ФИЗИКА ПЛАЗМЫ

НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ КОНВЕКТИВНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ[10]

А. В. ТИМОФЕЕВ

Институт Атомной Энергии им. И. В. Курчатова Академии Наук СССР, Москва

В работе в квазилинейном приближении рассмотрена конвективная неустойчивость разреженной плазмы, наступающая, когда плотность плазмы превышает определенное критическое значение. Показано, что уравнения, определяющие частоту и амплитуду нелинейных колебаний, допускают введение эффективной потенциальной энергии. Причем сами колебания оказываются в определенном смысле эквивалентными колебаниям нелинейного, двумерного, аксиально-симметричного осциллятора (ротатора), движущегося без трения. Учет нелинейных эффектов позволил существенно уточнить кри­терий неустойчивости, найденный в линейном приближении. Показано, что устойчивость плазмы по отношению к колебаниям с конечной амплитудой зависит от величины с^п/сЦг*)*, здесь п — плотность плазмы, г — расстояние от оси системы.

Введение

В настоящей работе рассматриваются колебания плазмы низкого давления, когда /3 = 8 Tzp/H2<4.1 и, более ТОГО, 4тг Q С*1Нг<^ 1, где Q — плотность плазмы, р — ее давление. Устойчивость такой сильно разреженной плазмы, помещенной в не­однородное магнитное поле, в линейном прибли­жении была рассмотрена в работе 7. В этой работе показано, что при плотности числа частиц меньше критической, л< Пс, в плазме возможны два типа колебаний с различными частотами. Критическая плотность определяется из условия r^=aRt здесь U — дебаевский радиус ионов, а — характерный размер, на котором меняется плотность плазмы, R — средний радиус кривизны магнитных силовых линий. При плотности больше критической ста­ционарные колебания бесконечно малой ампли­туды невозможны — плазма становится неустой­чивой.

Нами в квазилинейном приближении рассмо­трены колебания малой, но конечной амплитуды при плотности плазмы, близкой к критической |п— пс<^пе. Показано, что спектр возможных колебаний плазмы несравненно богаче найденного в линейном приближении. А именно, при плот­ности плазмы больше критической возможны стационарные колебания, с другой стороны, при плотности меньше критической могут существо­вать колебания, амплитуда которых меняется со временем. Показано также, что при учете нелиней­ных эффектов поведение плазмы, в частности ее устойчивость, определяется не только величиной плотности я, но зависит также и от производной d*n/d(r*)3, где г — расстояние от оси системы. Оказывается, что колебания плазмы эквивалентны колебаниям двумерного, аксиально-симметрич - ного, нелинейного осциллятора, движущегося без трения.

1 Основные уравнения

Предполагая, что неоднородность магнитного поля невелика, будем приближенно считать его однородным (см. работы 7, 2, 5, 4), а малую не­однородность учтем, вводя эффективную силу тяжести Мд,= Т/R, действующую на ионы. Здесь R — средний радиус кривизны магнитных силовых линий, Т — температура ионов. Отметим, что в большинстве установок по адиабатическому удер­жанию плазмы используется только приосевая область, где приближенно можно считать г Л-const.

Условие 4tzqc*IH*<^ позволяет пренебречь инерцией в уравнении движения для ионов (см. работы 7, 2, 4). В этом приближении можно счи­тать, что в электрическом поле как электроны, так и ионы дрейфуют со скоростью У =(с/Я*) Н хУ7<р. При рассмотрении колебаний желобкового типа потенциал <р естественно считать постоянным вдоль магнитного поля (см. работы 1—4). При этих предположениях уравнения непрерывности для электронов и ионов принимают следующий вид

^ + -gr-V{n«HxV9>}=0 (1)

1£-<»>-Ж + -£гЧ{[11]ХЧ'г} = 0 (2)

Здесь учтено, что под действием эффективной силы тяжести ионы дрейфуют по азимуту в с угловой скоростью — oj0=gJrQi=(TlMQi)(Rr)~1 = const, Qi=eHtMc — циклотронная частота ионов.

Перейдем в систему координат, вращающуюся с угловой скоростью — ш0/2. Это позволит запи­сать уравнения непрерывности в более симметрич­ном виде

~т(4г + ^1в)”' =-/V(3)

(it -^le)m = ~L*m <4)

Где

Г > _ W_Јr _£_ _ ъ

9 г сг св £6 сг)

Потенциал (f, входящий в уравнения непрерыв­ности, определяется из уравнения Пуассона

А<р = 4-е{пе — щ) (5)

С*

~гв*

0*<р 1 _

Тк

00*

Гое число частиц, которое соответствует гра - мце области неустойчивости в линейном прибли­жении, обозначим через хУс, оно вычислено нами в пар. 2, см. также работу 1. Тогда считая, что <5ЛТ ■* |ЛГ—2Уе|^хУс, будем искать решение нелиней­ных ур. 3, 4, 6 в виде ряда по малой величине

Оо оо оо

ІМГ/іУсІ1/*, П*=П0+^П*к, Пі = П0+2Лікі <Р=^<Рк.

