Оптоэлектроника

Механическое описание генерации второй гармоники

Как мы теперь уже знаем, механическая модель упруго связанного электрона ус­пешно описывает ряд оптических эффектов таких, как спектральную дисперсию (дополнение 7.Б). Сейчас же мы попробуем установить поведение электрона, под­верженного воздействию ограничивающего потенциала, содержащего неквадратич­ные члены более высокого порядка. Для упрощения предположим, что ограничи­вающий потенциал и(х) является одномерным, при этом он может быть записан в виде (смотрите рисунок 12.1):

И(х)- ^тсох2 + —/и/)*3 (12.1)

Здесь о)0 есть собственная частота колебаний осциллятора в линейном режиме, т - масса электрона в вакууме, а />есть коэффициент нелинейности (в единицах м-1 с"2). Эта система подвергается воздействию дипольной электродвижущей силы:

Как обычно, здесь к. с. означает комплексно сопряженную величину. Таким образом, движение частицы х(/) подчиняется следующему дифференциальному уравнению:

Х + }х + а%х + £)х2 = ~~~ + к. с.) (12.3)

2т

Здесь: у есть коэффициент трения частицы, который определяет ширину соответ­ствующего оптического перехода (смотрите дополнение З. А). Поскольку, очевид­но, что движение частицы должно быть периодическим (с частотой со и ее соответ­ствующими гармониками), то мы можем провести гармонический анализ х(/), за­писав этот параметр в виде:

*(0=-|(*о+ V" +х2е‘2м + ...+ К. С.) (12.4)

Временно предположим, что х0 = 0, т. е., что в системе отсутствует постоянная наведенная поляризация. Однако позже мы увидим, что соответствующий член может существовать, что приводит к эффекту оптического выпрямления. Подставляя (12.4) в (12.3), получаем:

2

--у-(jc1eIfflr + к. с.)- 2о?(х2е12<а + к. с.)+^~(х^ш + к. с.)+ icoy(x2el2a* + к. с.)+

+ + к. с.)+ - у - (x2ti2°* + к. с.)+ ^ (х2е2Ш + 2х1х2еш + (12.5)

+ jc, jc* + х2х* + 2х1х2еУ1й* + х2е4'“* + к. c.)=f(e - + к. с.)

На первый взгляд эта формула может показаться сложной, но, как это часто имеет место в нелинейной оптике, она может быть существенно упрощена за счет группировки подобных членов.

Сначала мы рассмотрим линейный отклик, т. е. члены при е1й", и пренебрежем ими в D. При этом для со - со0 мы сразу находим:

Х _ яЕ ' 1 дЕ_____ 1 ,126ч

1 Т щ - со2)+(оу 2сот (со0 - со)+у / 2

Движение, описываемое соотношением *,(/) = х^ш + к. с., приводит к линейной поляризации среды:

/?(*) = Nqx](t)= Nqxfe'“* + к. с.) (12.7)

Где N есть объемная плотность систем, взаимодействующих с волной. В этом слу­чае мы можем провести идентификацию каждого члена в выражении (12.7) для линейной восприимчивости, приведенной в (3.24):

Ж^уСгГ^ + к. с.) (12.8)

Это приводит к следующему выражению:

Х<(®> = N<*2______ ______ (12.9)

1 2оте0 (щ - w)+iy/ 2

Этот последний результат эквивалентен тому, который получается в классической модели Лоренца в рамках квантовой механики, рассмотренной в главах 2 и 3. Ис­пользуя в наших рассуждениях метод индукции, мы определим нелинейную вос­приимчивость второго рода как:

^(0= |Ыэд£2е‘2" + К. с.)= ^-{х2с2М + к. с.) (12.10)

Член с х2 обусловлен нелинейным квадратичным членом Dx2 в (12.3). Его выра­жение может быть получено из (12.5) из идентификации членов при e2i6":

Х2(-4 со2 + 2i Gyy + col)= ~^Dx2 (12.11а)

Из последнего выражения мы видим, что именно член х2 обусловливает движение электрона с частотой 2со. Используя (12.6), мы находим:

*2 = ________________________ !_______________ Е> т

2mi [(<у02 - <»2)+ icorY!L<»l ~ 4ю2)+ 2io)y]

..I’D > .£,

24т2соъ [(«о - (о)+ у /2]2[Оо0 -2©)+(2/3)!у]

После подстановки этого последнего уравнения в (12.10) мы можем найти воспри­имчивость второго порядка в виде:

=__ МП___________________ !_____________ (12Л2)

24е0т2о)1 [(а>0 - а)+ ^/2]2[(<»0 - 2а)+ (2/3)1у]

В этом месте несколько моментов заслуживает упоминания. Во-первых, система является дважды резонансной при со = а)0 и при со = 2со0. В дополнение к этому из сравнения (12.12) и (12.9) мы видим, что эта модель предсказывает следующую связь между линейной и нелинейной восприимчивостью:

У уп Г)

------ &--------- = ти - = 8™ (12.13)

(х^У Х2“)£о 2ЛГ»*>

Как следует из (12.13) параметр д{2т) (называемый параметром Миллера) дол­жен быть аналогичен во всех материалах, что в значительной степени имеет мес­то. В таблице 12.1 представлены значения нелинейной восприимчивости второго рода для различных полупроводников. Взглянув на эту таблицу, мы отмечаем, что 8™ * 3 - 8 х 109 Б!.

Теперь сконструируем чрезвычайно грубую модель для несимметричного крис­талла, которая позволит нам получить величину Д исходя из фундаментальных констант. Для этого предположим, что электроны в таком кристалле подвержены воздействию притягивающего потенциала, обусловленного ядром с зарядом 2# и вторым ядром с зарядом #, удаленным на расстояние а от первого ядра. Этот потен­циал может быть записан в виде:

(12.14)

(12.15)

В этом случае коэффициент нелинейности в (12.1) получается отождествлением подобных членов, что дает:

Полагая, что типичное межатомное расстояние а составляет 5 А, мы находим, что В= 2 х 1041 м-1 с-2, а это приводит к параметру Миллера &2со) величиной 6 х 109 Б1 для концентрации N атомов величиной 6 х 1028 атомов/м3 (смотрите уравнение (12.13)). Наша простая модель, приписывающая природу оптической нелинейнос­ти в материале асимметрии атомных потенциалов, образующих среду атомов, при­водит к результатам, согласующимся с экспериментально определенными величинами. В дополнении 12.А мы представляем более последовательный кванто­во-механический вывод, основанный на формализме матрицы плотности.

Наконец, очевидным является то, что величина %2 по своей природе является тензо­ром. Если фундаментальная волна обладает компонентами (Ех, Е, £), волна второй гармоники будет обладать компонентами (Рх, Р, Р), которые, в (юлее общем случае, будут определяться квадратичными комбинациями компонент Ех, Еу и £, а именно:

(12.17)

Тензоры %(2а}) обладают свойствами, которые сильно зависят от симметрии рас­сматриваемого кристалла. Сейчас мы не будем вдаваться в подробности классифи­кации этих различных типов симметрии, а ограничимся описанием различных оп­тоэлектронных приборов, использующих нелинейные свойства этих материалов.