ФИЗИКА ПЛАЗМЫ

О ЦИКЛОТРОННОМ НАГРЕВЕ В КОРОТКИХ АДИАБАТИЧЕСКИХ ЛОВУШКАХ л. в. ТИМОФЕЕВ

Введение

Электромагнитные колебания, электрический вектор которых перпен­дикулярен постоянному магнитному полю, изменяют энергию ларморов - ского вращения заряженных частиц. Если колебания обладают круговой поляризацией, то для скорости ларморовского вращения нетрудно полу­чить следующее уравнение:

ЕЕ

Г>х = соз(ф(0). (1)

171

Здесь ф(0=^(0~1|)(г) — фаза ларморовского вращения, ш — частота электромагнитных колебаний.

При циклотронном резонансе в однородном магнитном поле фаза <р(*) остается постоянной, и поэтому и± меняется так, как если бы магнитное поле вообще отсутствовало. В адиабатических лозушках магнитное поле неоднородно. Движение между пробками ловушки вызывает изменение фа­зы. Каков будет результат взаимодействия заряженных частиц с электро­магнитными колебаниями в этом случае,— заранее сказать невозможно. Изучение вопроса, проводившееся в течение ряда лет, показало, что харак­тер взаимодействия существенно зависит от длины ловушки I. Здесь под длнной ловушки мы подразумеваем размер области, занятой плазмой в на­правлении вдоль магнитного поля. При магнитном удержании Ь—Ьи^/и^, где Ь — характерный масштаб изменения магнитного поля в продольном направлении, значки «продольно» и «перпендикулярно» отмечают направ­ление относительно магнитного поля, нуль — значения величин в миниму­ме магнитного поля. Ловушку будем называть короткой, если заряженная частица (для определенности будем в дальнейшем иметь в виду электро­ны) за время одного прохождения по ловушке не успевает выйти из резо­нанса с волной Дср<л, и длинной, если зона резонансного взаимодействия занимает малую часть системы. Оценки показывают, что ловушку следует считать длинной, если выполняется условие />(£гс) и короткой — в об­ратном случае — /< (Ьгс) ч где ге — ларморовский радиус электрона.

Состояние проблемы циклотронного нагрева в длинных ловушках было проанализировано в работе [[54] ]. Для таких систем наиболее существенно, что в них даже регулярные циклотронные колебания могут хаотизировать фазу <р(*) в уравнении (1). В результате изменения и± под действием цик­лотронных колебаний становятся хаотическими, что, естественно, ведет к увеличению средней энергии ларморовского вращения, т. е. к нагреву плазмы.

913

подпись: 913Взаимодействие заряженных частиц с циклотронными колебаниями в коротких ловушках /<(Lгe),/, рассматривалось в работе [*]. Было показа­но, что если частота колебаний равна минимальной циклотронной на не-

7 Физпка плазмы, шип. 4

Которой силовой линии магнитного поля, то часть электронов, движущих­ся по этой силовой линии, захватывается колебаниями Это означает, что электрон начинает вращаться по ларморовской окружности не с локаль­ной циклотронной частотой, меняющейся в ловушке от точки к точке, а с фиксированной частотой электромагнитных колебаний. В результате фаза Ф в (1) становится постоянной величиной, а следовательно, захваченные электроны вовлекаются в режим непрерывного ускорения, не чувствуя неоднородности магнитного поля.

