ФИЗИКА ЖИЗНЕННЫХ ПРОЦЕССОВ

МОДЕЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПАССИВНОГО ИОННОГО ТРАНСПОРТА

Как говорилось выше, внутри клетки концентрация ионов К+ может быть в 10—20 раз выше, чем во внешней среде. Для ионов Na+ наблюдаются градиенты того же порядка, но противопо­ложного направления. Опыты с мечеными атомами показывают, что ионы цитоплазмы обмениваются с ионами внешней среды, т. е. мембрана проницаема для К+ и Na+. С наличием градиен­тов концентраций ионов связана наблюдаемая на опыте разность потенциалов между цитоплазмой и окружающей средой порядка 50—70 мВ. На рис. 3.4, заимствованном из книги Катца [20], по­казаны эти соотношения для мышцы лягушки и аксона каль­мара (подробные данные и библиография приведены в [21, 22]).

Опыты по измерению подвижности и активности Na+ и К+ в цитоплазме аксона нервной клетки, в аксоплазме, показывают, что почти весь калий движется свободно, а доля связанного натрия составляет лишь 20—30% [23—25]. Отсюда следует, что градиенты концентраций ионов определяются не спецификой цитоплазмы, но особыми свойствами мембраны. Потенциал
покоя, т. е. разность потенциалов для невозбужденной мембра­ны, характеризует некоторый неравновесный стационарный про­цесс, что подтверждается прямыми опытами, в которых цито­плазма заменялась искусственной средой. И в этих условиях внутри клетки поддерживалась высокая концентрация калия и низкая — натрия (см. [26, 27]).

Е М Na*120 К+ 2,5

I

Na* 50 1400 ZY 40-100 ■ ИгэтионапГ 270 Аспартат' 75

-БОмВ

Аксон

Na* 9,2 К*140 ZY3-4

СттШ

Т

■90мВ шушт

Рис. 3.4. Концентрация нонов (ммоль/л) и разности потенциалов между двумя сторонами клеточной мембраны.

Рассмотрим сначала ионное равновесие между растворами, разделенными мембраной. Равновесие отвечает условию равен­ства химических потенциалов на внутренней и внешней сторонах мембраны. Для соли АВ (скажем, NaCl) имеем условие

^Na + = ^Na +

Или

Верхний индекс і относится к внутренней стороне мембраны, е — к внешней ее стороне.

Так как Дц логарифмически зависит от отношения активно­стей (ср. (3.37)), то

CI

Na

«Сі

Na

(3.96)

Это доннановское равновесие. Отношение активностей может быть приближенно заменено отношением концентраций.

Если мембрана одинаково проницаема для обоих ионов и представляет собой пористый фильтр, то при разности кон­центраций по обе ее стороны возникнет диффузионный потен­циал, определяемый большей подвижностью ионов С1~ по срав­нению с ионами Na+. Поэтому более разведенный раствор станет

Электроотрицательным по отношению к более концентрирован­ному. Разность потенциалов равна (ср. (3.37))

RT uN„ — ис, , с.

У %а + "сі 2

Где и — подвижности ионов, Си C2 — концентрации соли по обе стороны фильтра. Если с\/с2 = 10, то, подставив «Na =

_ п МКМ СМ _ г\ MKM CM. , ,п п г

= 5,2 ——g-, мС1==7,9—— • - ц-, получаем = —12 мВ. Если

Мембрана проницаема только для одного вида ионов, скажем для Na+, то uci = 0 и мы получаем уравнение Нернста, совпа­дающее с (3.37),

= (3.98)

При ci/c2 = 10 находим Дг|э = 60 мВ.

В случае биологической мембраны мы имеем дело с более сложной системой — необходимо учесть наличие по крайней мере трех сортов ионов: К+, Na+ и С1~.

