кп = кп (смотрите, например, уравнение (5.В.25)). В объеме такое решение является недопустимым, т. к. оно расходится на бесконечности. Однако, в случае туннельного эффекта такое решение может возник­нуть в виде затухающей волны в конечной или полубесконечной области пространства. Рисунок 8.Г.2 иллюстрирует этот принцип для двух дырочных подзон в двух материалах для энергии, близкой к валентной зоне.

В барьерном материале для двух валентных зон, Е > ^(Кр 0) возможно только затуха­ющее решение. Если между —Ь/2 <z<L/2 заключен узкозонный материал, решение для I < —Ь/2 должно содержать а(1) = 0 в разложении (8.Г.6). При z > Ц2 только /?(3) = 0 дает возможное решение. В материале ямы Е < £/(Кр 0) без каких-либо ограничений на коэф­фициенты. На границах раздела условия непрерывности волновых функций, следующие из (8.Г.5), например при z= Z_ = —Ь/2, имеют вид:

 

(2 )'ikNz_

 

(8.Г.8)

 

N

 

Аналогичное уравнение для условия непрерывности производной волновой функции имеет вид:

 

2тп

 

(8.Г.9)

 

Валентные подзоны

Как мы видим из (8.Г.9) влияние границ раздела заключается в перемешивании компонент легких и тяжелых дырок, хотя эти компоненты являются независимыми

 

А материал барьера б материал ямы

 

Рис. 8.Г.2. Вблизи валентной зоны значения к, при которых е(к) =Е являются дей­ствительными при Е, лежащей ниже потолка валентной зоны, и действи­тельными при Е, лежащей выше. Рисунок показывает, каким образом вол­новые векторы, входящие в уравнения (8.Г.6)—(8.Г.9),определяются для за­данной энергии Е, определяемой Кц =0.

 

Валентные подзоны

Валентные подзоны

К„ (А'1)

Рис. 8.Г. З. Валентные подзоны квантовой ямы, соответствующие движению, парал­лельному границам раздела, являются непараболическими. В данных рас - счетах предполагалось, что ширина ям составляет 12 нм, глубина — 44 мэВ, а высота барьеров — 70 мэВ.

В каждом материале. Четыре соотношения (8.Г.8)—(8.Г.9) для УУ= 1 (тяжелые дыр­ки) и ТУ = 2 (легкие дырки) определяют четыре коэффициента для материала кван­товой ямы в функции двух коэффициентов в материале барьера при I > £/2. Гра­ничные условия на границе раздела при г+ = £/2 определяют четыре коэффициента для затухающих волн в материале барьера. В этом случае мы должны искать энер­гии и коэффициенты ау устраняющие коэффициенты ап0). После этого нам оста­ется только определить нормировочный коэффициент для волновой функции.

Хотя методология расчета и ясна, сами расчеты должны проводиться числен­ными методами. Некоторые из иллюстрирующих примеров приведены на рис. 8.Г. З. Очевидно (что и не удивительно), что дисперсионные кривые каждой подзоны зна­чительно отклоняются от простых парабол.

Оптоэлектроника

Приобретаем- купить осциллограф, тепловизоры, источники питания

Тепловизионные камеры. Тепловизоры testo - полупроводниковые приборы, наделённые возможностью наблюдать тепловое либо световое излучение. Тепловизор flir на собственном мониторе изображает оранжевыми, красными и желтыми цветами объекты, источающие тепло, но прохладные …

Конкуренция мод: перекрестные модуляторы

В дополнении 11.Д мы видели, что вблизи порога полупроводниковый лазер может генерировать в многомодовом режиме несмотря на то. что усиливающая среда яв­ляется однородной. При достаточно сильном возбуждении настолько выше порога, …

Униполярные квантово-каскадные лазеры

Одной из характерных особенностей полупроводниковых лазерных диодов являет­ся то, что в прямо смещенном диоде принимают участие два типа носителей (элек­троны и дырки). Это делает традиционные лазерные диоды биполярными приборами. Существует …

Как с нами связаться:

Украина:
г.Александрия
тел./факс +38 05235  77193 Бухгалтерия
+38 050 512 11 94 — гл. инженер-менеджер (продажи всего оборудования)

+38 050 457 13 30 — Рашид - продажи новинок
e-mail: msd@msd.com.ua
Схема проезда к производственному офису:
Схема проезда к МСД

Партнеры МСД

Контакты для заказов шлакоблочного оборудования:

+38 096 992 9559 Инна (вайбер, вацап, телеграм)
Эл. почта: inna@msd.com.ua

За услуги или товары возможен прием платежей Онпай: Платежи ОнПай