Для обычных адиабатических ловушек условие /> (Ьге) ',г выполняет­ся с большим запасом, поэтому их в указанном смысле следует считать длинными. Вместе с тем электроны с малыми значениями Уц0 движутся вблизи минимума магнитного поля на данной силовой линии, т. е. как бы находятся в короткой ловушке. В соответствии со сказанным при цикло­тронном нагреве в адиабатических ловушках следует ожидать, что основ­ная масса электронов будет нагреваться посредством стохастического ме­ханизма. Эти электроны увеличат свою энергию сравнительно слабо. В то же время малая доля электронов, локализованных вблизи минимума маг­нитного ПОЛЯ на ТОЙ СИЛОВОЙ ЛИНИИ, где выполняется условие й)е тп»п = Юг будут нагреты значительно сильнее. Подразделение электронов на две фракции часто наблюдается в экспериментах по циклотронному нагреву (см., например, [3]). Появление при циклотронном нагреве группы высо­коэнергичных электронов, локализованных в минимуме магнитного поля, было использовано в [4] для стабилизации дрейфово-конусной неустойчи­вости. С тем же самым явлением естественно связать прожог лайнера, на­блюдавшийся в экспериментах на установках типа токамак (см., напри­мер, [*])• Действительно, в [•] было показано, что в этих установках воз­можно возбуждение циклотронных колебаний. Если предположить, что эти колебания взаимодействуют с электронами так же, как и в адиабати­ческих ловушках, то в гофрах магнитного поля токамака должен образо­вываться тонкий слой высокоэнергичных электронов. Такие электроны,, выдрейфовывая наружу и высаживаясь на лайнере, могут вызвать его про­жог. В пользу этой гипотезы говорит форма и расположение отверстий в лайнере.

В настоящей работе рассмотрен ряд вопросов, возникающих прп по­пытках связать перечисленные выше экспериментальные результаты с яв­лением захвата и непрерывного ускорения электронов, исследовавшимся в работе [*]. Рассмотрение влияния кулоновских соударений на ускорение захваченных электронов показало, что в этом случае возможно явление просвиста. Найдено также, что в зависимости от конкретных условий уско­рение захваченных электронов может ограничиваться следующими фак­торами: неточное равенство частоты электромагнитных колебаний мини­мальной циклотронной частоте на данной силовой линии, нестабильность частоты циклотронных колебаний, релятивистская зависимость цикло­тронной частоты от энергии ларморовского вращения, эффект когерентного синхротронного излучения и, наконец, неустойчивость плазмы. Нами уточнены также условия, которым должны удовлетворять электроны, во­влекаемые в процесс ускорения.

Нии мы их можем не учитывать. Ъудем также считать электрическое поле колебаний однородным в пространстве. Это упрощение, но влияя на суще­ство дела, позволяет сократить выкладки. При сделанных предположени­ях гамильтониан электрона имеет вид (см. [2 7]) 1

Ф=М<о..-<о)+г,(^)/+-^-(^)/'с03(<р-^3т2?). (2)

Здесь ц, ф и л» ? ~ Две пары канонических переменных, к=ти±/2юе — магнитный момент, ф — разность между усредненной по продольным ко­лебаниям (по [}) фазой ларморовского вращения и фазой электрического поля, г=тЬи\0г/2и±0 имеет смысл продольного инварианта, р — фаза продольных колебаний.

Предположим, что фаза продольных колебаний [} меняется быстрее ф, тогда гамильтониан (2) можно усреднить по £

<«>-ц(«..-и)+п (^) (3)

Здесь /0 — функция Бесселя нулевого индекса. В (3) переменными яв­ляются (1Иф, аг] входит в него в качестве параметра.

Электрическое поле выпадает из усредненного гамильтониана (3) при ц=цп (п=1,2,3,...), где Цп=г)/4хп, /0(Яп)=0. На частицы с ц=цп элек­трическое поле не действует, и поэтому их магнитный момент не меняет­ся. Отсюда следует, что траектории частиц на фазовой плоскости ц, ф не могут пересечь линий ц=цп. Наиболее высоко расположена линия Ц=Ц1. В области Ц>Ц1, вообще говоря, возможно неограниченное ускорение частиц. Проанализируем эту возможность. Поскольку при движении га­мильтониан должен оставаться постоянным, то для обращения ц в бес­конечность необходимо выполнение двух условий: 1) частота колебаний. должна быть равной ю. о, 2) электрическое поле должно превышать кри­тическое значение Е0=(от)/е£ или в другом виде:

Ео=Н0и{{ ог/си± о - (4)

Эти два условия, как легко показать из анализа траекторий на фазовой плоскости (см. также [2]), являются и достаточными.