Считая электрическое поле постоянным и однородным по всей толщине мембраны [28], Ходжкин и Катц вывели формулу для потенциала покоя, рассматривая его как диффузионный потен­циал [29]. Токи одновалентных ионов через мембрану равны

Dcw rf\b

H^-RTu^-c^Sr^,

RfcM„ dib

/n. = - RTuna - cNauNaST f (3.99)

Dcr\

Ici = RTua + cci«ci^"-jf •

Для однородного поля и однородной мембраны

# — ■Й-. .3.100)

Где Ах— толщина мембраны. Подстановка (3.100) в (3.99) и интегрирование от с^ до eg. дает

UyS" Аг|і 4 - 4 exp (- Г HIRT) 'к== 1~x 1-ехр(-^-Дг1J/ЯГ) •

Коэффициент проницаемости мембраны для ионов К+ равен

= (З-102)

Из (3.101) и (3.102) следует

_ Рк Дг|>#-2 4 - 4 ехр (- Г Дф/ЯГ) /к = 1 - exp (- V Дг|1/RT) •

(3.103)

Общий ток равен сумме трех токов /к, /ыа, /сГ-

Рк Аг|іУ2 а» - у ехр (- У Аф/КГ)

Где

Да = cS. +

ЯГ 1 - ехр (- У Дф/ЯГ) ' (о. 104)

У = ск

При очень малом ионном токе /, т. е. при очень большом сопро­тивлении мембраны

W = у ехр (— SF ЩЯТ\

Откуда

А I і У

^ = w '

Или

(3.105)

ІГ РК4 + PNacNa + РС1сС1

Мы получили формулу Ходжкина — Катца. Если два коэффи­циента проницаемости малы по сравнению с третьим, то из (3.105) получается формула Нернста (3.98). Если ионы хлора находятся в равновесии, то

= Vil^Nafk. (З. Ю6)

Аг р ге 4- Р ге '

& rKCK ^ Na Na

Как показали Эйзенман и Конти ГЗО], можно моделировать мембрану клетки ионообменником. При этом диффузионные уравнения приводят к формуле (3.106) без использования при­ближения постоянного поля. Постоянное поле получается лишь в том случае, когда неподвижные ионообменные центры равно­мерно распределены вдоль направления движения ионов. Мик­роскопическая кинетическая теория диффузии ионов через мем­брану, основанная на теории абсолютных скоростей реакций [31], также приводит к формуле (3.106).

Следует отметить, что в опытах с варьированием концентра­ции внешнего раствора после установления стационарного со­стояния должна была бы изменяться и концентрация внутрен­него раствора. Но потоки настолько малы, что концентрации в процессе измерений практически не меняются.

Формула (3.106) хорошо согласуется с опытом лишь при большихсек или малых с^. При уменьшении сек или увеличении с1к величина Аф стремится к некоторому пределу. Произведение Ркс'к ведет себя как постоянная величина, и увеличение по­тенциала покоя приводит к уменьшению коэффициента прони­цаемости [26].

Проведем теоретическое исследование возможного механизма изменения коэффициентов проницаемости [32]. Будем трактовать мембрану как энергетический барьер для ионов, причем высота барьера различна для разных ионов. Предположим, что по мере насыщения мембраны ионами барьеры возрастают, т. е. имеется своего рода отрицательная кооперативность. Действительно, ионы должны плохо растворяться в липидной мембране и могут локализоваться не в любых ее точках, а лишь вблизи заряжен­ных ионообменных центров. Модели переносчика соответствует перемещение этих центров вместе с ионами. С другой стороны, возможен эстафетный механизм — т. е. наличие неподвижных ионообменных центров и перескоки ионов от одних центров к другим. Вольт-амперные характеристики мембраны при этих ме­ханизмах различны [30]. Опыт свидетельствует скорее в пользу эстафетного механизма.

Таким образом, предположим, что определяющим при движе­нии иона является не диффузия ионов в мембране, а переход че­рез барьер на границе мембраны — раствор. При этом возможны два варианта: модель А — имеются ионообменные центры двух сортов, одни связывают преимущественно К+, другие Na+; мо­дель Б — все центры одного сорта, но их сродство к ионам К+ и Na+ различно.