К-1 к-1 »г-1

Производную по времени представим в виде

Оо

Аналогичного ряда д|дt = д|дt0+■'^д|дtk. Прирав-

Ь—і

Швая в ур. 3, 4, 6 члены одного порядка малости получаем

Ж— С Н I "•* г* ^

ДеАствуя на ур. 5 оператором — |- — -^£ +

Мюльзуя ур. 3, 4, получаем следующее урав - для определения <р

1 Н ST 8 8 л 1 с / л

4ав с 2<8tp 8t4 Л<Рг 4-е ct0 2* *р

P+-j+r-k P+4-к

~ ~&гІ2ж Ь”Л 'Г' + ^Т

Я/0 w„0 и^Г с

Є «, 2 св)П*~ с Cts Пи

1+

■ о dn0 j,

+ “ св d^“ZL*'

1 Hi Ш * а* , о* , , Л dn„ г*.

4* в с ( 4 06* + 0V/ 97 V° d(rJ) 0<

Дщ dn0 дв d (г*)

Рассмотрим бегущие по азимуту в волны, когда <p1oce”'e"+ime, при этом dldt0=( — (о/т) д/дв, здесь т — номер гармоники, а частота — ш подлежит определению.

Интегрируя ур. 10 дважды по азимуту, получаем

Zl9?1+4rce (2е/Я)со0т2( о»*-т* ш0*/4)_1Лг [d. F/d(rs)] 9?1-0

(П)

В качестве граничного условия потребуем равен­ства потенциала <рг нулю при г = г0 на поверх­ности металлического кожуха, окружающего плазму. В случае параболического распределения невозмущенной плотности dJT/d(r*) = const и ур. 11 совпадает с соответствующим уравнением, иссле­дованным в работе /.

Как известно, см. например, работу 7, собст­венные функции ур. 11 должны давать минималь­ное значение интеграла J=j<Pi Д<рх dV, при допол­нительном условии ортогональности и нормировки

J[dJ’/d(r2)] <pimn <pim П - dV= дтт' бнп' COHSt. ИСПОЛЬ -

Зуя теорему Гаусса и граничное условие g? i(r0) = 0, выражение для J можно преобразовать к виду

Jmn=f(V<pi*.n)sdP. Из ур. 11 следует, что собствен­ные значения параметра А=4тс е(2с/Я) Утг ш0 X ( —£0*+W2 Ш0*/4)-1 равны Xrnn — Jmn. Это уСЛОВИе удобно переписать в виде

Аг — тг су0*/4 — тг ш0 4тг е (2с/Я) N

X ([dF/d (г*)[ <р1тпг}г. о((Ч<Р1тп)гУг,9-1 = 0 (12)

Здесь скобки означают усреднение по г и в с весом г. Ур. 12 определяет частоты собственных коле­баний плазмы, причем каждому значению индек­сов тип соответствуют две волны с различными значениями су. В области устойчивости со — дейст­вительно. Колебания начинают раскачиваться, когда у частоты появляется положительная мни­мая часть. Из ур. 12 нетрудно найти критическое значение плотности, при котором начинается не­устойчивость

Я)*«

Дв*

(-

+

= 0

(10)

Мы предположим, что колебания развиваются щ нейтральном фоне, т. е. что nco=mo=n(h <р0=0. (Случай др0ФО рассмотрен в приложении 2.) Введем следующие обозначения: n0(r) = NF(r), N —общее чясло частиц одного знака на единицу длины системы, F(r) — нормированная функция '|

2icJV(r)гdr= 1, г0 — радиус камеры. Крити -

, , 2с dn„

+ 4ле

В Ур. 7—9 под знаком суммы выделены нелиней­ные члены, причем индексы, по которым идет суммирование, не принимают значения ноль. Эти Уравнения могут решаться методом последова­тельных приближений.

А'с = СО0 <(V (f 1 тп)2>г, в [4 ТГ Є <?lm и2

При квазилинейном рассмотрении помимо ли­нейных членов удерживаются также члены более высокого порядка малости в ур. 5,6. Очевидно, что их учет существенен там, где линейная теория предсказывает границу области неустойчивости, т. е. при плотности, близкой к критической.

