Оптоэлектроника

Оптические резонаторы и порог лазерной генерации

Лазерная среда в условиях инверсии заселенности может проявлять себя как усили­тель. Таким образом, для реализации лазерной генерации нам необходимо лишь вновь ввести усиленный оптический сигнал (то, что называется оптической обрат­ной связью). Опишем теперь условия, выполнение которых необходимо для полу­чения лазерной генерации. Рассмотрим лазерную среду протяженностью d с вход­ной и выходной поверхностью соответственно Ме и Af, покрытую отражающими зеркальными поверхностями с коэффициентами пропускания и отражения te и г для входного зеркала / и г для выходного зеркала (смотрите рис. 4.5). Заметим, что все коэффициенты отражения г могут быть записаны в виде V/te'*, где R — отраже­ние, а ф — оптический фазовый сдвиг, вводимый зеркалом. Дополнительно мы можем предположить, что эта среда «теряет» фотоны за счет паразитного поглоще­ния, диффузного рассеяния, дифракции и т. п. Перечисленные механизмы учиты­ваются ведением единого коэффициента ослабления а (см-1) и действуют против оптического усиления. Рассмотрим путь электромагнитной волны Е = £0ехр i(cot — kx), покидающей зеркало Ме и направляющейся по направлению к выходному зер­калу Ms. На выходе из Ме волна описывается выражением:

Еу = (4Л8в)

Когда волна приходит к зеркалу Ms, мощность сигнала усиливается в ехр(^— ap)d раз, в то время как ее интенсивность возрастает в ехр (у — ap)d/2 раз, при этом она умножается на коэффициент фазового сдвига exp (kd). Часть волны (г) отра­жается и передается через среду, получая при этом дополнительное усиление ехр (у — ap)d/2 и фазовый сдвиг exp(ikd), при этом еще одна часть г волны повторно отражается входным зеркалом. Компонента электромагнитного поля после круго­вого прохода между зеркалами может быть записана в виде:

М..

Еп

1

Е0 Г5 1в е(2'[к+Г-«)Ч ^ Е() г5 ,в е(21к+у-а)сИ2

{

Е0г5гв1ве^к+У-а^

Рис. 4.5. Механизм установления лазерной генерации в резонаторе. Электрическое поле у входного зеркала, соответствующее волне, идущей направо, есть сумма компо­нент электромагнитного поля, показанных в кадре рисунка. Понятно, что для лазерной генерации необходимо выполнение условий по фазе и амплитуде.

ХоЛ 2lid

Е2 = Е^егег5ъ е е (4.18 б)

Сигнал у входного зеркала является суперпозицией полей всех полей, распростра­няющихся вперед и назад. Таким образом, он дается суммой Е= Ех + Е2 + £3 Н— или:

Е = Еа1еъш'[ + гег^,-а')“ + (гле(’"“',‘'е‘2Ы )2 + • • • (4.19)

Это суммирование является тривиальным и оно приводит к:

Р ш

<4'20)

Выражение для электромагнитного поля расходится, когда знаменатель в (4.20) стремится к нулю. Условие достижения нуля есть условие феномена лазерной гене­рации. Это условие могло бы быть получено исходя из требования, чтобы в стаци­онарном состоянии два выражения для поля при х = 0 (Е^е и Е^ггет + Г~ а)еГ) были эквивалентными.

Таким образом, мы видим, что до установления режима лазерной генерации в резонаторе должны быть удовлетворены два условия.

