Физическая оптика

Нелинейная оптика

Основные эффекты нелинейной оптики. Механизмы оптической нелинейно­сти. Нарушение принципа суперпозиции для сильных световых волн в среде. Материальное уравнение нелинейной среды. Нелинейная поляризация. Нели­нейная восприимчивость. Классическая модель нелинейной среды — ансамбль нелинейных осцилляторов. Оптическое детектирование.

Лекция посвящена физике взаимодействия мощного лазерного излучения с веществом. Рассматриваются основные эффекты нелинейной оптики, излага­ются основы теории, обсуждаются применения нелинейно-оптических явлений.

Основные эффекты нелинейной оптики. Механизмы оптической нелинейности. Нелинейная оптика изучает процессы взаимодействия света и вещества, характер протекания которых зависит от интенсивности света. Это такие явления, как генерация оптических гармоник, “выпрямление” света, вы­нужденное рассеяние света, самофокусировка световых пучков и самомодуля - ция импульсов, двухфотонное или многофотонное поглощение света, оптиче­ский пробой среды и т. п. Рассмотрим некоторые из этих явлений.

Генерация второй оптической гармоники. Это явление состо­ит в удвоении частоты света при распространении мощного лазерного пучка в кристалле. Механизм процесса связан с нелинейностью элементарного атомно­го осциллятора.

Удвоение частоты света в кристалле было первым нелинейно-оптическим эффектом, обнаруженным вскоре после создания лазера. Схема опыта Франке - на, в котором наблюдался этот эффект, показана на рис. 22.1. Излучение руби­нового лазера, имеющее длину волны Ai = 6943 А, фокусировалось в кристалл кварца. Излучение, выходящее из кристалла, разворачивалось в спектр с помо­щью дисперсионной призмы и фокусировалось на фотопластинку. Опыт пока­зал, что помимо света на частоте лазера из кристалла выходит свет на удвоен­ной частоте (“вторая гармоника”), имеющий длину волны = Ai/2 = 3471,5 А. Несмотря на то, что излучение второй гармоники в опыте Франкена было чрез­вычайно слабым, этот опыт сыграл принципиальную роль, положив начало развитию нелинейной оптики.

Последующие опыты показали, что при использовании других кристаллов эффективность генерации второй гармоники может быть резко повышена. К на­стоящему времени разработаны методы, позволяющие преобразовывать в гар­монику значительную долю лазерного излучения; в некоторых случаях удается получить КПД генерации близкий к 100%.

На лекции демонстрируется генерация второй гармоники излучения неоди­мового лазера в кристалле ниобата лития или KDP. Схема опыта подобна по­казанной на рис. 22.1. Лазерное излучение имеет длину волны 1,06 мкм, вторая гармоника — 0,53 мкм. На белом экране в затемненной аудитории наблюдают­ся яркие вспышки зеленого цвета (вторая гармоника). Эффективность генера­ции гармоники в этом опыте превышает 10%. Опыт показывает, что мощность гармоники максимальна при некотором определенном положении кристалла. Поворот кристалла относительно этого положения резко уменьшает эффектив­ность генерации. Следует отметить также, что гармоника генерируется лишь

Фокусирующая

линза

Призма и собирающие линзы

Фотопластинка

Рис. 22.1. Схема опыта Франкена по генерации второй оптической гармоники

Рубиновый лазер

при достаточно высокой интенсивности лазерного излучения, достигаемой за счет фокусировки лазерного пучка в кристалл.

Генерация второй оптической гармоники была впервые продемонстрирована в 1961 г. В настоящее время этот эффект широко применяется для преобразо­вания частоты лазерного излучения.

Вынужденное комбинационное р ас сеяние света. Этот эффект состоит в том, что в поле мощного лазерного пучка среда генерирует интенсив­ное излучение, сдвинутое по частоте относительно лазера на величину, равную частоте молекулярных колебаний. Механизм процесса тот же, что при спон­танном рассеянии — модуляции света молекулярными колебаниями. Однако в отличие от спонтанного рассеяния, которое является очень слабым и направле­но во все стороны, вынужденное рассеяние напоминает лазерную генерацию. Мощность и направленность вынужденного рассеяния соизмеримы с анало­гичными параметрами лазерного пучка. Причина этого состоит в том, что вы­нужденное рассеяние происходит не на хаотических тепловых молекулярных колебаниях, а на колебаниях, возбужденных и сфазированных светом в боль­шом объеме среды. Переход спонтанного рассеяния в вынужденное происходит при превышении интенсивностью возбуждающего света некоторой определен­ной величины, называемой порогом ВКР.