2 Линейное приближение

Отбросив в ур. 7 нелинейные члены, для потен­циала получаем следующее уравнение

 

(6)

 

НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ КОНВЕКТИВНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ[10]

1 2 Я д

 

<Ря

 

4 7Т в

 

P+4-k

 

P+4 + r — к

 

(7)

 

Я / а. шв а н с

С Ur, + Т~дв)Пс4- С let, п"

 

S+m=q

 

+ 2

 

Пет

 

(8)

 

I+m-4

 

(»)

 

НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ КОНВЕКТИВНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ[10]

0* 16 1

3

D*<pk

0 d(r») 00*

1

0V*

Dn„ о*?*

0 d(r*) с0*

2 00

Я 0 .

<п*«

1+т-ч

- (,в) 1+1Я — 4

Здесь вместо двух ур. 8, 9 использована их сумма ур. 16.

3 Квазилинейное рассмотрение

Оставляя в ур. 15 члены второго порядка ма­лости, получаем

На границе области неустойчивости критическое значение частоты равно нулю. Таким образом при плотности плазмы, близкой к критической, возму­щения потенциала в нулевом приближении не­подвижны, д/д*0 = 0. Учитывая это, запишем основ­ную систему ур. 7—9 в виде

^1.2=±(^о/2)(1-А7Лгс)1/*

0 00* Я^ 3

0 d(г*) 00*

D(r*) 00*

~ T dN ^y} f (r) cos t0 + v (<l)^

___ L V dF Г*> - P - dy

C0„* 1 c d(r*) [“ dtx d«!

+ p “ST“] / W sin [0 + у (<i)]

- i^VA’c^rWdcostO + v-M

+ - i- cos 3 [8 + ?(<,)]}

- I™ 4^^*'^

Для того, чтобы ур. 22 могло быть разрешено относительно <рл, его правая часть должна быть ортогональна к решению однородного уравнения, т. е. в правой части ур. 22 должны отсутствовать секулярные члены, см. работы 5, 6. Помножая ур. 22 на / (г) cos [0+у>(<і)1 и на / (г) sin [0+уК*і)] поочередно и производя усреднение по г и fl с весом г, получаем следующие условия разреши­мости ур. 22

(23)

Будем считать, что q>x зависит от «медленного времени» параметрически через медленно меня­ющиеся амплитуду p(tx) и фазу yK*i)> 9i=P(*i) х cos [0-hy^Oi)] / (г). В ур. 20 входит (Э*/Э эта величина, как нетрудно видеть, равна

-ЙТ - = [-0 - Р (^ЙгП /(r) <=°s te - н V (<!)]

-[р-гт + 2жж]/,г,8‘п[9+*'м ,21)

Подставляя выражение для dx<pl/dtlt в ур. 20, окон­чательно получаем следующее уравнение для определения q>3

2 d»n0 0»Уі»

Со, d(r*) 3 ш0НІ d(r*)* 00*

-2 ^ - 4^ 4fL^1de 4- **

Подставляя сумму псг + пц в у р. 19 и опять используя выражение для А<рх из ур. 11, приводим ур. 19 к следующему виду

Как следует из выражения ур. 13, при возрастании плотности первыми начинают раскачиваться длин­новолновые возмущения с наименьшими значе­ниями т и п (т = 1, я = 0). Именно эти колебания мы и рассмотрим в дальнейшем, опуская индексы.

Используя выражение для критической плот­ности Ус из ур. 12, находим

Со,,

1 Я

4-е с с11

- 4^7 4; 2^ Ь <18>

Из ур. 16 определяем сумму Ле2+/1|2

16 / с 2 , сЫ0 1 2 Г, а 0 .

Ис2+И42=----- г!-«” 9^1 ;---------- <*0^—

Ш9гН1Т1 4(г-) 4 Г. еш0] М1

(19)

Здесь использовано линейное ур. 11 для <рг, а также равенство ^ = 0.

"-J - А <рх + (пе г + па)

J<ps + 2о>

1 Я

T‘Ve

1 v dF 0V,

Я

1

4ге 32с

4т е 4с 1

2 dtP Л(рг Н—"00"2^'vP

. 1 Я^ 0 л

+ »•«>=- тгг—

4-е с

0_

)0

P-r-4-k

1 Я

НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ КОНВЕКТИВНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ[10]

(14)

 

(20)

 

НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ КОНВЕКТИВНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ[10]
НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ КОНВЕКТИВНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ[10]
НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ КОНВЕКТИВНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ[10]

(22)

 

1 Я

 

Й дг л Л dn

2------ Л <рг + 2 ш

 

= ~2~іІв ^Пе1 + Лі1)

 

(17)

 

Из ур. 16 нетрудно найти, что сумма л€1 + пи равна нулю. При этом из ур. 17 следует, что <рг = 0. Таким образом в критической точке с точностью до членов второго порядка малости вторая гар­моника потенциала не возбуждается.

