НЕВЕРОЯТНО - НЕ ФАКТ

ОРЕЛ ИЛИ РЕШКА

Азартные игры появились на заре человечесть. Их история начинается с игральных костей. Изобреть ние этого развлечения, источника радостей и несча стий, приписывается и индийцам, и египтянам, и гре­кам в лице Паламеда. При раскопках в Египте нахо­дили игральные кости разной формы — четырехгран­ные, двенадцатигранные и даже двадцатигранные. Не разумеется, больше всего находили шестигранные, ті есть кубы. Главная причина преимущественного их рас пространения — простота изготовления. Удобно и тс что, цифры от единицы до шести не слишком малы и Ht

слишком велики. Действительно, оперирование, скажем, с двадцатигранниками потребовало бы уже ум­ственных напряжений для производства арифметиче­ских действий. Поэтому кости иной формы, чем кубы, применялись в основном для предсказания судьбы.

Впрочем, двадцатигранники нашли в последние годы себе применение в науке. Японские фирмы вы­пустили кость, на которой противоположные грани обозначены одним числом. Таким образом при броса­нии выпадают цифры от 0 до 9. Бросая кость, мы мо­жем создавать ряды случайных цифр, которые нужны (об этом мы расскажем позже) для проведения весь­ма серьезных расчетов так называемым методом Мон­те-Карло.

Популярность игры в кости в Древней Греции, в Древнем Риме и в Европе в средние века была исклю­чительно велика, в основном, конечно, среди высших слсев населения и духовенства. Увлечение игрой в кости слугами церкви было столь значительно, что епископ кембрезийский Витольд, не сумевший ее за­претить, заменил игрой в «добродетели». Что это за игра? Да вместо цифр на гранях костей были изобра­жены символы добродетелей. Правила игры, правда, были сложными, нелегким был и итог: выигравший

должен был направить на путь истинный (в отноше­нии проигранной добродетели) того монаха, который потерпел поражение.

Вряд'ли эта подмена радовала служителей культа, так как, несмотря на то, что государственные и церков­ные деятели неоднократно запрещали монахам играть в азартные игры, те продолжали «тешить беса».

Еще труднее было бороться с этой страстью у при­дворных, рыцарей, дворян и прочей знати. Указами и сообщениями о наказаниях за нарушение этих указов, жалобами членов семьи на своего кормильца и други­ми подобными историями полна средневековая лресса.

Насколько увлечение было сильно, можно судить по тому, что существовали не только ремесленники, из­готовлявшие кости, но и школы по изучению премуд­ростей игры.

Играли двумя костями, а больше — тремя. Их встряхивали в кубке или в руке и бросали на доску. Игр существовало множество. Но, вероятно, наиболь-

шее распространение имело прямолинейное ние — кто выбросит большую сумму очков.

У нас в России игральные кости не пользой большой популярностью. Возможно, это объясь тем, что «просвещение» захватило наши придвс круги уже тогда, когда в Европе мода на кости пр< и появились карты. Зато игра в орлянку процве повсеместно. Мы оставим без внимания эту npot игру и вернемся к более сложной — к игре С KOI кубом с шестью цифрами:

Итак, игрок дрожащей рукой встряхивает кубок выбрасывает из него кости. Вверх смотрят какие цифры. Какие? Любые. Предсказать их невозмож.

так как здесь господствует «его величество случай». Ре­зультат события случаен, потому что зависит от боль­шого числа неконтролируемых мелочей: и как кости

легли в кубке, и какова была сила и направление брос­ка, и как каждая из костей встретилась с доской, на ко­торую бросали кости. Достаточно крошечного, микрон­ного смещения в начале опыта, чтобы полностью изме­нился конечный результат.

Таким образом, огромное число факторов делает со­вершенно непредсказуемым результат выброса костей, изготовленных без жульничества. А рассуждения о том, что вот если бы была возможность разместить кости в кубке в положении, фиксируемом с микронной точ­ностью, да если бы еще направление выбрасывания ко­стей можно было бы установить с точностью тысячных долей углового градуса, да, кроме того, силу броска измерить с точностью до миллионных долей грамма... вот тогда можно было бы предсказать результат и случай был бы с позором изгнан из этого опыта, — есть абсолютно пустой разговор. Ведь постоянство усло­вий, при которых протекает явление или ставится опыт, есть практическое понятие. То есть я говорю, что усло­вия проведения двух испытаний одинаковы лишь в том случае, если не могу установить различий между ними.

Если тысячи и миллионы опытов, поставленных в одних и тех же условиях, всегда приводят к определен­ному событию (выпущенное из руки яблоко падает на землю), то событие называется достоверным. А коль скоро миллионы опытов показывают, что некоторый их исход никогда не наблюдается (невозможно одним караваем хлеба накормить тысячу голодных людей), то такие события называются невозможными.