В области больших значений ц (ц>4т)) характер движения становит­ся очень простым. Действительно, полагая /0(г]/4ц) =1 и учитывая опре­деления ц, ф, нетрудно показать, что уравнение движения, получаемое из (3), приводится к (1). Из условия <ф>=С0П81 следует ф = агСС08 ( — Г](оЬ/

У. -*00

/еЕ)= сог^. Таким образом, в соответствии с (1) заряженная частица увеличивает свою энергию так, как если бы она находилась лишь в одном постоянном электрическом поле. Этот результат вполне понятен, так как частицы с большим значением ц (ц>т]) находятся в минимуме магнит­ного поля, где о)в(г) «о)в о=«. Следует, однако, отметить, что как бы близко к минимуму магнитного поля ни двигался электрон, он входит в режим непрерывного ускорения лишь в том случае, если электрическое поле превышает критическую величину (4). Она может быть получена из следующих простых соображений. Электрон непрерывно ускоряется вол - ной, если его фаза не меняется во времени. К изменениям фазы ф может привести движение вдоль магнитного поля, поскольку циклотронная частота меняется в продольном направлении. При £-*0, й)=й)е0 фаза ф

Колеблется с частотой12 = -— <£> = 11 Ые а/2т^2),/1=<(ое>= — о>е0(^цо/^_1_о)

А1 2

Электрическое поле изменяет и±с, а следовательно, и £2. Очевидно, что эффект расфазировки может отсутствовать, если частота & существенно изменится за время, меньшее Й~ т. е. будет выполнено условие: £2/Й= =2у±/и1=2еЕ1ти±>£1. В этом случае в силу увеличения и±0 элек­трон «затягивается» в минимум магнитного поля, т. е. к резонансной точке, быстрее, чем успевает накопиться фазовое рассогласование, доста­точное для выхода из резонанса. Отметим, что получаемое таким образом критическое значение электрического поля лишь численным множителем отличается от найденного выше (см. (4)).

2. Стохастический нагрев

Рассмотрение, проводившееся в предыдущем разделе, основано на использовании гамильтониана, усредненного по продольным колебаниям электрона в ловушке (координате [}). Такое усреднение законно, если выполнены два условия: координата меняется значительно быстрее, чем Ф, и в гамильтониане отсутствуют секулярные слагаемые, соответствую­щие резонансам /?ф—gj}=const. Для выделения таких слагаемых исполь­зуем известное разложение:

Sm(q>--^J-sin2ij)= (-^-)sm(<p-2gЈ).

Я

Из этого выражения следует, что секулярные члены появляются, если выполнено условие Й=Й_1_—й)=2д£2ц, где q — целое число,

ЙхW L.”“* ■■ (1+т(2,шш* •> ■* )-“••(■1+2^) •

Аф I _ 1 / 2цш. о ',г

Условие резонанса можно представить также в виде ц=т]/4д.

Вопрос о движении в области малых значений ц рассматривался в ра­ботах [•—10], Где использовалась общая теория возникновения стохастич - ности в многопериодических системах.

Было найдено, что при достаточно большой амплитуде электрического поля происходит так называемое явление перекрытия резонансов, в ре­зультате которого движение частиц по фазовой плоскости ц, ф хаотизи - руется. В [•■ *■4] рассматривалось движение частиц с ц<т]/4, которые могут заходить далеко от минимума магнитного поля 1^>(Ьге)ъ (случай длинных ловушек). Результаты, полученные в [10], пригодны в промежу­точном случае ji*r|/4g (l~l/i(Lre/q)lli), где q — целые числа порядка еди­ницы. Условия возникновения стохастичности, полученные в этих рабо­тах, имеют вид:

*~"?(тГ(тГ »

Соответственно. Они совпадают на границе области применимости.

