Брэгговские зеркала
|
(9.Г.30) |
Рассмотрим теперь последовательность двойных слоев, сформированных чередованием слоев на основе среды 1 и 2. Сейчас нас будет интересовать матрица распространения £ между правыми границами среды 1 в пределах двух последовательных двойных слоев (смотрите рис. 9.Г.7):
S = PnD2P2lDt
|
(9.Г.31) |
При этом:
|
" 1 |
Р2 |
Р ~ 1 |
|
_Р2 |
1 |
’ 21 " ~ 12 |
|
Рп = — hi |
|
1 Р2 ~ Pi2 1 |
|
О |
|
А = |
;я2 =
Здесь: г12, г21 и рп = —р21 определяются (9.Г.4). В этом случае матрицу ^легко найти:
Е-* (е-* _ р V* ) 2i sin ф2р е-'Л
- 2i sin ф2р е'Л е1* (е1^ - р2е~'*)
При этом т2 = т12т2Г Эта S — матрица принимает особенно простой вид, когда слои 1 и 2 являются четвертьволновыми, т. е. ф{ = ф2 = л/2 или в другой записи /сау . = тлЛ/4п., где т являются целыми числами:
|
(9.Г.32) |
1
|
1 + р2 2 р 2 р 1 + Р |
|
S - - — г2 |
 |
|
|
||
|
Эта матрица имеет собственные значения:
|
(9.Г.34) |
Л>(1+Ру
Х=(і-р)2
Ее собственные векторы имеют вид:
|
(9.Г.35) |
+ л/2
|
|
(9.Г.36) |
Это сразу приводит к диагонализации (9.Г. ЗЗ):
|
5 = Т [15]МТ, при этом М = |
|(1 +р)2 О
О (1-р)2
В этом случае матрица распространения для серии из N двойных слоев имеет вид:
|
5* = Т'М"Т = — Г _ 4/У |
|
(9.Г.37) |
‘О+рГ о О (1-рГ
|
(9.Г.38) |
При этом коэффициент отражения, определяемый (9.Г.12), есть:
(1 + р)2Л' + (1-р)2"
Или, с учетом (9.Г.4):
|
К» = |
|
Ч2ЛГ |
(9.Г.39)
1 + 1^
Коэффициент отражения последовательности из N двойных диэлектрических слоев
Здесь мы произвольно предположили, что п1 > п2. Мы видим, что по мере того, как число слоев возрастает, коэффициент отражения стремится к единице, что и реализует брэгговское зеркало.
|
|
Мы были бы в праве предполагать, что брэгговское отражение такого рода представляет собой сильно резонансное явление и что условия на длину волны, обеспечивающие Я = 1 в лучшем случае должны были быть очень суровыми. Фактически же такое предположение очень далеко от истинного. В действительности в полной аналогии с результатами по зонной структуре, полученными в главе 5, для электронов в кристаллических твердых телах и в рассматриваемом случае формируются запрещенные зоны (или зоны непрозрачности) для распространения излучения.
Мы можем обобщить подход, использованный выше, для описания условий вне резонанса (хотя это и объемная задача). Здесь же мы только оценим число N двойных слоев, необходимое для формирования зоны непрозрачности АЛ, такой что
1 
-R < IO"":
(9.Г.40)
Когда число двойных слоев Устремится к бесконечности, зона непрозрачности стремится к своему пределу, определяемому соотношением:
(9.Г.41)
|
Я
А(мкм) Рис. 9.Г.8. Спектр отражения брэгговского зеркала с параметрами, приведенными в примере. |
С12[1,2]=0;с12[2,1 ]=0; [1,1 ]=М[Ехр[-1 *2*Р1*п2* 12/х]];с!2[2,2]=М[Ехр[ | *2*Р1*п2*12/х]]; 8= 02.М21.01.М12;8р=МайхРо^ег[8,20];8рр=М12.8р; п=АЬв[8рр[[1.2]]/врр[[2.2]]]}, {х. .85.1.15. .001}];
Ь^оЦР]