Случайные события лежат между этими двумя край­ностями. Они иногда происходят, а иногда нет, хотя практически условия, при которых мы их наблюдаем, не меняются.

Выпадение кости — классический пример случайно­го события. И все же интересно, можно ли наперед пред­усмотреть, предугадать, наконец, рассчитать и пред­сказать результат такого события, и как это делается?

Когда мы сталкиваемся с одинаковыми ситуациями, которые приводят к случайным исходам, на сцене по­является слово «вероятность». Вероятность — это ЧИС­ло. А раз так, то оно относится к точным гшнятиям; и чтобы не попасть впросак, надо пользоваться^этим сло­вом с той определенностью и недвусмысленностью, ко­торые приняты в естествознании.

Рассуждение начинается так. Есть некая исходная ситуация, которая может привести к разным результа­там: кость-кубик может «упасть вверх любой гранью, из колоды берется карта — она может быть любой мас­ти, родился человек — это может быть мальчик или девочка, завтра наступит 10 сентября — день может быть дождливым или солнечным... Число исходов собы­тий может быть самым разным, и мы должны все их держать в уме и знать, что один из них произойдет обязательно, то есть достоверно.

Перечислив все возможные исходы, возникающие из некой ситуации, математик скажет: дана группа исхо­дов события, которая является предметом изучения тео­рии вероятностей.

Различные результаты события, то есть различные представители группы, могут быть равновозможными. Этот самый простой вариант случайности осуществляет­ся в азартных играх. (Потому мы и начали книгу рас­сказом об азартных играх.) Введем число вероятности на примере игральной кости.

Группой исходов события является выпадение единицы, двойки, тройки, четверки, пятерки и шестерки. «Исход события» звучит немного громоздко, и мы на­деемся, что читатель не будет путаться, если мы иногда не станем писать первое слово. Итак, событий в группе шесть — это полное число событий.

Следующий вопрос, который надо себе задать, та­ков: сколько из этих событий дают интересующий нас результат? Допустим, мы хотим узнать вероятность вдаадения тройки, то есть нас волнует осуществление одй'ого события из группы в шесть. Тогда число благо­приятных вариантов (одно—тройка) делят на полное число событий и получают вероятность появления ин­тересующего нас события. В нашем примере вероят­ность выпадения тройки будет равна '/в. А чему равна вероятность появления четной цифры? Очевидно, 3/е (три благоприятных события делят на общее число со­бытий, равное шести). Вероятность же выхода на кости числа, кратного трем, равна 2/«.

Еще примеры.

В ящике, куДа заглянуть нельзя, находится сто ша­ров, четыре из которых черные. Чему равна вероят­ность вытащить черный шар? Рассматривается группа из ста событий; благоприятных событий четыре, значит, вероятность вытянуть черный шар равна 0,04. Вероят­ность вытянуть туза пик из полной колоды равна '/52. Вероятность вытянуть любую пику — V4, какой-ли­бо туз — '/із, а любую пиковую фигуру — 3/із и так далее.

Мы рассмотрели примеры, когда сразу ясно, о ка­кой группе событий идет речь, когда вполне очевидно, что все события из-за равенства условий имеют одина­ковые шансы осуществиться, когда заранее ясно, чему равняется вероятность интересующего нас события. Но есть случаи и посложнее. Подробнее о них будет рас­сказано в других главах, а сейчас скажем, что ослож­нения могут быть двух типов.

Первое — вероятность исхода события не очевидна заранее. И тогда значение вероятности может быть установлено лишь на опыте. К этому, так называемому статистическому, методу определения вероятности мы будем возвращаться неоднократно и тогда подробнее о нем поговорим.

Другая трудность, скорее логического порядка, по­является тогда, когда нет однозначности в выделении группы явлений, к которой относится интересующее нас событие.

Скажем, некто Пьер отправился на мотоцикле на работу на улицу Гренель и по дороге наскочил на гру­зовик. Можно ли ответить, какова вероятность этого грустного происшествия? Без сомнения, можно, но не­обходимо оговорить исходную ситуацию. А выбор ее, конечно, неоднозначен. Ведь можно привлечь к стати­стике лишь выезды на работу молодых парижан; а мож­но исследовать группу выездов всех парижан в любое время; можно расширить статистику на другие города, а не ограничиться Парижем. Во всех этих вариантах вероятности будут разными.

Итак, вывод один: когда начинаешь оперировать

числами, необходима точность в постановке задачи; ис­следователь всегда должен формализовать явление — с этим уж ничего не поделаешь.

Вернемся теперь к игре в кости. Одной костью ни­кто не играет: слишком просто и загодя известно, что

15

і

вероятность выпадения любой грани—’/б, и никаких математических задач в такой игре не возникает.