При к= 3 ур. 15 принимает следующий вид

 

НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ КОНВЕКТИВНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ[10]

(25)

(26)

подпись: (25)
(26)

(32)

подпись: (32)

(33)

подпись: (33)

(34)

подпись: (34)

ЗГ>-

подпись: зг>-

Последние два члена в ур. 22 содержат лишь вторую гармонику по 0 и поэтому не дают вклада в условие разрешимости.

Введем обозначения =у(р)р, = <5с«(р)

Я выразим а>ь с помощью рав. 13. Это позволяет записать условия разрешимости в следующей форме

+ - Т<4*е8Л'с)-'<Ш + 7Г/*>г

Г-^-(р2М =0

Нетрудно видеть, что при р -*• 0 из ур. 25, 26 сле­дуют результаты линейного приближения, см. ур. 14

<5а> (0) + * У (О) = ±((о012)(-дХ1Хс)112 (27)

2 Рассмотрение механической модели

Прежде чем анализировать условия разреши­мости, исследуем простую механическую модель рассматриваемых колебаний. Рассмотрим дву­мерный, аксиально-симметричный осциллятор еди­ничной массы. Силу, действующую на него, будем считать консервативной и, вообще говоря, нели­нейной. Уравнение движения такого осциллятора может быть записано в виде

<а*/<т г = <* (г) (28)

Здесь <*(г) = е,<г(г), «(0) = 0, -1-г=е, ^ + е, г ;

Бг, е# — единичные вектора, направленные по радиусу — г и азимуту — 0. Расписывая векторное ур. 28 в компонентах, получаем

- г ((10/(10* = Я (Г) (29)

(а/а«) (г* а0/а«) = о (зо)

Уравнения 29, 30 полностью эквивалентны ур. 23,

.Г1 ЛЛ’ , 1 / с 2

24, если в последних заменить со02 — т "о I 7И

Х ^Х'^Х Р' Р - V на <г(г)-

Г и 0 соответственно.

Уравнение 30 выражает закон сохранения мо­мента количества движения осциллятора, из него следует, что М = гг <10/(1« = сопб1. Колебания осцил­лятора удобно классифицировать по угловой ско­рости и сохраняющемуся моменту.

А) М = 0. При этом с10/си = О и из ур. 29 полу­чаем

(12Г/(1^ = (?(Г) (31)

Это уравнение описывает колебания в консерва­тивной системе с потенциальной энергией?*(г)

Г

= —|(?(г)(1г. Движение осциллятора при задан -

In<o

Sh >0

D5 F

П(5?>0

U

1

1

D* F

U

V,

1

P

}

Л :

.u

! u

DOeV

/ P S

A p •

Рис. 1

Ной потенциальной энергии и (г) полностью опре­деляется начальными значениями г и dr/d«. Урав­нение 31 в силу консервативности системы до­пускает интеграл энергии:

-5-(dr/dO* + и (г) = Я

Уравнение 32 удобно для определения зависимости dr/d* от г. На рис. 1 приведены некоторые воз­можные типы зависимости потенциальной энер­гии от радиуса. Очевидно, что положение равно­весия г - 0 неустойчиво в системах с потенциальной энергией м4, мв. Системы с потенциальной энергией Mi. из устойчивы при любой амплитуде колебаний. Системы с потенциальной энергией и, метаста - бильны, поскольку колебания достаточно большой амплитуды будут раскачиваться. В системах с потенциальной энергией иг положение равновесия г=0 неустойчиво, однако амплитуда колебаний ограничена. Отметим, что в двух последних слу­чаях м2, м5 для суждения об устойчивости системы недостаточно рассмотрения бесконечно малых возмущений.

Б) Мф 0, d0/df = const. Из закона сохранения момента при этом получаем г = const и ур. 29 принимает следующий вид

-r(d0/d/)2 = C?(r)

Уравнение 33 является условием взаимной ком­пенсации центробежной силы и силы, стремя­щейся вернуть осциллятор к положению равно­весия. Очевидно, что такое движение возможно лишь когда Q(r)< 0, т. е. для систем с потенциаль­ной энергией ulf и3, а также при некоторых значе­ниях г в системах 2 и 5.

В) М Ф 0, ddjdt ф const. Используя ур. 30, ур. 29 принимает следующий вид

D2r/dl2 = Q (г) + J/2/r»

Уравнение 34 описывает колебания осциллятора при учете центробежной силы М-!г*. В случае М ф 0

Осциллятор нс может подойти к положению равно­весия г — О, т. к. центробежная сила при этом неограниченно возрастает. По этой причине коле­бания с М ф 0 не могут быть рассмотрены в линей­ном по г приближении. Из уравнения 34 нетрудно найти следующий интеграл энергии

(35)

подпись: (35)

(39)

подпись: (39)4- (dr/dl)2 + u (г) + M*lr* = Е

Отметим, что если М Ф 0, то устойчивость системы ухудшается, поскольку появляется добавочная цен­тробежная сила, стремящаяся удалить осциллятор от положения равновесия.

