разное

Термодинамическая оптимизация

В последние 10 лет в мире появились многочисленные публи­кации в области термодинамического анализа сорбционных машин как частного случая теплоиспользующих холодильных машин и тепловых насосов. В этих публикациях уточняются существующие и предлагаются новые подходы к термодинамическому анализу цикла
машин с целью определения оптимального или рационального режима работы. Это, по мнению многих исследователей, позволит сущест­венно уменьшить размерность задачи оптимизации с использованием экономических критериев, например, методами термоэкономики, так как в термоэкономической оптимизации предполагается рассматри­вать только те варианты, которые являются приближенными к оптимальным с точки зрения термодинамической оптимизации. Таким образом первоначально рассмотрению подлежит идеальный цикл анализируемой теплоиспользующей машины.

Поскольку идеальным циклом-образцом для всех тепло­использующих машин (а также машин с приводом от теплового двигателя) принимают цикл Карно-Карно, то осуществим попытку термодинамической оптимизации этого цикла.

Для построения термодинамического цикла любой тепло­использующей машины необходимо располагать тремя* источниками тепла различных температурных потенциалов (рис. 19.4):

• высокопотенциальным - Тгор\

• среднепотенциальным - Тср;

• низкопотенциальным - Тхол.

Многие авторы без каких-либо оснований утверждают следую­щее: если три основных температурных уровня работы теплоисполь­зующей машины будут изменяться произвольно, то путем термодина­мической оптимизации можно определить такой режим работы, в котором СОР-max.

Наиболее распространенным подходом является использо­вание методов высшей математики по исследованию функции нес­кольких переменных СОР^ор = 1(Тгор, Тср, Тхол ) с целью определения экстремума. В этом случае ур.(19.2) получит вид

ДСОР™ор дСОР™ор

КР ~ ср+ дтхол

На этом этапе анализа необходимо доказать применимость инвариантности формы первого дифференциала к исследуемой функции: полный дифференциал функции сохраняет один и тот же вид независимо от того, являются ли ее аргументы независимыми

С точки зрения терминологии, принятой в термодинамике сорбционных систем, теоретический цикл иногда называют «циклом на трех температурных уровнях».

Переменными между собой или функциями от независимых переменных. Поскольку в качестве переменных функции СОР£еор выступают три температурных уровня источников тепла, то будем считать, что они изменяются непрерывно и вне зависимости друг от друга, при соблюдении одного условия Тхол< Тср< Тгор.

Любой метод математического моделирования, в основе которого лежит дифференциальное исчисление, может быть исполь­зован как основной математический аппарат в анализе и оптимизации только при условии, что функция оптимизации дифференцируема во всех точках. С точки зрения решаемой задачи это означает, что должно существовать хотя бы одно схемно-цикловое решение тепло - использующей машины для любого сочетания Тхол, Тср, Тгор (на этом этапе анализа вопрос термодинамической и/или экономической эффективности схемно-циклового решения машины роли не играет, главное условие - принципиальная работоспособность машины). Это условие полностью выполняется для абсорбционных холодильных машин и частично - для других типов теплоиспользующих машин, поэтому можно констатировать, что для всего класса теплоисполь­зующих холодильных машин функция СОРна уровне анализа цикла Карно-Карно дифференцируема во всех точках.

Поскольку анализировать цикл без схемы невозможно (на основании вышеописанных ограничений), то предположим существование схемного решения теплоиспользующей машины, состоящей из генератора, турбины, конденсатора и компрессора как элементов для осуществления прямого термодинамического цикла, а также испарителя, компрессора, конденсатора и детандера - для осуществления обратного цикла. Тепловой баланс такой машины описывается ур,(19.3). Для использования цикла Карно-Карно как цикла-образца, переформулируем условия проведения анализа:

• наличие трех источников тепла с постоянными температурами (Тгор-const; Тср-const; TXOJl-const);

• подвод и отвод теплоты к рабочему телу осуществляется при постоянных температурах[58] (Tr~const; TKj-const; T^-const; Ти=const);

• наличие идеального теплообмена АТк=0 (Тгор~Тг; Тср-ТК1;

Тср—Тю-У Тхоя~ТИ)\

• наличие идеальных процессов сжатия и расширения;

• вся работа, произведенная в прямом цикле, потребляется в обратном.

Исследование функции, выраженной ур.(19.3), по каждой из переменных (ур.(19.6)) является достаточно громоздким, поэтому рассмотрим конечный результат в виде дробно-рациональной функции, уравнение которой в общем виде записывается как

У= — —I—-------- где х переменная; А, В, С - коэффициенты.