Полезно области стохастического нагрева и нагрева в режиме захвата волной (детерминированный нагрев) нанести на плоскость v±0, z>n *. Сто­хастически могут нагреваться лишь электроны с достаточно большой про­дольной скоростью vno^v*ЈQ(La>eo)-','(l'^(Lre) :)t в то время как для за-

Хвата необходимо выполнение обратного условия

К М Г ПЛТПГТГТТЛЛ ПТТЛТГ/Ч*т*ж/ч *« ^ »Г1 Ч / Т * V — */ 2

(1^(Ьге)'2). Граничное значение у„ (Ьыс 0)

Сунке кривой 1. Критерии стохастич-

Ности и захвата также можно пере-
писать как условия на у„ 0. При этом
первый из ннх принимает вид Уц 0>

>у_і_3 ОС'7, (ю, ОЬ) -5/* ^0,14 1 ,

Рой (см. (4)) Уцо<(Ухо с)Чг(Е/Н)ъ.

На плоскости и± 0, ум 0 они ограничи-
вают область стохастичпости снизу и
захвата сверху (см. кривые 2 ц 3
соответственно). Кривая 2 пересе-
кается С кривой 1 Бри И^0 ~(С(йсоЬЕ1
/Н)ч точка пересечения кривых 3 и
1 расположена ближе к началу ко-

ДУ

В заключение сопоставим коэффициент стохастической диффузии с коэффициентом диффузии, возникающей под действием кулоновских соударений. В [1 ] для первой величины в предельном случае очень длин­ных ловушек было получено следующее выражение:

Я£«45а), 0(сЕ/Н)2(Ухо/у„ о)4/3а/г.)

Коэффициент столкновительной диффузии естественно принять равным Г^^сут2, где ут —тепловая скорость электронов. Если принять Ге=10 эв, £=100 в/см, Я=3-103 гс, й) = (1/г)-Ю11 сек~ п=1012 см~ то Г>Е будет превышать Б* примерно на 5 порядков. Заметим, что циклотронные коле­бания В отличие ОТ столкновений меняют ЛИШЬ Ухо.

3. Явление ^просвиста»

Как известно, под действием достаточно большого постоянного элек­трического поля электроны незамагниченной плазмы входят в режим не­прерывного ускорения, которому не могут помешать кулоновские соуда­рения (режим «просвиста») (см. [13> 14]). Очевидно, что то же самое будет иметь место, если плазма помещена в постоянное магнитное поле, парал­лельное электрическому. Хотя электрическое поле циклотронных колеба­ний перпендикулярно магнитному, однако непрерывное ускорение элек­тронов возможно и в этом случае (см. выше). Появление просвистных электронов облегчается тем, что электрическое поле циклотронных коле­баний может достигать сравнительно больших величин, на 2—4 порядка превышающих величину постоянного электрического поля, которое мож­но поддерживать в незамагниченной плазме или при Е||Н. Однако, с дру­гой стороны, непрерывно ускоряются лишь те электроны, вектор скорости которых почти перпендикулярен магнитному полю, поэтому даже слабые возмущения могут прервать процесс ускорения.

Область стохастического нагрева за­штрихована горизонтально, область за­хвата и детерминированного нагрева — вертикально

Ординат Ух»/у±о ~ (0,14),,; Этому

Численному коэффициенту не еле дует придавать строгого смысла, по­скольку, во-первых, он был получен с помощью критерия стохастичности

Применимого ДЛЯ очень ДЛИННЫХ ловушек (кривая 2 при У||0-^°°), во-вто - рых, в соответствии с [!1,12] само явление перекрытия резонансов, веду­щее к стохастичности, не имеет четко определенного начального момента. Тем не менее мы надеемся, что он правильно отражает соотношение меж-

(2)

(3)

И Ухо

(2)

Ухо

ИП »<О*£0{Ь(Ое о)'7’

Изображается на ри -

 

Вто -

 