Впервые вынужденное комбинационное рассеяние наблюдали Вудбери и Нг (1962) при изучении режима модуляции добротности рубинового лазера с по­мощью керровской ячейки с нитробензолом. Они обнаружили появление в из­лучении лазера инфракрасной компоненты, частота которой была на 1345 см-1 меньше частоты основного излучения лазера. Поскольку частотный сдвиг со­впадал с одной из собственных частот колебаний молекулы нитробензола, было высказано предположение, что появление инфракрасной компоненты связано с комбинационным рассеянием света в нитробензоле, а большая интенсивность излучения обусловлена вынужденным характером процесса, при котором моле­кулярные колебания сильно раскачиваются светом. Это предположение было подтверждено в последующих опытах с различными жидкостями, а также с газами и твердыми телами.

На лекции демонстрируется вынужденное комбинационное рассеяние света в жидком азоте. Схема опыта показана на рис. 22.2. Излучение второй гармо­ники неодимового лазера с длиной волны 0,53 мкм фокусируется в кювету с жидким азотом. Излучение, выходящее из кюветы, через призму направляется на экран. Во время лазерного импульса на экране появляются пятна зеленого и оранжевого цвета. Зеленое пятно соответствует второй гармонике лазера, а оранжевое пятно — излучению вынужденного комбинационного рассеяния с

Рис. 22.2. Демонстрация вынужденного комбинационного рассеяния света в жидком азоте

длиной волны 0,61 мкм. Частотный сдвиг между этими волнами равен частоте молекулярных колебаний в жидком азоте и составляет 2326 см-1. Опыт по­казывает, что вынужденное комбинационное рассеяние наблюдается лишь при достаточно высокой интенсивности света, достигаемой с помощью фокусировки пучка в кювету. В отличие от процесса спонтанного комбинационного рассея­ния, характеризуемого очень малой интенсивностью, вынужденное рассеяние имеет высокую интенсивность, соизмеримую с интенсивностью лазерного луча. Это обстоятельство позволяет создавать эффективные преобразователи лазер­ного излучения на основе процесса ВКР. В настоящее время такие преобразо­ватели используются как для преобразования частоты излучения, так и для улучшения пространственной когерентности света, а также для компрессии (со­кращения длительности и увеличения мощности) лазерных импульсов. Кроме того, на основе процесса ВКР можно осуществлять когерентное суммирование излучений нескольких лазерных модулей.

Возбуждение когерентных молекулярных колебаний с помощью пары све­товых волн (метод бигармонической накачки) используется в спектроскопии когерентного антистоксова рассеяния света (КАРС).

Самофокусировка света. Эффект состоит в том, что в поле мощного лазерного пучка среда приобретает фокусирующие (линзовые) свойства. В ре­зультате световой пучок “схлопывается”, превращаясь в тонкую светящуюся нить, или распадается на несколько таких нитей.

Механизм самофокусировки связан с изменением показателя преломления среды под действием мощной световой волны. Причины этого могут быть раз­ными. Например, электрострикция в световом поле приводит к появлению да­вления, изменяющего плотность среды в области, занятой световым пучком, а следовательно, и показатель преломления среды. В жидкости сильное свето­вое поле приводит к ориентации анизотропно поляризующихся молекул за счет взаимодействия света с наведенным дипольным моментом, при этом среда ста­новится анизотропной, а средний показатель преломления для ориентирующего поля возрастает. Этот эффект принято называть высокочастотным эффектом Керра; изменение показателя преломления здесь, как и в хорошо известном статическом эффекте Керра, происходит за счет “выстраивания” молекул по полю. Зависящая от интенсивности световой волны добавка к показателю пре­ломления может быть связала также с нелинейностью электронной поляриза­ции. Наконец, изменение плотности, а следовательно и показателя преломле­ния, может быть связано с нагревом среды, вызванным диссипацией энергии мощной световой волны.

Самофокусировка света была теоретически предсказана Аскарьяном в 1962 г., а экспериментально впервые наблюдалась Пилипецким и Рустамовым в 1965 г. В их опытах были фотографически зарегистрированы узкие светя­щиеся нити в органических жидкостях, облучаемых сфокусированным пучком рубинового лазера.

