Механика трубопроводов и шлангов

Вынужденные колебания абсолютно гибких стержней в потоке

Как уже указывалось в § 2, в зависимости от числа 1^е воз­можны различные режимы обтекания стержни круглого сечения. При Ке>40 имеет место срыв вихрей и появляется дополнитель­ная сила (сила Кармана), периодически изменяющаяся во вре­мени. В § 2 подробно говорилось о многочисленных исследова­ниях взаимодействия движущихся стержней круглого сечения с потоком и основанных на этих исследованиях различных физи­ческих моделях описания процесса взаимодействия. Наиболее простой вариант объяснения механизма возникновения колеба­ний стержня в потоке заключается в том, что наступление срыв - ного обтекания из-за появляющихся сил Кармана, перпендику­лярных местной нормальной составляющей скорости потока, которые начинают раскачивать стержень, приводит к появлению дополнительных подъемных сил <7/,. Поэтому полная аэродина­мическая сила, действующая перпендикулярно местной нормаль­ной составляющей потока,

0£я = 0£ + ?к. где д1у — распределенная сила Кармана, равная

Ы =~1~ С{ір(1 (1>пої)2 П ШЇ = <7К,, [ —°Х-2 зіп БІП ячт. (26.1)

2 «в /

При малых колебаниях

Д? і„ = ЛЧл (5к=?„и + - і?„)- (26.2)

Уравнения малых вынужденных колебаний нити с учетом сил Кармана имеют вид

~~'ГСВ ддс = п. (26.4)

Определение амплитуд установившихся вынужденных коле­баний. В § 19 были получены выражения для аэродинамических сил Кармана, содержащие слагаемые, зависящие от и и и, ко­торые можно считать малыми по сравнению с вектором дкс (вдали от параметрического резонанса). Пренебрегая Д</к, по­лучим следующие уравнения малых колебаний нити (с учетом сил внутреннего трения «ои)

-(YU»+.4<3>)-^-------- _£^к — дл = 0 (26.5)

(С2=?яЛи sin?«с0);

Г2=-|Ц-С„ЛС? х=*11. (26.6)

Установившиеся колебания с ограниченными амплитудами возможны при условии, что однородная система уравнений

(26.5) —(26.6) является устойчивой. Исследованию устойчиво­сти малых колебаний стержней в потоке воздуха или жидкости посвящен § 27. Приближенное решение системы (26.5) — (26.6) имеем в виде

«=2?(|711’; д§с=2^')/!” (26J)

Где

В качестве функции можно взять формы свободных колеба­ний нити относительно состояния равновесия в потоке (метод определения <рР') изложен в § 25). Получим приближенное ре­шение уравнений, воспользовавшись методом Б. Г. Галеркина

I А (я. д5л)?К>* = 0 (А=1, 2.............. и), (26.8)

5 АС«, Д§д)ф(к)й'е=0 (*№, 2.................... и). (26.9)

В более подробной форме записи имеем

| (26.10)

Гс^.-й“’+1ъ№+1**МК)) *=- о. (26.11)

О

После преобразований из соотношений (26.10) получаем си­стему п дифференциальных уравнений относительно Ъг неизве­стных функций /11), /2), которые можно представить в мат­ричной форме записи:

Нуо> - и ву<1) со >7(,>+с<2>7(2) =~ь, (26.12)

1^4

Где

Л11)7||,+л5г,7(г>=о. (26.13)

Исключая из (26 8) [используя уравнение (26.9)], полу­чаем систему уравнений

Hjw + Bjw+Cfv>=b, (26.14)

Где

С =С« (Л,(,'Т 1 л!,1’: Ь=Ь„ sin п, х. (26.15)

Элементы матриц Н, В, С^ С(2), Ло(1), А0(2) и компоненты век - юра Ъ даны в приложении № 7. При определении амплитуд установившихся колебаний следует считать

/(1> = ЛП cos sin пдх. (26.16)

Подставив (26.16) в уравнение (26J4), получаем систему из двух уравнений для определения А о и В0:

{C-nlU)AD + n3fiB0 - О;

_ ' _ (26.17)

—я.,5Ло + (С — п, И)В0 — В„.

Определив /<п, находим

/(2) = —(Л(2))^] А*1* (Л0 cos /?3т J - /?0 sin «зГ)=Си cos /ЦТ-{-

-J - sin яят, (26.18)

Где

С0=_(Л<2>) -(Ж2))-1 Л^Ф0. (26.19)

Определив из системы (26.17) Л0 и Ло, получаем приближен­нее решение системы уравнений:

И — V!$>(».) (Д(| cos njt4- /?-„ sin и, т); (26.20)

AQi = ^4)l/>(Ct,< cos/2,t + 00t sin /г<}т). (26.21)

ЬQ, = VьO, 21!" fC - "" ' *■' 1 *’*) |

:и

AQi= 5 'C ' ' Г ’* nix+uj> • sln из^

Ь en » >» • <>■; •» лг>ч • і (26.^0) и (2o.21) имеем

2(Ч< ‘ ' ‘ Sir ».’•)=

Кх, 2 ' о3t

-+ в» " -"«.»•

ИХкт=\ї+вІ ДQ*. = !/(.*!-h Я?:

(ІСу Y (|оЛс)2.