О ЦИКЛОТРОННОМ НАГРЕВЕ В КОРОТКИХ АДИАБАТИЧЕСКИХ ЛОВУШКАХ л. в. ТИМОФЕЕВ
О ЦИКЛОТРОННОМ НАГРЕВЕ В КОРОТКИХ АДИАБАТИЧЕСКИХ ЛОВУШКАХ л. в. ТИМОФЕЕВ

О ЦИКЛОТРОННОМ НАГРЕВЕ В КОРОТКИХ АДИАБАТИЧЕСКИХ ЛОВУШКАХ л. в. ТИМОФЕЕВ

TOC o "1-5" h z при анализе ьлиннии л^шпив^ппл. ..................... ^ ^ 4_ _

(см., например, [14]) ^

-1<(д„ )’>=2у.— . (5)

& и±0

Здесь V, — частота кулоновских соударений электронов, движущихся

С тепловой скоростью!7Т.

Сi еЕ (1

Учитывая (1), произведем в (5) замену — =----------- ‘г----- Интегрируя

СИ пъ иУ | 0

(5), получаем приращение дисперсии Уцо при увеличении поперечной скорости от ит до и± 0:

< (Ду,, „) ’> »,*1п (. (6)

Поскольку дисперсия в значениях V)) о в функции от и± о возрастает по

Логарифмическому закону, а продольное значение у,, 0 — по степенному

•/* ^ (3) V* (3^

При и±о<и±0 и и„0~и±о при и±0>и±о, то явление «просвиста» должно иметь место. Последовательность процессов, приводящих к «про­свисту», такова: посредством стохастической диффузии электроны по­даются на границу области непрерывного ускорения, после чего электри­ческое поле уводит их в «просвист». Причем режим «просвиста» начи­

Нается с

О

подпись: о^*(ттт) при А^т)

И С И± при Если И±о имеет меньшее значение, то

Влияние кулоновских соударений преобладает над влиянием электриче­ского поля.

4. Факторы, ограничивающие ускорение электронов

А) В адиабатических ловушках магнитное поле неоднородно как в про­

Дольном, так и в поперечном направлениях. Поэтому резонансное условие ш=(!)«,„»»„ может быть выполнено лишь на какой-то фиксированной маг­нитной силовой линии. Рассмотрение показывает, что максимальная ско­рость, которую могут достичь электроны при равна и±отах*

ЕЕ

»------ 16©!"1, где бй)*=ш—го. о. Эта оценка может быть получена из

Т

Сравнения первого и третьего слагаемых в гамильтониане (3).

Б) Мы считали, что электромагнитные колебания монохроматичны. Однако в действительности спектральная функция любых колебаний имеет некоторую конечную ширину Дю, и поэтому приближение моно­хроматических колебаний пригодно лишь при б£<(Дй))-1. За время (Д©)"1 поперечная скорость и±0 изменится на величину еЕ/т(&(а)~1. На больших интервалах времени изменения и±0 будут иметь диффузионный характер с шагом еЕ/т(Дм)-1.

В) Расфазировка между электромагнитными колебаниями п ларморов - скпм вращением электронов, приводящая к ограничению ускорения, мо­жет также вызываться релятивистской зависимостью циклотронной ча­стоты от скорости. В этом случае максимальное значение скорости опре-

ЕЕ 1

Деляется соотношением 0«--------- ' (с/и± о) 2, откуда следует о та*«

ТТЬ 00« о

&с(Е/Н)'и. Аккуратное рассмотрение вопроса, проведенное в ряде работ (см., например, [|9]), подтверждает эту оценку.