3

(40)

подпись: (40)Анализ условий разрешимости

Ввиду полной эквивалентности ур. 23, 24 и 29, 30 все результаты, полученные при исследовании движения осциллятора, могут быть перенесены на случай колебаний плазмы. При этом, как уже от­мечалось, координатам осциллятора г ив соот­ветствуют амплитуда колебаний р и их фаза у. Аналогом нелинейной силы является величина

Где Л =тШ!

X</2~^TZ>1' Очевидно, что эквивалентная потенциальная энергия при этом равна

"«■-••'[тж + Нт (3в)

Для определения величин у(р) = (1/р) dp/dfj и фco(p) =dy/df1 удобно использовать первые инте­гралы ур. 25, 26

Ю <*,

(38)

подпись: (38)0Ш = Jf/p*

Здесь постоянные интегрирования по аналогии со случаем колебаний осциллятора обозначены через Е и М. Ввиду обратимости движения каждому значению амплитуды р соответствуют две волны

— нарастающая и убывающая (различные знаки у).

Влияние нелинейности на развитие колебаний определяется знаком и величиной третьей произ­водной от плотности d3F|d(rг)*. (Отметим, что поскольку в реальных установках плотность спа­дает по радиусу, величина dF|d(r2) всегда отри­цательна).

Возможный вид эквивалентной потенциальной энергии для случаев различного знака d3F|d(r2):i и дХ изображен на рис. 1. Учет нелинейных эффектов особенно существенен в двух случаях (м2, м5), когда при исследовании колебаний с конечной амплиту­дой можно получить результаты прямо противо­положные тем, которые следуют из линейного рассмотрения.

Так, например, при <5ЛТ<0, d3 Fjd(r2)3 < 0

(-■Ий’<'•«»“)'

Когда линейная теория предсказывает устойчивость, колебания с достаточно большой амплитудой (р > р«шп) будут неустойчивы. Величина Ртт определяется при помощи ур. 37 из условия у(ртт) = 0. В том случае, когда постоянная инте­грирования М = 0, для рпип из ур. 37 получаем следующее простое выражение

Pmin2=-f {ФNIXJA-'

При дХ>0, diF|d(rг):i>0, когда положение равновесия г = 0 в линейной теории неустойчиво, амплитуда колебаний, развивающихся вследствие неустойчивЪсти, не может превысить

Pnux*=-i-(аNlNc)A-^

Эта величина определяется ИЗ условия w(pmax) = 0, поскольку в случае колебаний, как угодно близко подходящих к положению неустойчивого равно­весия р=0, у = 0, нужно положить Е=М = 0.

Стационарные колебания у = 0 возможны лишь в том случае, когда эффективная сила Q= — dujd р отрицательна. При этом частота дш равна

(Лео)* = - о>0* [(1/4) (SN/Nc) + Лр*] (41)

Настоящее рассмотрение произведено с точ­ностью до членов третьего порядка малости по 6NINC112. В приложении 1 показано, что при рассмотрении установившихся колебаний с посто­янной амплитудой р = const можно сравнительно просто учесть следующие члены разложения по малой амплитуде колебаний pocdNINcli*. Рас­смотрение только стационарных колебаний поз­воляет определить вид потенциальной энергии, которой, как мы видели, определяется развитие произвольных колебаний. Потенциальная энергия может быть найдена из условия равенства центро­бежной и возвращающей сил p(<5co)2=dw/dp.

В приложении 2 рассмотрен случай, когда коле­бания развиваются в присутствии постоянного электрического поля <р0 Ф 0, я,* Ф я*о. Показано, что с точностью до величин первого порядка малости по |(псо — riio)/(rico + nio)!<^ 1, полученные резуль­таты остаются в силе, если л0 повсюду заменить на (/ieo+nio)/2. Другими словами, устойчивость плазмы определяется суммарным числом частиц безотносительно к знаку их заряда. (Наличие при яеоФя4о постоянного электрического поля не оказывает заметного влияния на развитие коле­баний, если 4 тс ХМ с2/Н2<^ 1; см. также работу 2.)

Возможно, что с этим обстоятельством связан положительный потенциал плазмы, наблюдаю­щийся в установках по адиабатическому удержа­нию плазмы. Действительно, когда плотность ионов, задаваемая током инжекции, превысит критическое значение, плазма может самостабили - зироваться, выбрасывая электроны и заряжаясь положительно [8, 9. Обычно имеющиеся при этом регулярные колебания естественно ассоциировать с рассмотренными нами нелинейными решениями.

НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ

&

подпись: нелинейная теория
&
В настоящем рассмотрении мы пренебрегли эффектами, связанными с конечностью ларморов - ского радиуса ионов. В нашем случае, когда 4icNM с*/Я*^ 1, это приближение вполне оправ­дано [4]. Учет этого эффекта при 4tz NM с*/Нг<^ 1 привел бы к некоторой дополнительной стабили­зации.

Автор благодарен Б. Б. Кадомцеву за внимание к работе и полезные указания.

Приложение 1

Нелинейные стационарные колебания

Установившиеся колебания должны представ­лять бегущие по азимуту волны постоянной ампли­туды, когда все величины зависят лишь от 0— cut. Это обстоятельство позволяет записать уравнения непрерывности 1, 2 в следующем виде

+ <>•»

+ (1.2,

Так же как и в основном тексте, мы пользуемся системой координат, в которой ионы и электроны вращаются в противоположные стороны с рав­ными угловыми скоростями Ш0/2.

Очевидно, что ур. 1.1 и 1.2 удовлетворяют Пе и *4, являющиеся произвольными функциями от <р - (Я/2 с) (ш - Ш./2) Г* и <р-(Я/2 с) (ш + ш0/2) г* соответственно

Пс — Пе [г2 — (2с/Я) (со — Шо/2)“1 <р] (1.3)

Wi = wi [г* — (2с/Я) (ш + шо/2)“1 <р] (1.4)

Такие решения описывают колебания линий

Уровня плотности в поле волны.

Подставляя выражения для плотности электро­нов и ионов в уравнение Пуассона, получаем одно нелинейное уравнение для определения <р

А<р = 4ize {ne[r* — (2с/Я) (ш — ш0/2)-1 <р]

— щ[гг — (2с1Н)(а) + ш012)-1<р]} (1.5)

Рассмотрим случай, когда колебания проис­ходят на нейтральном фоне — постоянная состав­ляющая потенциала — <р0 равна нулю. При этом, как следует из ур. 1.5, должно выполняться соотно­шение n«(r*) = ni(r2)= п(г*). Разложим яе и щ в ур. 1.5 в ряд по отношению (Л г/г)2, где (Arfjr ос(cJrH) ш0~1 <р — перемещение заряженных частиц из-за дрейфа в поле волны

Оо

А<р = 4п [(" - шо/2)'к

Jt-0

- (ш + ш0/2)-Ч ( - 2схр1Н)к (Ijkl) (1.6)

Уравнение нулевого приближения, когда из всей суммы оставляется лишь член с к** 0, удовлетво­ряется автоматически в силу выбора (ро = 0, пс = п.

В первом приближении по <р получаем ур. 11, где теперь со должно считаться действительным

А<рх+±ъе{2с (oJH) (со*-------- <о02) xV[dJT/d(r)[*9?1=0

(1.7)

Интересно отметить, что в случае параболического распределения невозмущенной плотности я (г*) (устойчивость такого распределения рассматри­валась в линейном приближении в работе 1) все члены, кроме первого, в разложении ур. 1.6 выпа­дают, и поэтому уравнение линейного прибли­жения 7 справедливо при рассмотрении ста­ционарных колебаний произвольной амплитуды.

Мы ограничились рассмотрением наиболее ин­тересной первой гармоники я» = 1. Стационарные колебания бесконечно-малой амплитуды, которые описываются ур. 1.7, возможны лишь, если N<NC см. ур. 13. При N=NC их частота равна нулю. Вблизи от критической точки, т. е. npnN=Nc + dN, |<5iVj<^Arc, оставляя в ур. 1.6 члены третьего порядка малости (члены второго порядка выпа­дают), получаем

Л л ®с | цг &F а 8 с (., 7 d. F

Асръ— 4тсе <рг = 4тсе - д-рт<рх

. / <5ш &F. 8 .(el„ d*F.

+ ( а,, ) *Nc d(r*) + з ( Я ) d(r*)*

8«5а> с хт d*F Л..

+ ш* Я Nc d(r*)‘ V' } (L8)

Это уравнение совпадает с ур. 20, 22, где в случае стационарных колебаний =дсо tlt djdtx

= дш д/дд. Как следует из ур. 1.8, амплитуда вто­рой гармоники по азимуту пропорциональна бCDCpj*, т. е. является величиной третьего порядка малости по |SNjNcl11*.

Условие разрешимости ур. 1.8 имеет следующий вид

<гШ)* = -

.2 J с 2/ d*F 4 / dF м

+ 3 ( Я ) d(г*)5 V' / r. e d(rJ) (1Л>)

Стационарные колебания возможны, когда выра­жение, стоящее в правой части, положительно (эффективная сила, см. ур. 41, отрицательна)

<Э(р)= — (дш)гр=ш0г 4- А рг^р < 0, здесь как

И в основном тексте обозначено <рх = р / (г) cos

(Е+ш),А=.