Ах2 +Вх + С

Общий вид возможных графиков дробно-рациональной функции приведен на рис. 19.8. Видно, что случай у=О возможен только при Л>0, поэтому достаточно определить величину А для анализа (нет смысла приравнивать нулю частные производные функции СОР™еор

Если А<0, так функция СОР™еор экстремума не имеет). Результаты анализа таковы:

• влияние температуры греющего источника

Э СОРГор 1

---------- — = ——. (19.7)

Э Т Т2

Гор [59] гор

_ const „ _

Функция вида у-—— представляет частный случаи дрооно-

Рациональной функции. Если N - целое число, то функция монотонно возрастает и экстремума не имеет. Таким образом функция

СОР™еор (Тгор) экстремума не имеет;

• влияние температуры окружающей среды

*С£2£_=_________________________ I______________________ (19.8)

F\T Т 9 Т Т

01 ср гор___ 1 гор rp | гор

Т (т - т ) ср Тт т 5 ср (т Т 1

Ход \ гор хол / у1 гор хол} угор хол /

Анализ показывает, что А=0, следовательно, функция СОР™еор (Тср) экстремума не имеет;

Рис. 19.8. К анализу дробно-рациональной функции

• влияние температуры производства холода дСОР™ор 1

Анализ показывает, что А=0, следовательно, функция СОР™еор (Тхол) экстремума не имеет.

Случай СОР£еор= оо соответствует Тгор = с» и Тср = Тхол, для которого цикл-образец Карно-Карно изобразится в виде соединения двух прямых (рис.19.9а): вертикальной, описывающей прямой цикл, и горизонтальной, описывающей обратный цикл. Результаты числен­ного анализа, представленью на рис. 19.96 в виде семейства восходя­щих поверхностей, подтверждают теоретические исследования.

С точки зрения эксергетического анализа было принято условие £д*=0 для всех элементов. Для двух компрессоров это означает работу при изоэнтропном сжатии, детандера и турбины - при

Изоэнтропном расширении. Для четырех основных теплообменных аппаратов условие EDk=Q соответствует АТ^О, следовательно будет иметь место бесконечно большая теплообменная поверхность этих аппаратов Fk—и, как результат, бесконечно большая их стоимость Топливом (приводной энергией) для любой теплоисполь­зующей машины является тепло, подведенное к генератору. Продуктом холодильной машины является холод, произведенный в

( т„ ^

Испарителе, тогда эксергия продукта - EPI =EP0=Q0

1-

- эксергия топлива, затраченная в

Генераторе. Следовательно, при и Тср = Тхол, эксергетическая

Эффективность теплоиспользующей холодильной машины

Рассмотрим второй этап «метода циклов» для анализа теплоиспользующей холодильной машины - введение необратимости в процессы подвода-отвода тепла - с точки зрения определения экстремума функции СОРВ этом случае EDk ФО для тепло - обменных аппаратов, что будет соответствовать теплообменным аппаратам с конечными размерами теплообменной поверхности Fk и ограниченной стоимостью Z*.

Цикл с необратимостью в процессах подвода-отвода тепла приведен на рис. 19.10а. Условия проведения анализа:

• наличие трех источников тепла с постоянными температурами (Тгор~const; Tcp~const; Тхол - const)]

• подвод и отвод теплоты к рабочему телу осуществляется при постоянных температурах (Tr=const; Тк}-const; ТК2-const; TM~const)\

• наличие реального теплообмена АТф) (ТГ-Тгор-АТГ; ТК1=ТК2 =Тср +АТ&; ТИ - Тхоя —ATи) ;

• наличие идеальных процессов сжатия и расширения;

• вся работа, произведенная в прямом цикле, потребляется в обратном.

Верхний индекс «ег» соответствует endo-reversible циклу, т. е. циклу только с необратимостью в процессах подвода-отвода тепла (п.5.1).

А) б) в) r)

Рис. 19.10. Анализ цикла Карно-Карно с необратимостью в процессах подвода-отвода тепла

В соответствии с условиями проведения анализа выражение для определение COPz имеет вид

_ тг тк1 ТИ _ Тг ТК2 - ТИ (ТХШ-ЛТИ) (Т+АТ^ЫТ^-АТи)

Анализ выражения для определения

ДСОРег

Анализу по ур.(19.7), выражения------------- — - по ур.(19.8) и выражения

ДТ,

Ср

Д СОРІ

По ур.(19.9).