При бросании трех или даже двух костей сразу по­являются проблемы, и можно уже задать, скажем, та­кой вопрос: какова вероятность появления двух шесте­рок? Каждая из них появляется независимо с вероят­ностью, равной V6. При выпадении шестерки на одной кости вторая может лечь шестью способами. Значит, вероятность выпадения двух шестерок одновременно будет равна произведению двух вероятностей (*/б • '/б) - Это пример так называемой теории умножения вероят­ностей. Но на этом новые проблемы не кончаются.

В начале XVII века к великому Галилею явился приятель, который захотел получить разъяснение по следующему поводу. Играя в три кости, он заметил, что число 10, как сумма очков на трех костях, появляется чаще, чем число 9. «Как же так, — спрашивал игрок, — ведь как в случае девятки, так и в случае десятки эти числа набираются одинаковым числом способов, а имен­но шестью?» Приятель был совершенно прав. Посмотри­те на рисунок, на котором показано, как можно пред­ставить девятку и десятку в виде сумм.

Разбираясь в этом противоречии, Галилей решил одну из первых задач так называемой комбинаторики — основного инструмента расчетов вероятностей.

Итак, в чем же дело? А вот в чем.

Важно не то, как сумма разлагается на слагаемые, а сколько вариантов выпадения костей приводят к сум­мам в «девять» и «десять» очков. Галилей нашел, что «десять» осуществляется 27 способами, а «девять» — 25. Эмпирическое наблюдение получило теоретическое истолкование. Что же это за разница между числом представлений суммы через слагаемые и числом вариан­тов выпада костей?

Вот на какую тонкость необходимо обратить внима­ние. Рассмотрим сначала случай, когда на трех костях три разные цифры, скажем 1, 2, и 6. Этот результат может осуществляться шестью вариантами: единица на первой кости, двойка на второй и шестерка на третьей; единица на первой, шестерка на второй, двойка на третьей; также возможны два случая, когда двойка ока­жется на первой кости и еще два — когда на первой кости выпадет шестерка (этот вариант приведен в таблице).

ОРЕЛ ИЛИ РЕШКА

Иначе обстоит дело, когда сумма представлена та­ким образом, что два слагаемых одинаковые, напри­мер, 1+4 + 4. Только один вариант такого разложе­ния появится, если на первой кости покажется едини­ца, а на двух других четверки, ибо перестановка циф­ры на второй и третьей костях не дает нового вариан­та. Второй вариант возникает, когда единичка пока­жется на второй кости, а третий, если она появится на третьей кости. Итого три возможности.

Наконец, ясно, что если сумма разложена на 3 + + 3 + 3, то на костях такое событие осуществляется единственным способом.

В нашей таблице это число вариантов указано в скобках рядом с представлением суммы. Складывая числа в скобках, мы получим 25 и 27, которые нашел Галилей. Вероятности появления на двух костях сумм 9 и 10 относятся как 25 к 27.

Это с виду простое объяснение не лежало на по­верхности. Достаточно сказать, что Лейбниц полагал одинаковыми вероятности появления на двух костях как 11 очков, так и 12. После работы Галилея оши­бочность такого заключения стала очевидной: 12 осу­ществляется единственным способом: двумя шестерка­ми, а 11 появляется в двух случаях, когда шестерка на первой кости, а пятерка — на второй, и наоборот.

При бросании двух костей чаще всего появляется сумма, равная 7. Имеется шесть возможностей набора этой суммы. Суммы 8 и 6 осуществляются уже пятью комбинациями каждая. Проверьте, если хотите, сами наше заключение.

НЕВЕРОЯТНО - НЕ ФАКТ

ИТАК

Мой гость Александр Саввич сидел в кресле, попы­хивал трубкой и наблюдал за тем, как я тружусь. Я правил свою рукопись. Работа шла к концу. — О чем речь на последних …

СТРУКТУРА ГЕНА

Написав название параграфа, я задумался, что де­лать дальше. Рассказать о структуре ДНК относительно несложно, но ведь у меня иная цель — объяснить чита­телю, каков атомный механизм формирования наслед­ственных признаков. А …

ПО ЗАСЛУГАМ

Ну а как же насчет роли случая в открытии струк­туры ДНК? Невелика эта роль. Если еще в открытии Рентгена и Лауэ поклонники «госпожи удачи» выловят несколько незначительных фактов, подчеркивающих роль …

Как с нами связаться:

Украина:
г.Александрия
тел./факс +38 05235  77193 Бухгалтерия
+38 050 512 11 94 — гл. инженер-менеджер (продажи всего оборудования)

+38 050 457 13 30 — Рашид - продажи новинок
e-mail: msd@msd.com.ua
Схема проезда к производственному офису:
Схема проезда к МСД

Партнеры МСД

Контакты для заказов шлакоблочного оборудования:

+38 096 992 9559 Инна (вайбер, вацап, телеграм)
Эл. почта: inna@msd.com.ua

За услуги или товары возможен прием платежей Онпай: Платежи ОнПай