Г) Как было показано в разделе 1 настоящей работы, электроны, за­хватываемые волной, приобретают одно и то же значение фазы ларморов - ского вращения <р. В результате в области ©е(г)«й)св образуется узкий

Слой сфазированных электронов. Его продольный размер (толщина) до­вольно мал Z<(Lrt.)'/j, а поперечный зависит от поперечной неоднород­ности магнитного поля (см. выше). Синхротронное излучение электронов в этом слое будет когерентным. Можно представить себе такое равновес­ное состояние, при котором вся энергия, приобретаемая электронами от циклотронных колебаний, затрачивается на синхротронное излучение. При этом необходимо различать две возможности в зависимости от соотноше­ния между длиной волны излучаемых колебании Я=2ли попереч­ным размером слоя 1±. Если kl±<.i, то электроны излучают когерентно по всем направлениям. Приравнивая энергию, получаемую от внешнего поля NeEvю, излучаемой Nze2wzv±0z/c3 (см., например, [1в]), находим v±0max~ ~с(Е/Н) (mc3/ez(щeN), где N — полное число электронов в слое. Прп выпол­нении обратного условия kl_L> I фаза излучаемых колебаний будет по­стоянной в пределах слоя ускоренных электронов лишь тогда, когда волновой вектор колебаний наклонен к магнитному полю под достаточно малым углом 0<1/А:/х. В этом случае имеем v±0 maxжc (Е/Н) (mcVeW9s). Интересно отметить, что в [в] появление ускоренных электронов, активно взаимодействующих со стенкой, сопровождалось мощным синхротронным излучением.

Д) Под действием электрического поля циклотронных колебаний воз­растает лишь поперечная компонента скорости. Поэтому распределение электронов по скоростям в окрестности минимума магнитного поля долж­но быть анизотропным, что может привести к неустойчивости. Если плот­ность плазмы достаточно низка ((ор.<ш,), то неустойчивыми могут быть электромагнитные колебания с законом дисперсии &~кс. Такие колебания будут усиливаться при прохождении через слой анизотропных электронов, если выполняется условие VX0^ (VrCriolni)'1*, где п0 — плотность плазмы, ni — плотность электронов, захваченных-волной. Критерий усиления легко получить из рассмотрения, аналогичного проведенному в [17]. Приведет ли такое усиление к установлению собственных колебаний, нарастающих во времени, зависит от состояния плазмы в остальной части системы п от граничных условий. В плотной плазме (1)ре>72(0. существует опасность раскачки потенциальных колебаний (см., например, [18]). Развитие той

Или иной неустойчивости может привести к разрушению слоя анизотроп­

Ных электронов.

Институт атомной энергии Поступила в редакцию

Им. И. В. Курчатова 8 октября 1977 г.

ФИЗИКА ПЛАЗМЫ

О ДИСПЕРСИОННОМ СООТНОШЕНИИ КОЛЕБАНИЙ ЗАМАГНИЧЕННОЙ ПЛАЗМЫ (Методическая заметка)

ОБРАЗОВАНИЕ ГОРЯЧИХ ЭЛЕКТРОНОВ В ОТКРЫТЫХ ЛОВУШКАХ ПРИ ЭЦР НАГРЕВЕ С ПРОДОЛЬНЫМ ВВОДОМ СВЧ МОЩНОСТИ

Приведены результаты экспериментального изучения популяции го­рячих ллехтронов. образующейся при ЛДР нагреве плазмы в установке О ГР А-*. Разработана теоретическая модель, согласованным образом опи­сывающая динамику горячих электронов и распространение электромаг­нитных колебании …

О ВЧ СТАБИЛИЗАЦИИ ЖЕЛОБКОВОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ

Взаимодействие низкочастотных желобковых колебании и высоко­частотных учитывается через изменение частоты и)вч при развитии же­лобковых возмущений. В силу постоянства адиабатического инвариан­та ВЧ колебаний И'вч/швч вариации (оВч вызывают изменения 1Увч. Учет этого …

Как с нами связаться:

Украина:
г.Александрия
тел./факс +38 05235  77193 Бухгалтерия
+38 050 512 11 94 — гл. инженер-менеджер (продажи всего оборудования)

+38 050 457 13 30 — Рашид - продажи новинок
e-mail: msd@msd.com.ua
Схема проезда к производственному офису:
Схема проезда к МСД

Оперативная связь

Укажите свой телефон или адрес эл. почты — наш менеджер перезвонит Вам в удобное для Вас время.