а) б) в)

Рис. 22.3. Самофокусировка света в толуоле [4]

На рис. 22.3 показана фотография одномодового лазерного пучка на вы­ходном окне кюветы с толуолом при различных длинах кюветы. Рис. 22.3, а соответствует короткой кювете, в которой пучок не успел сфокусироваться (диаметр пучка 700 мкм). На рис. 22.3,6 длина кюветы близка к длине са­мофокусировки, диаметр пучка составляет примерно одну десятую от перво­начального значения (50 мкм). На рис. 22.3, в длина кюветы достаточна для наступления самофокусировки, пучок имеет вид нити с предельным значением диаметра 10 мкм. На рис. 22.4 показана фотография испытавшего самофоку­сировку многомодового лазерного пучка на выходном окне кюветы с сероугле­родом.

На лекции демонстрируется тепловое самовоздействие излучения аргоново­го лазера в слабопоглощающей жидкости. Схема опыта показана на рис. 22.5. Лазерный луч проходит через кювету, заполненную спиртом, и направляется на экран. Для увеличения эффекта в спирт добавляют поглощающий лазер­ный свет краситель, например фуксин. В режиме малой мощности лазера на экране наблюдается пятно, размер которого определяется обычной дифракци­онной расходимостью лазерного пучка. При переключении лазера на полную мощность расходимость пучка и размер пятна на экране резко возрастают, что обусловлено действием тепловой (в данном случае дефокусирующей) линзы, наведенной в жидкости лазерным пучком. Самодефокусировка света вызва­на тем, что поглощающая свет жидкость сильнее нагревается вблизи оси ла­зерного пучка, где интенсивность света максимальна. Нагревание приводит к

4 -

д

Рис. 22.5. Демонстрация тепловой самодефокусировки света в жидкости

тепловому расширению жидкости, уменьшению ее плотности и показателя пре­ломления и, в конечном счете, формирует тепловую дефокусирующую линзу, увеличивающую угловую расходимость лазерного пучка. Механизм эффекта поясняет рис. 22.6.

Те же самые механизмы обусловливают и другой эффект нелинейного само - воздействия света — самомодуляцию светового импульса. При самомодуляции импульса, которая может происходить, например, в оптическом волокне, резко расширяется частотный спектр импульса, что дает возможность путем после­дующей компрессии получать предельно короткие световые импульсы. Данный эффект используется в системах генерации фемтосекундных лазерных импуль­сов.

Нелинейный материал, помещенный в оптический резонатор, демонстриру­ет свойства бистабильного элемента и может быть использован как элемент оптического компьютера (см. рис. 8.7). Нелинейный элемент в системе с дву­мерной обратной связью позволяет генерировать структуры светового поля ти­па спиральных волн, вращающихся волн, а также наблюдать “оптическую тур­булентность” . Адаптивные нелинейно-оптические системы используют в насто­ящее время для моделирования динамики нейронных сетей (рис. 22.7, 22.8, см. также дополнение 17). Краткая сводка основных эффектов нелинейной опти-

Рис. 22.6. Механизм тепловой самофокусировки света в слабопоглощающей свет жид­кости: г — координата в поперечном сечении светового пучка, I — интенсивность света, Т — температура среды, р — плотность среды, п — показатель преломления среды

Таблица 22.1 Основные эффекты нелинейной оптики и их применение

Эффект

Материал

Механизм

Применение

Генерация оптических гармоник. Параметри­ческая гене­рация света.

Кристаллы, по­лупроводники, инертные газы, пары металлов.

Нелинейность атомного осцил­лятора.

Преобразование частоты лазерного излучения. Плавная перестройка ча­стоты лазера. Генерация когерентного излучения в ИК, УФ и рентгеновском диапазонах. Визуализация ИК изображения. Диагно­стика поверхности полу­проводников.

Вынужден­ное рассея­ние света.

Газы, жидкости, кристаллы, па­ры металлов, оптическое во­локно.

Нелинейность атомного или молекулярного осцияллятора. Рассеяние света на электронных, молекулярных, звуковых или других коле­баниях. Возбуж­дение колебаний среды световы­ми волнами.

Преобразование частоты лазерного излучения. Компрессия лазерных им­пульсов. Обращение вол­нового фронта излучения. Коррекция волнового фронта. Улучшение про­странственной когерент­ности лазеров. Когерент­ное суммирование излуче­ния нескольких лазерных модулей. Нелинейная спе­ктроскопия, в частности, спектроскопия когерент­ного антистоксова рассе­яния света (КАРС).