Отметим, что хотя стационарные колебания воз­можны лишь при таких значениях амплитуды р% когда эффективная сила Q(p) стремится уменьшить отклонение от положения равновесия, выражение для силы, полученное в этом случае, ввиду его аналитичности, можно использовать при рассмо­трении колебаний с произвольной амплитудой.

Так, например, оставляя в ур. 1.6 члены пятого порядка по />ocj<5iV/2Vc!1/2, получаем следующий добавок к эффективной силе Q(p)

ПНР) = P/flt,^)X‘,{^rP"’°,(p)

- 1в(тг)* OW'Cw ’’•‘X.

+ -&(-гГ“*-<^г <>,..} ,110)

D(r«)

подпись: d(r«)Здесь через <Рз=<Рз, з+ <Рі, г обозначено решение неоднородного ур. 1,10, в котором <р3гЛ пропорцио­нально сое 3 (0 + <5 ш*), а <рл>,=дш <р3г,+ содержит вторую гармонику и часть, не зависящую от ази­мута.

І Пряложеше 2

Колебания плазмы в присутствии

ПОСТОЯННОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО поля

Рассмотрим теперь случай, когда колебания развиваются в присутствии постоянного электри­ческого поля <р0, ПРИ этом пео Ф піо. Потенциал <р0 определяется невозмущенным уравнением Пуас­сона:

Лд?0/4тсе = Псо — п,-о (2.1)

Основные уравнения для возмущений потен­циала — <р, плотности электронов — 71«, плотности ионов — пі удобно Записать в следующем виде

(2.2) -4-V».

подпись: (2.2) -4-v».Л д?/4тсе — пс — щ

Dri^o ё<р

Г 0 I ш0 2с d<p„ ц 1 2с

D(r») дв Я

подпись: d(r») дв яГгГ + Т" " ~Н d(r*j/"00 J ”с ■ ~Н

(2.3)

TOC o "1-5" h z [ д ( со„ 2с d<р0 д 2с dnio д<р с Т, _

[~0Г + ~1Г + Я d(г*)/ 06jni" Я d(г*) 06 ~~Н * Щ

(2.4)

_ Т, {д<р д &Р д ^

Здесь по-прежнему Ьр = 7 ^ В ур.

2.2,2.3 отделены линейные по возмущениям члены. Введем для удобства обозначения

D<Р0

подпись: d<р0Ё д I / "о I 2с 5

d(r») /"06

0_______ 0 . / а>„ I 2с D??e 0

~ ~di + Г + ~н ~d(^)l~de

Действуя на ур. 2.2 произведением операторов (д/ди) {d/dti) и используя ур. 2.3, 2.4, получаем следующее уравнение для определения <р

£8у dn, o 0fe 00 d(r)[12]

1

А<р+ 2

подпись: а<р+ 2Я с*

Drteo 0 т ' 5 Г /о - ч

- г/, r« dM _ ct. L* П,_ Ж ” (-0)

Где «с и ні в нелинейных членах правой части

Определяются ур. 2.3. 2.4.

С-7

подпись: с-74-е с ctc С(,

В линейном приближении возмущение <р можно выбрать в виде <рх= р / (г) е-‘“, + ‘в (мы рассматри­ваем первую гармонику по в). При этом

TOC o "1-5" h z с с с _ / <ов 2г а<г* ^

0* ~ ш дв • дь~ ш 2 Я Фг») / 00 *

Ё _ / _ ^ , 2с_ Эу, ё

0* “ 2 Я 0(г*) / 00

Отбрасывая в ур. 2.5 нелинейные члены и инте­грируя его дважды по 0, получаем

+ J2L*0ц'2I'w,(n^+ni4)

P-rfl+r-k d_ d(r*)

«О* «??„)«>,.. + 94. А 9»У''

+4пе £<(-3^ <«*>-*.)

( 4с / с1п„ , ЬИХ

■ ~ ~н ш,(7=7У™

+ <('Ш7'т) »’«•^«•Х.,

+ 4пеКф) а^Т <"*• - п*,) ’’■•‘Х..}= 0

(2.9)

Из ур. 2.9 нетрудно видеть, что изменение крити­ческого значения плотности числа частиц £2^ является малой величиной порядка а1, а для критической частоты получаем следующее выра­жение

Шс=_ Л. Х.

+ 4тсе<^>101-а— (жо— "«^Х.,} *2 101

Дальнейшее рассмотрение будем производить с точностью до членов первого порядка по а, пренебрегая изменением критической плотности и <рп, но учитывая определяемую из ур. 2.10 частоту сое©«*.

Нелинейные ур. 2.3—2.5 нетрудно представить в виде, аналогичном ур. 15, 16

Дп, д*<рк

Г / , *< df. г

Здесь обозначено - щ = | - ше + - g - .