Условие усиления

Усиление в усиливающей среде должно превысить уровень различных потерь (а именно: пропускание зеркал, диффузное рассеяние и т. д.) Это условие может быть представлено в виде следующего неравенства:

Л-«, У

Таким образом, существует соответствующий порог, выше которого среда начинает спон­танно генерировать. Этот порог дается выражением:

=ар~-7 |ПИ = а< (421а)

Где at — полный коэффициент ослабления. Другим образом выражение (4.21 а) мо­жет быть записано в виде:

У h ь ы = аР ~ ^гтln Re&s (4.216)

' threshold 2d

Оптическое усиление и порог лазерной генерации

Где Ren Rs — коэффициенты отражения зеркал. Отметим, что усиление фиксируется на этом уровне, так как в соответствии с (4.20) эта величина не может быть превзойдена. Урав­нение (4.21 б) может быть переформулировано с использованием плотности инверсной заселенности и (4.11):

Ap-±nRA

Или в максимуме лоренциана:

-JLin «л

Это уравнение может быть записано в более выразительном виде с использованием концепции фотонного времени жизни. Представим себе фотон, перемещающийся вперед и назад по резонатору со скоростью с' = с/пор. Вероятность выхода фотона во время определенного цикла обращения через резонатор в этом случае дается выра­жением йар — 1п (гг). Эту вероятность можно также рассматривать как соотноше­ние между длиной резонатора d средней длины прохода и Я фотона перед выходом из резонатора. Эта средняя длина является произведением скорости распространения фотона с' = с/пор и его времени жизни в резонаторе г, которая дается выражением:

1 (4.23а)

( 1 ^ аг~2ІЇІПКЛ

V /

Время жизни фотона в резонаторе

Или, вновь предполагая малую величину паразитного поглощения аг, /?е = 1 и Я =1 — Т5 при пропускании выходного зеркала Т« 1:

2М_=2_

Тс' Т

Тш — время, необходимое для того, чтобы фотон прошел расстояние между двумя зерка­лами. Уравнение (4.23б) является очень показательным и полезным соотношением для инженеров, специализирующихся на лазерной технике. Оно непосредственно показыва­ет, каким образом время обращения фотона в резонаторе 2 усиливается в случае слабо­го пропускания зеркал 7 В этом случае уравнение (4.22) может быть записано в виде:

П - ^ £/?Ау ^роп /л 24

П1ЪтезоМ ~ ' „ ~ 12 / _ У*-**)

С аортс Л с тс

Плотность инверсной заселенности при пороге лазерной генерации

В случае оптической накачки необходимая пороговая мощность является тем, что не­обходимо для достижения инверсии заселенности (уравнения (4.16) и (4.17)).

Фазовое условие

Фазовое условие, которое приводит к нулевому значению знаменателя (4.20) пред­ставляет собой:

Kd + ф = qn, q = 1, 2, ... (4.25а)

Где ф — средняя величина фазовых сдвигов, вводимых зеркалами. Если мы предпо­ложим, что оба зеркала металлические (ф = я), усиленными будут моды:

(4-256)

2nopd

Которые попадают в спектр усиления усиливающей среды (смотрите рис. 4.9). Мы возвра­тимся к этому вопросу в разделе 4.6.

Пример----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. В случае лазера на основе Nd3+: YAG длина волны излучения составляет 1,064 мкм, ширина спектра усиления равна 120 ГГц. Коэффициент преломления равен 1,82, время жизни спонтанной эмиссии есть 1,2 мс и мы будем считать время жизни фотона в резонаторе равным 1 не (таблица 4.1). В этом случае плот­ность инверсной заселенности при пороге генерации дается (4.24) и составляет

= 1/(4 х Ю~19 см2 х 10-9 с х 1,65 х 1010 см с-1) или 1,5 х 1017 см-3.

2. Рассмотрим секцию волокна, легированного эрбием, длиной 10 м и с зерка­лами на обоих торцах. Одно из зеркал имеет нулевое пропускание, в то время как у другого пропускание составляет 1%. Время жизни фотона в пренебрежении пара­зитным поглощением составляет г = 2 х 10 м/(10-2 х 3 х 108 м с_1/1,45) или 9,6 мкс. В этом случае плотность инверсной заселенности получается с использованием оптического поперечного сечения, приведенного в таблице 4.1 (бгор = 5 х 10-21 см2):

"threshold= 1/[(3 X ю10 см с-1/1,45) X 5 X 10"21 см2 х 9,6 х 10"6 с ]

Или:

= 1,0 х 1015 см"3.