Самовоздей - ствие света.

Жидкости, га­зы, кристаллы, жидкие кри­сталлы, опти­ческое волокно.

Нелинейность атомного осцил­лятора. Ориен­тация анизо­тропных моле­кул световой волной. Элек - трострикция. Нагрев среды.

Самомодуляция световых импульсов. Генерация фемтосекундных лазер­ных импульсов. Биста­бильные оптические эле­менты. Элементы оптиче­ского компьютера. Моде­лирование нейронных се­тей.

ки и их применений дана в табл. 22.1. Отметим, что нелинейная оптика, про­шедшая уже почти 40-летний путь развития, продолжает прогрессировать, а область ее приложений непрерывно растет.

Нарушение принципа суперпозиции для сильных световых волн в среде. При всем многообразии нелинейно-оптических явлений можно выде­лить некоторые общие черты, присущие каждому из них. Во-первых, это силь­ная зависимость от интенсивности света. Как правило, нелинейно-оптический эффект становится заметным лишь при достаточно большой интенсивности све­та. Не случайно поэтому, что нелинейная оптика появилась лишь после созда­ния лазера. Нелинейная оптика — это оптика сильных световых полей, оптика мощных лазерных пучков. Во-вторых, для нелинейных эффектов характер­но нарушение принципа суперпозиции. Принцип суперпозиции состоит в том,

Нелинейная среда

=>

«г

Z

Преобразование поля

ЧЕХ

Нелокальность связей

Рис. 22.7. Нелинейный резонатор с двумерной обратной связью

что различные световые волны, отличающиеся частотой, направлением рас­пространения, поляризацией, распространяются и взаимодействуют со средой независимо друг от друга. В нелинейной оптике это не так. Как мы видели, в нелинейно-оптических процессах возникают новые спектральные компонен­ты поля, различные световые волны сильно взаимодействуют между собой, происходит энергообмен между ними вплоть до полного преобразования одной волны в другую. Типичный пример такого рода — генерация второй оптиче­ской гармоники. Итак, в нелинейно-оптических процессах мы сталкиваемся с нарушением принципа суперпозиции. Можно сделать и обратное утверждение: нарушение принципа суперпозиции так или иначе связано с нелинейным эф­фектом.

Материальное уравнение нелинейной среды. Теория нелинейно-оп­тических явлений строится на основе материальных уравнений и уравнений Максвелла. Уравнения Максвелла для диэлектрической нейтральной немаг­нитной среды имеют вид

- 1 дН

ME = - cST'

ldD

rot Н = ,

с dt ’

div. D = 0, div Я = О,

где

D = Е + 4ігР.

Из уравнений Максвелла вытекает волновое уравнение

(22.1)

1 д2Ё 4тг 82Р

dt2 '

rot rot Е +

с2 dt2

которое в случае изотропной среды принимает вид

1 d2i 4тг d2P

Рис. 22.8. Структуры светового поля, наблюдаемые в нелинейном резонаторе с дву­мерной обратной связью: вращающиеся волны (оптические ревербераторы) (а, б), спиральные волны (в, г) (случаю г соответствует меньший коэффициент диффузии), сосуществование структур (д), оптическая турбулентность (е) [14]

В уравнениях (22.1), (22.2) Ё — напряженность электрического поля свето­вой волны, Р — поляризация среды. Уравнения (22.1) и (22.2) справедливы в равной мере как для линейных, так и для нелинейных сред. Согласно этим уравнениям, поляризация среды есть источник светового поля.

Поляризация среды, в свою очередь, возникает под действием падающей световой волны. Наведение поляризации световым полем описывается матери­альным уравнением

Р = Р(Ё),

которое отражает структуру и свойства среды. Простейшее материальное урав­нение нелинейной среды имеет вид

Р = хЕ + х(2)Я2 + Х(3)Я3 + • • ■ • (22.3)

Согласно этому уравнению поляризация среды есть нелинейная функция на­пряженности светового поля. С математической точки зрения именно это обсто­ятельство (нелинейность материального уравнения) является причиной нару­шения принципа суперпозиции для световых волн в нелинейной среде. Из урав­нений (22.1)-(22.3) непосредственно вытекает возможность генерации оптиче­ских гармоник и других нелинейно-оптических эффектов. Заметим, что отно­

сительная величина нелинейных слагаемых в (22.3) возрастает с увеличением напряженности светового поля, т. е. с увеличением интенсивности световой вол­ны. Это объясняет тот факт, что нелинейные эффекты наблюдаются прежде всего в сильных световых ПОЛЯХ.