ДТхш

Проанализируем влияние величины АТк в теплообменных аппаратах. Поскольку ТК1=ТК2, то для упрощения анализа будем оперировать только величинами Тк и АТК, тогда

Дсор;

ЭАТГ (Тк + Ти) ДТ2 2Тгор(ТК + Ти) „ , {тк +ти)

ТктИ

-____________________ г ' _____________ ,----------- ,(19-12)

ДЛТ« Tr jT2, 2Тг{Тср-ТИ)лт i Тг{Тср-ТИУ

ТИ{тг-тИ) к тИ{тг-тИ) к тИ(тг-тИ)

Любой действительный процесс сопровождается необрати­мыми потерями, что описывается величиной производства энтропии Sgen, k (глава 2). Необратимости в процессах подвода-отвода тепла, введенные в цикл Карно-Карно (рис. 19.10а), должны быть отражены в тепловом балансе

Teop(ASr+Sgen, r ) + Txa(/ISll+SgmJI) =

(19.14)

= Tcp(ASK+Sgm, K).

Исходя из теории теплоиспользующих машин, величина Qr представляет теоретически необходимое, т. е. минимальное, тепло вы­сокого потенциала - топливо. Величина AQr должна «компенси­ровать» все необратимости в машине при условии, что продукт - холодопроизводительность Qo - остается постоянным

(Qr +AQr) + Qo = Qm +A <2[60]2. (19.15)

Для теплоиспользующих машин последовательность преоб­разования соотношения Гюи-Стодолы была предложена в 1930-ых годах Ф. Бошняковичем

П п п

Пl ~ Г1к gen к gen k - TaopSgenF, (19.16)

К=1 к=] к=І

Графическая интерпретация которой представлена на рис. 19.106,в.

Рассмотрим каждый этап. Общая необратимость представляет сумму необратимостей в каждом элементе и, в соответствии с теоремой Гюи-Стодолы, приведена к температуре окружающей среды (эта величина представляет суммарную деструкцию эксергии). Если «перенести» суммарную необратимость на температурный уровень греющего источника (Тгор), то последнее равенство в ур. (19.15) будет соответствовать теплу, дополнительно подведенному к генератору (теоретическому или действительному), т. е.

AQr =----------------- . (19.17)

J CP

Т

Гор

Безразмерный вид определения величины AQr удобно использовать для проведения анализа при работе в различных температурных режимах

(19.19)

С точки зрения термоэкономики, условие Тгор соответствует постоян­ной цене на минимально и дополнительно подведенное тепло к гене­ратору. Величина AQr определяется изменением расхода греющего источника, что пропорционально увеличению общей стоимости топлива.

Абсолютно очевидно, что условие T20p-const; Tcp-const; Тхол-const невозможно осуществить на практике, и постоянные темпе­ратуры источников тепла должны быть заменены на переменные. Рассмотрим частный случай, когда для прямого цикла T2op^const и Терфсоти но для обратного цикла Tcp-const и Txo/l=const. В этом случае процесс конденсации прямого цикла (К1) должен быть рассмотрен раздельно от процесса конденсации обратного цикла (К2). Тогда ТгФ-const, TKrtcohst и Tia-const, ТИ=const. Цикл Карно-Карно (теоретический и с необратимостью в процессах подвода-отвода тепла) должен быть заменен на цикл Лоренц-Карно (предложен Т. В.Морозюк в 2Q01 году) - рис. 19.11. Для анализа цикла Лоренц - Карно ур.(19.14) имеет вид

Г

Гор

\Тгор( + ) + (ASH + Sgenf„ )

(19.20)

Ур.(19.15)-(19.18) сохраняют свою актуальность при введении в

Рассмотрение средних температур Т™ и Т™ (ур.(2.31)-(2.32), рис.2.4).

Выражение для определения величины AQr для цикла Лоренц-Карнр

Может быть записано как AQr=Sgen>rT™p, однако при T20p? sconst

Ур.(19.19) и соответствующая графическая интерпретация (рис.19.10г) требуют пересмотра.

В общем виде величина Sgenir будет интерпретироваться как проекция на ось s продолжения изобары 1-2 в соответствии с выражением

У max

Sga, r = J ■ (19-21)

Tmm [61] гор 1гор

Аналогично анализу цикла Карно-Карно, величину Sgen>r можно графически добавить как справа, так и слева к процессу 1-2, при условии сохранения величины AQr постоянной (рис. 19.11):

• при расширении зоны генерации в область высоких темпе­ратур (Sgen, r~*) - рис. 19.11а.

Тгортах = Т2< > Тъ Тгортш =Т,. Таким образом, при отнесении необратимых потерь к теплу более высокого температурного потен­циала, увеличение эксплуатационных затрат теплоиспользующей машины связано с увеличением цены греющего источника;

• при расширении зоны генерации в область низких температур (S^/-)-рис. 19.116.