Для <рх из ур. 2.11 получаем уже рассмотренное нами ур. 2.6 (члены квадратичные по * в 2.11, 2.12 опущены). Оставляя в ур. 2.11 члены второго порядка малости, получаем

1 Я, с - t 0 dn„ 0*<Fj 4-е 4c °J° с‘0г J° d(rJ) с0*

1 Н t г» л, 9 dп. д*<рк

4 т: е 4с W° 06* ^k+ 0 d(r*) 06*

2 Я 1 0 V 0 л

~ с 4 “ е dt92*dtp У*

1 Я V b Л

- тгг ~2ж Vm

Г(я=<|

Г» <K^y("e0_"i<>)^ TьlLL*'d'fm

+ 2 dpy (n*° ~ "io)2

P-r<I”k

Я а. , i я 0 .

2^-tUo-gj - (Ие, + П|,) —

4 гг е с Z 0*р 0^

Как следует из ур. 2.16, сумма п*г + пг отличается лишь на члены порядка к2 от соответствующей величины в нейтральном случае.

Таким образом условие разрешимости ур. 2.15 с точностью до членов порядка * совпадает с ур. 22. При этом необходимо учесть выражение для критической частоты у р. 2.10.

Из ур. 2.13, 2.14 следует, что при наличии постоян­ного электрического поля в критической точке возбуждается также и вторая гармоника <рг<х&р*, аос(п«о — п4о)/пв, р — амплитуда первой гармоники.

Условие разрешимости у р. 2.13, как следует из ур. 2.10, выполняется автоматически.

Оставляя в ур. 2.11 члены третьего порядка по р, получаем следующее уравнение для определения <рл

1 Н г д* а, о <*по д%9>9

4тге 4с Ш° 00* + d(r*) 00*

Н 8 / . 1 (Яс1+ла) = -^

+ 2 (Псв~л*) "гв -

Здесь учтено, что + пи пропорциональны

А, и опущены члены, содержащие а*. Для суммы Пе 2 + яц из ур. 2.12 имеем следующее выражение

1

2^9>.

4-е 0<,

P + 4-k

0

-тгг V4’’1

- 1

1 я

Л?!

4^е С 0<д 0<,

4т е

1 2 Я 0

ТЛ<Р

Ct

Где сумма п«| + ни определяется из ур. 2.12

Я 0

 

0t,

 

(2.14)

 

НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ КОНВЕКТИВНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ[10]

(2.15)

 

Л.

 

4^-"г ir +2 dk -1т

 

НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ КОНВЕКТИВНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ[10]

P+q-k

НГ 0 0

 

(2.16)

 

НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ КОНВЕКТИВНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ[10]

P + 4-rr-k

0

 

P-«—k

 

(2.11)

 

+ 2Ъ<

 

I+m-4

 

(2.12)

 

_____________ 1 2Н _с_ с

4-е с cta ctx У1

 

4-е

 

(2.13) (Рукопись получена 4 августа 1964 г.)

УДК им

ФИЗИКА ПЛАЗМЫ

О ДИСПЕРСИОННОМ СООТНОШЕНИИ КОЛЕБАНИЙ ЗАМАГНИЧЕННОЙ ПЛАЗМЫ (Методическая заметка)

ОБРАЗОВАНИЕ ГОРЯЧИХ ЭЛЕКТРОНОВ В ОТКРЫТЫХ ЛОВУШКАХ ПРИ ЭЦР НАГРЕВЕ С ПРОДОЛЬНЫМ ВВОДОМ СВЧ МОЩНОСТИ

Приведены результаты экспериментального изучения популяции го­рячих ллехтронов. образующейся при ЛДР нагреве плазмы в установке О ГР А-*. Разработана теоретическая модель, согласованным образом опи­сывающая динамику горячих электронов и распространение электромаг­нитных колебании …

О ВЧ СТАБИЛИЗАЦИИ ЖЕЛОБКОВОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ

Взаимодействие низкочастотных желобковых колебании и высоко­частотных учитывается через изменение частоты и)вч при развитии же­лобковых возмущений. В силу постоянства адиабатического инвариан­та ВЧ колебаний И'вч/швч вариации (оВч вызывают изменения 1Увч. Учет этого …

Как с нами связаться:

Украина:
г.Александрия
тел./факс +38 05235  77193 Бухгалтерия
+38 050 512 11 94 — гл. инженер-менеджер (продажи всего оборудования)

+38 050 457 13 30 — Рашид - продажи новинок
e-mail: msd@msd.com.ua
Схема проезда к производственному офису:
Схема проезда к МСД

Оперативная связь

Укажите свой телефон или адрес эл. почты — наш менеджер перезвонит Вам в удобное для Вас время.