Коэффициенты х, 5 х(3)> ■ • ■ зависят от свойств среды и называются оптическими восприимчивостями. В частности, а— линейная оптическая вос­приимчивость, х^ — нелинейная восприимчивость второго порядка, х^ — нелинейная восприимчивость третьего порядка и т. д.

Нелинейная поляризация. Часть поляризации среды, нелинейно завися­щая от напряженности светового поля, называется нелинейной поляризацией. Выделяя в поляризации среды линейную и нелинейную компоненты, можно записать:

Р = Рл + Р„л. (22.4)

Подставив (22.4) в (22.1), (22.2), получим волновые уравнения в форме

х А ft 1 д2Ё 4тг д2Р„ 4тг 92РМ

° + с2 dt2 + с2 dt2 ~ с2 dt2 ( )

для нелинейной анизотропной среды и

с2 dt2 с2 dt2 ~ с2 dt2 ( )

для нелинейной изотропной среды. Из (22.3)-(22.6) видно, что нелинейная по­ляризация среды является источником новых спектральных компонент поля (оптических гармоник, комбинационных частот и т. п.).

Материальное уравнение вида (22.3) описывает изотропную нелинейную среду с безынерционным локальным откликом на световое поле. Аналогичное уравнение для анизотропной нелинейной диспергирующей среды имеет вид

ОО

Pa(t) = J ха0(т)Е0Ц - т) dr +

о

ОО ОО

+ 11 Т2)Е^1 ~ Т1)Ет(* ~ ъ) dn dr2

О о оо оо оо

+111 X<a^s(-Tl, Г2,Т3) X

х E0{t - n)Ey(t - T2)Es{t - т3) dn dr2 dr3 -1------------------------------------- .--------------------- (22.7)

Здесь индексы a, 0, 7, • • • пробегают значения, нумерующие декартовы оси ко­ординат. По повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Функ­ции
имеют смысл тензорных функций Грина, характеризующих линейный и нели­нейный отклик среды на импульсное воздействие.

Для сред с нелокальным откликом функции Грина зависят не только от времени, но и от координат:

ХаР = Хар(т;г), Ха0у = Ха0у(П, Т2;ГиГ2)

и т. д. В этом случае в материальное уравнение (22.7) следует добавить ин­тегрирование по пространственным переменным. Учет нелокальное™ важен в тех случаях, когда элементарные осцилляторы среды, расположенные в раз­личных точках пространства, связаны и взаимодействуют между собой. Среды, обладающие таким свойством, называют средами с пространственной диспе­рсией. К их числу относятся некоторые типы кристаллов, а также плазма.

Нелинейная восприимчивость. Материальное уравнение (22.7) предста­вляет собой обобщение уравнения (21.19) на случай нелинейной среды. Обобщая формулу (21.206)

ОО

хар(ш) = J ха/з(т)е~ШТ<1т, (22.8)

о

определяющую линейную оптическую восприимчивость хар(ю), введем нели­нейные восприимчивости среды

/ / х$7(н

оо оо

, Т2) ехр H(u>iTi + ш2т2) dndT2,

^Ц, ш2) =

о о

оо оо оо

Xahsfa’bb’V*) = f J f xS7i(rbT2,T3) X

ООО

x exp [—i(wiTi + lj2t2 + W3T3)] dTidT2dT3 (22.9)

и т. д. Аналогичные величины для сред с пространственной дисперсией зависят не только от частот, но и от волновых векторов к, к, к2 и т. д. Заметим, что восприимчивости среды, определенные формулами (22.8), (22.9), имеют ту же размерность, что и восприимчивости в формуле (22.3).

Зависящий от интенсивности света показатель преломле­ния. Обычно в изотропных нелинейных средах низшей нелинейностью, отлич­ной от нуля, является кубичная нелинейность. В приближении безынерцион­ного отклика материальное уравнение такой среды имеет вид

Р = хЕ + х(3)Е3. (22.10)

В этом же приближении показатель преломления среды п определяется фор­мулами D = Е + 4жР ■ єЕ = п2Е, откуда

гг = у'і + 4ir Р/Е. (22.11)

(22.13)

(22.12)

п = п0 Н х(Ъ)Е

По

где

по = у1 + 4ях.

