ФИЗИКА ПЛАЗМЫ

С ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ЭНЕРГИЕЙ В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ

Б. Б. Кадомцев, А. Б. Михайловский, А. В. Тимофеев

Показано, что неравновесные прозрачные среды могут обладать аномальной дисперсией, и в этом случае энергия монохроматической электромагнитной волны может быть отрицательной, т. е. энергия среды с волной оказывается меньше энер­гии среды в отсутствие волны. Отрицательность энергии приводит к ряду своеобраз­ных эффектов при распространении и взаимодействии волн.

Как известно [!], энергия монохроматической электромагнитной вол­ны с частотой о) в диспергирующей изотропной прозрачной среде с маг­нитной проницаемостью ц = 1 дается выражением

SHAPE \* MERGEFORMAT

(1)

Где е — диэлектрическая проницаемость. В частном случае продольных колебаний (Н = 0), которым мы и ограничимся ниже, энергия волны про­порциональна производной <1г / с? а) и, следовательно, знак энергии зави­сит от того, обладает ли данная среда нормальной (йе / ;> 0) или ано­

Мальной (с? е / <2о) < 0) дисперсией.

В термодинамически равновесной среде область прозрачности, как это следует пз дисперсионных соотношений Кронига — Крамерса, является вместе с тем и областью нормальной дисперсии [*], и, следовательно, в такой среде и >■ 0. В термодинамически неравновесных средах соот­ношения Кронига — Крамерса в их обычной форме, вообще говоря, не справедливы, так как у е могут появиться полюса на действительной оси со, которые соответствуют незатухающим колебаниям тока в отсут­ствие электрического поля. В таких средах теряет силу и утверждение

О положительности с?8 / с? о). Указанные среды могут обладать отрицатель­ной дисперсией в области прозрачности, и соответствующие волны будут иметь отрицательную энергию.

Примером такой среды может служить плазма в магнитном поле, либо непзотропная (с пучками), либо неоднородная в пространстве. Например, диэлектрическая проницаемость бесстолкновительнои плазмы с холодными электронами при сильно анизотропном распределении ионов по скоростям [ЩТ± 0) вблизи п-й гармоники циклотронной частоты нонов О, = = еН / Мс имеет впд [2]

____ л ©о2 ЙО2 &*2 Е~ ~ (ш-п£1(у1?’

(2)

Где

1) Это выражение остается справедливым и при наличии пространственной дис­пепсия.

К — волновое число, кг — проекция волнового вектора на направление внешнего магнитного поля, /„ — функция Бесселя от мнимого аргумента индекса д. Как мы видим, при частоте о), несколько меньшей йг-, дг I дю <С 0, т. е. соответствующая волна обладает отрицательной энер­гией.

Другой пример представляет неоднородная плазма с максвелловским распределением электронов и ионов по скоростям в сильном магнитном поле. Диэлектрическая проницаемость такой плазмы вблизи л-й гармо­ники ионной циклотронной частоты при поперечном распространили (кг = 0) дается соотношением [3]

0)02т( (О* / 0)£п N /0.

Е=1 +

Где о)# = ки0у ио — скорость дрейфа электронов, направленная поперек градиента плотности и равная и0 = Т Ущ / М£1{По. Согласно (3), дис­персия вблизи о) = п&1 становится отрицательной при о) < о>*.

Отрицательность энергии волн приводит к целому ряду своеобразных особенностей при взаимодействии таких волн с веществом и с другими волнами. Например, введение обычной диссипации, соответствующей по­глощению энергии (в выражениях (2), (3) в качестве такой диссипации может служить не учтенное нами затухание Ландау на электронах или столкновения электронов с атомами нейтрального газа), приводит не к убыванию, а к нарастанию амплитуды волны со временем. Действитель­но, энергия колебаний поглощается средой, если положительна проводи­мость а = (о/4я)е" = (о)/4я)1те, и из выражения для декремента затухания волны у = е" (де' / до)-1 видно, что в среде с отрицательной дисперсией поглощение приводит к отрицательному декременту.