Рассмотрим сначала модель А. Пусть — число центров в единице объема мембраны, способных связывать ионы сорта /, rij — число центров, связавших эти ионы, Щ— константа скоро­сти перехода иона сорта / из внутриклеточной среды в мембрану, kLj — константа скорости обратного процесса, Щ и ktt — ана­логичные константы для внешней поверхности мембраны. В ста­ционарном состоянии потоки ионов, проходящие за единицу вре­мени через внутреннюю и внешнюю поверхности мембраны, равны

^^іДУ + ^ОГ {ЗЛ08)

/і = k\c\ (п°, - п,) - k'-jUj - Щщ - kt/cl (пі - щ). (3.107)

Исключая из этих уравнений п/, находим

Щс\ - Fe'L^Y;

K\c\

Сравнение этой формулы с (3.103) показывает, что коэффициент проницаемости заменяется в выражении (3.108) некоторой эф­фективной величиной Р/фф, зависящей от концентраций

К1 ,ке

Р? фф~-. "'У. (З. Ю9)

При малых с/ величина Р/фф от них не зависит, а при больших убывает как (cj)-1, что согласуется с опытом. •

Для установления связи Дг|э с концентрациями нужно задать­ся формой кривой потенциальной энергии иона в мембране U(*)•

Ах я Ах %

Рис. 3.5. Кривые потенциальной энергии вдоль координаты перемещения

А) ф

Ионов.

А—симметричные барьеры Ut(x), соответствующие неэлектростатнческой части потенциала; б — полная потенциальная энергия u (х). Дх—толщина мембраны, 1 — внутренняя, 2—внешняя среда.

Представим эту кривую в виде двойного барьера, асимметрия которого задается электростатической частью т. е.

(J(x)= U0(x)-\-!F\|>(*). Кривые UQ(x) и U(x) показаны на рис. 3.5. Считаем 1|э(я) линейно зависящим от х — в центре мем­браны г|5 равно полусумме его значений на границах, а значения на границах такие же, как и в примыкающих растворах (при­ближение постоянного поля [28]).

Выражая константы скорости в соответствии с теорией абсо­лютных скоростей реакций как

K = ехр (- G*/RT) ^ Ь ехр (- G*/RT),

Где G* — свободная энергия активации, получаем для ионов К+:

;==6ехр|- с = 6ехр( 5 !L_ j,

Kk

(3.110)

И1к*-и1 + зг(ъ1*-ъ1) 1

K\

.texp}-""-^^'*"-^}.

Индекс m относится к раствору внутри мембраны, звездочка — к вершине барьера. Для ионов в растворах считаем 1)\ — Uej^Uj. Принимаем в соответствии с заданным ходом U (х), что

Ul* = Uf =3 и) и = = ф' + ф^гф™.

Обозначив

Получаем из (3.110)

И, подставляя (3.111) в (3.108), находим

_ N%gKr (с1кг~2 - 4)

/K-, + ,-+fK(4 + 4)- ( }

Концентрации здесь безразмерны. Размерность n^gK совпадает с размерностью Рк в (3.102). Это — кинетический параметр. На­против, /к — термодинамическая величина, выражающая кон­станту равновесия между раствором и обменными центрами мем­браны.

Для /Na получаем выражение, аналогичное (3.112). Суммар­ный ПОТОК электронейтрален, Т. е. /Na =—/к (это условие ис­пользовано при выводе формулы (3.106)). С помощью приведен­ных выражений получаем условие электронейтральности в виде

R-2cK-CK _ "NagNa ~ 4а,„ .

R + r~1+fK(c'K + 4) ' + + ^а (cNa + 4а) ' ^ '

Так как 4 + ск cNa + с&а» т0 ПРИ /на =/к из (3-113) П0ЛУ" чается (3.106), если считать, что n°mgNJn°KgK = PNJPK. Предпо­ложив, что /Na — / к мы> тем самым, считаем, что равновесные свойства мембраны безразличны к замене К+ на Na+ и мем­брана различает эти ионы только в кинетическом смысле. В этом и состоит основная посылка диффузионных теорий [29, 31].

Формула (3.106) предсказывает логарифмический рост Дг|> при cj,->oo или с£->0. Но из (3.113) следует стремление Дг|5 к некоторому пределу, наблюдаемое на опыте. Соответствующий анализ формулы (3.113) проведен в работе [32]. Теория позво­ляет получить уравнение для предельной величины потенциала покоя, т. е. для г, равного г\ при cj,->oo или с«->0. Это ура­внение имеет вид

№. - 40 - г\ - 1 - /Ыа «а + С^). (3.114)

Величина, стоящая в правой части (3.114), положительна. Сле­довательно, неизвестный параметр /к должен удовлетворять ус­ловию

F > r' + 1 К "NaffN. Г, (/?с5а - С&а) '

Для оценки n0KgK/n0NagNa примем PK/PNa порядка 10—100. Пре­дельному значению Аїр ж 60 мВ отвечает г\ да 3,3. Концентра­ция Na+ в морской воде, близкая к физиологической, рав­на 460 ммоль/л, что соответствует безразмерной концентрации

Сыа да 8 • Ю-3. Приняв Сыа/сыа ~ Ю, получаем

/к > 4 • 102 — 4 • 103.