(22.14)

Выразим квадрат напряженности электрического поля через интенсивность I световой волны. Пользуясь формулой I = сЕ2/8тт, получим

п — По + п2І,

где

(22.15)

здесь по — линейный показатель преломления среды, с — скорость света.

Формула (22.14) показывает, что в средах с кубичной нелинейностью по­казатель преломления зависит от интенсивности света. Этот эффект приво­дит к самовоздействию световых волн, в частности, к таким эффектам как самофокусировка светового пучка, фазовая самомодуляция импульса, биста­бильность резонатора, заполненного нелинейной средой и т. п. Величина п2, имеющая размерность обратной интенсивности света, является удобной харак­теристикой кубичной нелинейности среды. Например, для кристалла кварца п2 = 3 х 10"16 см2/Вт.

Конкретный механизм, приводящий к нелинейности типа (22.14), может быть связан, например, с поворотом анизотропных молекул жидкости в поле мощной поляризованной световой волны. Поскольку такой же механизм лежит в основе двойного лучепреломления света, наведенного постоянным электриче­ским полем (“эффект Керра”), зависимость показателя преломления от интен­сивности света называют высокочастотным эффектом Керра, а нелинейность (22.14) — нелинейностью керровского типа.

(22.16)

Оценки. Оценим линейную и нелинейные оптические восприимчивости среды, например кристалла. Линейная оптическая восприимчивость х связана с показателем преломления среды п формулой п2 = 1+47гх. Типичное значение показателя преломления для кристалла составляет п = 1,5. Исходя их этой цифры, получаем оценку

х = 0,1.

Для оценки квадратичной восприимчивости х^ воспользуемся материальным уравнением (22.3). Согласно этому уравнению, размерность х(2' определяется формулой НА

(22.17)

Х(2) = х/Е.

Воспользуемся формулой (22.17) для количественной оценки. Поскольку вос­приимчивость есть характеристика вещества, в качестве напряженности элек­трического поля Е в (22.17) следует подставить некоторую величину, характер­ную для среды. Характерным масштабом поля в среде является напряженность внутриатомного электрического поля, которую можно оценить по формуле

Таблица 22.2

Нелинейно-оптические восприимчивости третьего порядка [31]

Материал

П2, см2/Вт

см3/эрг

Т, к

Примечания

CS2

3 х 1(Г14

ИГ12

300

Нерезонансная

Кварц

3 х 10~16

10"14

300

Нерезонансная

Si

Ю-10

м-8

300

Нерезонансная

Ориентированная

ЖК

1(Г4

кг3

300

мезофаза НЖК,

очень медленная

(секунды)

InSb

3 х 10_3

1

77

Резонансное

усиление

Резонансное

AlGaAs

2 х 10~4

6 х 1(Г2

300

усиление,

к вантово-размер­ные структуры

где е — заряд электрона, а — размер атома. Полагая е = 4,8 х 10 10 СГСЭ, а = 0,5 х 10“8 см (боровский радиус), получим

£ат = 2 х 107СГСЭ. (22.19)

Если теперь подставить (22.19) в (22.17), то получим

Х(2) =5х 1(Г9СГСЭ. (22.20)

Полученная оценка правильно указывает порядок величины квадратичной не­линейной восприимчивости кристалла. Например, для кристалла KDP, широ­ко применяемого в нелинейной оптике, = 3 х 10-9 СГСЭ. Как видно из (22.17), размерность х^2* обратна размерности напряженности электрического ноля. Следовательно,

[х«] = г“1/2 • см1/2 • с = эрг_1/2 • см3/2. (22.21)

Аналогичным образом можно оценить кубичную нелинейную восприимчи­вость х^- Используя материальное уравнение (22.3) и полагая Е = £ат, полу­чим

Х(3) = х/£2т. (22.22)

Численная оценка по формулам (22.22), (22.16), (22.19) дает

Х(3) = 2,5 х 1(Г16 СГСЭ = 2,5 х 1(Г16 см3/эрг. (22.23)

Реальная величина х*3 например для кристалла кварца, равна 10"14 см3/эрг. Имеются, однако, материалы, обладающие значительно более высокой кубиче­ской восприимчивостью. Данные о некоторых из них представлены в табл. 22.2.