Аналогичный эффект усиления возникает при отражении волны от границы сред с дисперсией разного знака. Например, обычная волна уси­ливается при отраженпп от среды с отрицательной дисперсией, когда во вторую среду уходит волна с отрицательной энергией. Этот эффект про­ще всего обнаруживается при отражении звуковой волны (которую можно рассматривать как продольную электромагнитную волну) от тангенциаль­ного разрыва, т. е. от границы с такой же средой, движущейся со скоро­стью V. Так как при переходе от сопутствующей системы координат к ла­бораторной частота колебаниЙ (о пеРеходит в о + кУу то в случае сверх­звукового потока (V > с3 = }'Т / М) частота распространяющейся против потока волны меняет знак и ее энергия становится отрицательной (см. [4]). Поэтому при отражении звуковой волны от сверхзвукового по­тока, как нетрудно проверить, амплитуда волны может увеличиваться. Более того, при V >• 2с, коэффициент отражения при определенном угле падения обращается в бесконечность, т. е. падающая волна может отсут­ствовать, и, следовательно, оказывается возможным парное рождение волн с положительной и отрицательной энергиями. При этом от границы раздела в обе стороны распространяются две уходящие волны.

Такое рождение особенно просто выглядит в системе координат, в ко­торой один поток движется со скоростью Уо = V / 2, а второй — со ско­ростью —Уо вдоль оси х. В этой системе координат случай парного рожде­ния соответствует волнам с частотой о> = О и отношением компоненты волнового вектора вдоль нормали ку к компоненте кх, равным ку / кх = = ся / и0. Другими словами, при этом происходит черенковское излучение звуковых волн возмущенной поверхностью раздела. Мощность этого излучения пропорциональна квадрату амплитуды возмущения поверх­ности и может быть произвольной.

Аналогичный эффект парного рождения волн возможен также в бес­конечной покоящейся плазме. Он возникает, когда дисперсионное урав­нение е (©) = 0 имеет кратные корни и, следовательно, существуют ре­шения с линейно растущей со временем амплитудой.

Поскольку знак энергии (соответственно и знак дисперсии) зависит от системы координат, то в некоторых случаях эффект отрицательности энергии является несущественным и может быть устранен переходом в другую систему отсчета. (При таком переходе изменяется и знак про­водимости a = ы>e"/4jtf поскольку декремент у инвариантен относитель­но галилеевых преобразований.) Но если мы имеем дело с несколькими потоками, разделенными в пространстве или взаимопроникающими, то изменение знака энергии за счет движения приводит к вполне реальным эффектам. В частности, вполне определенный физический смысл может иметь эффект изменения знака проводимости.

Рассмотрим, например, слабоионизованную плазму в продольном элек­трическом поле. Если направленная (токовая) скорость электронов V значительно меньше их тепловой скорости, то электронная проводимость в системе координат, движущейся вместе с электронами, сто = со'е" / 4я, практически не зависит от скорости V и при условии <o<^ve может счи­таться постоянной (о/ = to + kV — частота в движущейся системе коор­динат, ve —частота столкновений электронов с атомами нейтрального газа). Следовательно, в лабораторной системе координат

А = т— е" = —jrTv а° <4)

4я (щ + kV

(мы учли, что при переходе от одной системы координат к другой вели­чина диэлектрической проницаемости не изменяется).

Соотношение (4) было получено Герценштейном и Пустовойтом [5] прп помощи прямых вычислений в лабораторной системе координат. Со­гласно (4), проводимость меняет знак, когда скорость V становится боль­ше фазовой скорости волны о / к. Изменение знака проводимости может привести к раскачке волн с положительной энергией, но сами эти волны существуют только в том случае, если имеется реальное различие средних скоростей электронов и ионов.

Отрицательность энергии может проявиться и при нелинейном взаимо­действии волн. При этом также может иметь место эффект возрастания амплитуды волны с отрицательной энергией за счет нелинейной передачи энергии обычным волнам, а также обратный ему эффект затухания волны за счет отбора энергии от обычных волн.