По имеющимся оценкам концентрация калия в мембране мень­ше, чем в окружающем растворе [33]. Приведенная выше оценка 1к этому не противоречит, так как предположительно ионы лока­лизованы не равномерно во всей толще мембраны, а лишь вбли­зи ионообменных центров, число которых ограничено. Для осу­ществления эстафетного механизма переноса центры должны находиться достаточно близко друг от друга и вблизи них кон­центрация ионов может быть существенно большей, чем в рас­творе.

Таким образом, кинетическая модель объясняет наблюдаемую на опыте зависимость потенциала покоя от концентрации.

Анализ модели Б, также проведенный в [32], показывает, что эта модель приводит к формуле (3.106), если эффективные про­ницаемости для К+ и Na+ однотипно зависят от концентраций. В модели Б эффективная проницаемость определяется не только концентрациями ионов данного сорта, но и концентрациями кон­курирующих ионов. Таким образом, модель Б не объясняет на­блюдаемого на опыте эффекта насыщения для потенциала покоя.

Необходимо строго рассмотреть эстафетную диффузию ионов в мембранах. В литературе по этому поводу имеется ряд неточ­ностей.

Если концентрация центров п, между которыми перескаки­вают ионы, велика по сравнению с концентрацией ионов с, то мембранный ток выражается как

/ •=«*!§■. (3.115)

Если указанное условие не соблюдается, соотношение более сложно. Эйджин [34, 35] заменяет в этом случае формулу для идеального газа

Д = + RT In с + выражением для решеточного газа

Д = ^ + + ^ (3116)

Подстановка (3.116) в (3.115) дает измененное уравнение Нерн - ста и приводит к вольт-амперной характеристике с отрицатель­ным наклоном. В действительности область с таким наклоном далека от равновесной. Подстановка (3.116) в (3.115) вообще незаконна, так как уравнение (3.115) справедливо лишь при ус­ловии с. То же противоречие содержится в работе [36].

Более строгий анализ проведен в работе [37]. Если диффу­зионные перескоки происходят между ограниченным числом центров, то вместо (3.115) нужно пользоваться уравнением

' = (З. П7)

Докажем это. Пусть концентрации ионов в соседних точках Сі и с2, концентрации центров Пі и п2, константы скорости для пе­рескоков через энергетический барьер k\ и k2, толщина барьера Я. Тогда поток через барьер будет равен

— / = XkxC\ («2 — с2) — Kk2c2 («1 — Cj). (3.118)

В однородной мембране щ = гц п — const. При малом К

С2 да С] + % dci/dx

И

5 M. В. Волькенштейн

Подставляя эти значения в (3.118), получаем с точностью до Я2

Где С = С], k = k\, — 1|>1.

Так как k2kn — D (D — коэффициент диффузии, см. [30]), имеем окончательно

Выражение в квадратных скобках есть электрохимический по­тенциал решеточного газа (ср. (3.116)). Электрический ток в точке х равен

^^І-Ж^Ж (3.120)

И, так как подвижность иона и = 9~D/RT, мы получим (3.117). Если п с, это выражение сводится к (3.115). В условиях по­стоянного поля (3.120) перепишется в виде

I-uRT*L + uirc^ 4J-. (3.121)

Для получения отрицательного сопротивления и линейной вольт- амперной характеристики необходимы добавочные предположе­ния о параметрах и и п.

Расчеты, проведенные в этом разделе, основаны на весьма общих соображениях. Они показывают, что простые молекуляр - но-кинетические модели позволяют объяснить наблюдаемые яв­ления. Сравнение с опытом дает возможность выбора модели.

Как будет показано в следующем параграфе, в биологических мембранах имеются реальные специфические каналы для ионов, в частности для иоиов Na+ и К+.