Представляет интерес сравнить между собой величины линейной и нели­нейной поляризации среды - Например, ограничиваясь нелинейностью второго порядка, можно записать

Р = РЛ + pW =хЕ + х[2)Е2

и

= Х(2)Е2 _ х(2)Е Р„ хЕ х Если теперь использовать для оценки формулу

Х(2) = */£ат, (22.24)

то получим

р£)/Рл = Е/Е&т. (22.25)

Таким образом, отношение квадратичной поляризации среды к линейной равно отношению напряженности электрического поля световой волны к напряжен­ности внутриатомного поля. Аналогичным образом получаем

Р£>/Рл = (Е/Е&Т)2 (22.26)

и т. д. Оценим величину Е/Елг. Интенсивность света I связана с напряженно­стью поля Е световой волны формулой I = сЕ2/ 87г. Отсюда Е = ^SttI/c. Пола­гая I = 109 Вт/см2 = 1016 СГСЭ, с = 3 х Ю10 см/с, получим Е = 3 х 103 СГСЭ. Отсюда, используя (22.19), получаем

£/£ат = ИГ4. (22.27)

Таким образом, для данной интенсивности света (109 Вт/см2) относительная величина нелинейной поляризации оказывается весьма мала. Тем не менее, нелинейный эффект может быть сильным благодаря тому, что он может нака­пливаться в процессе распространения световой волны.

Классическая модель нелинейной среды — ансамбль нелинейных осцилляторов. Механизмы оптической нелинейности весьма разнообразны (см. табл 22.1). Однако наиболее универсальным из них можно, по-видимому, считать механизм, связанный с нелинейностью элементарного осциллятора сре­ды — атома или молекулы. Вычислим нелинейную поляризацию и нелинейную восприимчивость среды, рассматривая ее как ансамбль нелинейных осцилля­торов.

Нелинейный осциллятор. Используя второй закон Ньютона, уравне­ние движения осциллятора запишем в виде

тх = Евозвр + е£. (22.28)

Здесь т — масса электрона, е — заряд электрона, х — смешение центра элек­тронного облака относительно атомного ядра (рис. 22.9), Е — напряженность электрического поля световой волны, £ВОЗвр — возвращающая сила, обусло­вленная притяжением электрона к ядру и связанная с потенциальной энергией U (гг) электрона в поле ядра соотношением

Рис. 22.9. Классическая модель атома

■^возвр — (22.29)

В окрестности положения равновесия электрона (х = 0) потенциальную энер­гию U(х) можно представить в виде разложения по степеням х:

U(x) = ах2 + /Зхъ + ■■■ . (22.30)

z <3

График зависимости потенциальной энергии от электронной координаты схе­матически показан на рис. 22.10. Первое слагаемое в (22.30) соответствует па­раболическому приближению (пунктир на рис. 22.10). Остальные слагаемые описывают отличие формы реальной потенциальной ямы от параболической. Учет этих слагаемых важен, если амплитуда колебаний электрона достаточно велика. Последнее может иметь место в поле световой волны большой интен­сивности. Подставив (22.30) в (22.29), получим

^возвр = - ах - 0х2 - I . (22.31)

Таким образом, возвращающая сила оказывается нелинейной функцией смеще­ния. Подставляя (22.31) в (22.28) и ограничиваясь учетом первой нелинейной поправки, получим уравнение

х + u)gx + 7Х2 = — Е, (22.32)

т

Рис. 22.10. График потенциальной энергии нелинейного осциллятора (сплошная кри­вая) и линейное приближение (пунктир)

где и;2 = а/тп — собственная частота колебаний осциллятора, 7 = (З/m — па­раметр нелинейности. Добавим в левую часть уравнения (22.32) слагаемое Гх, описывающее затухание электронных колебаний. В итоге получим уравнение

х + Гх + ljqX + 7Я2 = — Е.

(22.33)

Итак, уравнение (22.33) описывает колебания атомного осциллятора под дей­ствием поля световой волны. Данное уравнение учитывает нелинейность ос­циллятора, которая становится существенной, если амплитуда колебаний до­статочно велика. Ангармонизм элементарного осциллятора приводит к появле­нию нелинейной поляризации среды.

(22.34)

Поляризация среды. Поляризация среды Р определяется как диполь - ный момент единицы объема. Считая среду однородной, запишем

Р = Np,

где N — число атомов в единице объема,

р = ех.