Ампл* • і ное з паче* • е вектор » перемещений

1^И=у

Рассмотрим частный случай коле­баний абсолютно гибкого стержня (на­пример, пустотелого шлаша, находя­щегося в потоке жидкости) в верти­кальной плоскости (рис 20.1), вызван­ных только силами Кармана, полагая в исходном уравнении (26.3) Ад„ = =Ддь 0. Искусственное приравнива­ние Д</ь пулю даст возможность при­ближенно оценить действия только сил Кармана. Ограничимся двучленным приближением

Дд,=?,)/52)+Ф2/?>.

После преобразований из системы (26.3) — (26.4) уравнение вида (20.12) со следующими элементами матриц Н В к С:

Матрица С, входящая в (26.12), для данного частного слу­чая зависит от матриц СО, (Л»)-1 и Л<'> равных [при С=

О

С,<р21>й'Е о

Г,'(!) (2) ,

1 ф2 <рз А

Где с0и — элементы матрицы (25.15).

Вектор Ъо имеет компоненты [частный случай выражений (19.60) — (19.62) при и=90°, фб=90°], равные

Ь01 = — <7к0 Г Ь„0 = с/к, Г е;

О 6

Ьц3= — 9ки | ?12)*20^; ^04 = <7к0 [ ?22)Л10^£.

Рассмотрим числовой пример со следующими значениями без­размерных величин: координаты точки закрепления нити (см. рис. 26.1) л:ц{=0,6; ^==0,4; а=0,1. Найдем амплитудные значе­ния перемещений их,,, иГ20 и амплитудное значение А<2ю в за­висимости от «з. Скорость потока Но входит в неявном виде в частоты срыва вихрен п% через число Струхаля:

Р
	(26.33)

Так как для бЬ можно взять значение, равное 0,2, то из

(26.33) получаем

Я,=0.2-^ ( лГЛ-

(26.34)

Амплитудное значение (безразмерное) силы Кармана д№о также зависит от скорости потока, т. е.

1 СкЫу0

2 тё

Выражение (26.35) можно преобразовать к виду [используя

(26.34)]

^-36)

Для рассматриваемого частного случая имеем

«*,0=]/~ {'А1)Ао1 "Ь?12>Л)2)2-|- (сР11>^01 (26.37)

ИХшя-=- VЫ'ЧхН-^Ч^Ж^'Ч^ХаР; (26.38)

^QlG = V(^*10-|- С2Х2о)24" (Х>1-^Ю4" /^2-^Zo)2, (26.39)

Где

С.^ф^^ + ф!2^, А^фР’Мл + ^Ая (І=1- 2).

Для получения числовых значений iiXjQ и AQI0 необходимо предварительно решить следующие задачи.

L Определить статические значения Qio, я'ю, .я'го. которые входят в коэффициенты c°ij и в аэродинамические силы. Для рассматриваемого частного случая, когда форма равновесия нити есть плоская кривая, находящаяся в вертикальной плоскости, Qio, х'ю и х'-2о определяются по формулах! (9.39) — (9.40). В бо­лее общем случае (Эю и х'іо (£= 1, 2, 3) определяются прибли­женным методом (с учетом отклонения нити от вертикальной плоскости), изложенным в § 14.

'Л Определить собственные формы свободных колебаний «р*1 2)> ф/(1,2)- Метод определения частот и форм колебаний изло­жен в § 25. Там же рассмотрен числовой пример с определением частот и форм колебаний при Хю=0,6, л^ц—0,4.

3. Определить интегралы, входящие в матрицы уравнения

(26.12) и в компоненты вектора 5о-

4. Определить компоненты векторов Ло, Во, Со, Do с последу­ющим определением амплитудных значений и Х[0 и AQm в зави­симости от безразмерной частоты «3 (или, что то же — от скоро­сти потока и0).

При численном определении амплитуд установившихся коле­баний at/Q и амплитуды осевого усилия AQ|0 (в зависимости от е) брались следующие числовые значения параметров шланга (нити): /=103 см, ц=0,05; ск=0,5; F=ztdb р/рст=0,25; гі=7,5см и d=b см. Амплитудные значения сил Кармана (<?ко) опреде­ляются скоростью потока v0 (26.35); при наступлении синхрони­зации, в зависимости от диаметра шланга, соответственно рав­ны дм—0,5 и ^ко—І - Соответствующие скорости потока (начала синхронизации) равны у0*=94 см/с и и0*=188 см/с.

На рис. 26.2 приведены графики амплитудных значений при разных значеннях яз для d=7,5 см [или v0 в соответствии с 158

(26.34) ]. Из графикой следует, что при приближении скорости потока к скорости, соответствующей на­чалу синхронизации [или п3 к зна­чению (26.43)], амплитудные зна­чения и резко возрастают. Анало­гично ведет себя амплитудное зна­чение (рис. 26 3), которое при малых коэффициентах сил сопро­тивления (х может дос«лгать значе­ний одного порядка со статическим натяжением (рис. 26.4) На рис. 26.3—26.6 приведены графики амп­литудных значений //А/0 и Дф10 для шланга с диаметром ($—15 см. Как следует из экспериментальных исследований [64], синхронизация чистоты срыва вихрей с часютой свободных колебаний стержня сохраняется и при дальнейшем росте скорости потока до значе­нии IV*, приблизительно равных 1,25 й§*, что, в свою очередь, приводит к увеличению амплитудного значения сил Кармана? во (при £*(,=^0**) приблизительно на 50%, т. е. при £>0** ампли­тудные значения цК[о и 4<30 увеличатся, по сравнению с приве­денными на графиках для случая /г3 = 2,5, тоже на 50%.