(22.35)

р — дипольный момент элементарного осциллятора (атома), е — заряд элек­трона, х — смещение электрона относительно положения равновесия, опре­деляемое уравнением (22.33). Таким образом, для вычисления поляризации среды необходимо решить уравнение (22.33).

Точное решение этого уравнения неизвестно. Здесь мы сталкиваемся с ти­пичной для нелинейной оптики ситуацией, когда уравнение, описывающее не­линейный эффект, не имеет точного решения или это решение настолько слож­но, что практически им трудно воспользоваться. В этих условиях приходится прибегать к различным приближенным методам, причем выбор конкретного метода для каждой задачи, вообще говоря, индивидуален.

Метод возмущений. Одним из наиболее универсальных методов анали­за нелинейных систем является метод возмущений. Основная идея этого метода состоит в том, чтобы сначала описать движение системы в линейном прибли­жении, а затем рассмотреть нелинейный эффект как малую поправку.

Предположим, что амплитуда колебаний осциллятора настолько мала, что в любой момент времени нелинейный член в уравнении (22.33) много меньше линейных слагаемых, в частности,

(22.36)

I712! «С |wgx|,

ИЛИ

(22.37)

(22.38)

Тогда решение уравнения (22.33) можно представить в виде

X — Хл - і - £нл,

(22.39)

где хл — решение линейного уравнения

771

а х„л — нелинейная поправка, малая по сравнению с хл:

(22.40)

Линейное приближение. Запишем световое поле в виде плоской мо­нохроматической волны

Е = if + к. с. (22.41)

и подставим (22.41) в (22.39). Решение уравнения (22.39) ищем в виде

хл = ^х„е^~^ +к. с. (22.42)

Подставив (22.42) в (22.39), находим

~ „ , .2 _ о. .п^> (22.43)

е 1

771 Ll>q — оЛ + ІшГ

или

х„ — а(ш)£, (22.44)

где введена величина

“И =---------------------------------------------------- 2----- аТ^г’ (22-45)

тп wg - иг + ъи>Т

которая называется линейной поляризуемостью атома. Тем самым задача в линейном приближении решена.

Расчет нелинейной поправки. Подставив (22.38) в (22.33), получим уравнение

Ёл + Ёнл + Гіл + Гх„л + u)qXji + ш%х„л + j(xl + хл + 2хлхнл) = —Е. (22.46)

т

В силу уравнения (22.39) часть членов в этом уравнении сокращается и оно приобретает вид

Ё„л + Гхнл + и>$хнл + 7(хл + х2нл + 2хлхнл) = 0. (22.47)

Среди оставшихся членов выделим члены низшего порядка малости, а осталь­ными пренебрежем. В силу (22.40)

xl+x^vxl (22.48)

В силу (22.37)

^оХнл + 2^хлхпл = (и)1 + 2'ухл)хнл » ШоХнл. (22.49)

В итоге получаем уравнение

хнл -Ь Гхнл + uJqXhji = Г)/хл. (22.50)

Таким образом мы произвели линеаризацию исходного нелинейного уравнения (22.33) по малому параметру х„л.

Уравнение (22.50) представляет собой линейное уравнение вынужденных колебаний, в котором роль вынуждающей силы играет член 7ХЛ, определяемый решением уравнения движения электрона в линейном приближении. Найдем решение уравнения (22.50). Согласно (22.42)

xl = + \хл2 + к. с. (22.51)

Таким образом, вынуждающая сила содержит постоянную составляющую и переменную компоненту, осциллирующую на частоте второй гармоники 2и. В силу линейности уравнения (22.50), такую же структуру будет иметь и вели­чина х„л. Поэтому ищем решение в виде

Хнл(t) = ^ж2е*(2а,< 2*г) + iz0 + K. c. (22.52)

2 ' 2" Подставив (22.51), (22.52) в (22.50), получим уравнение

^(ыд ~ 4<д2 + 2шТ)х2е^2ші 2кг ) - I - о + к. с. =

в £i

= -^4xlei(2wt-2kf) - ^7|їл|2 + к. с.

(22.53)

4 ' л 4

Приравнивая коэффициенты при экспонентах, а также постоянные слагаемые, находим

Хо~ 2 32,їл|2’ Х2_ 2(wq — 4cJ2 + 2ішТ)Х*' (22-54)

Таким образом, нелинейная поправка вычислена.

Итак, приближенное решение уравнения (22.33) получено. Теперь нетруд­но вычислить поляризацию среды. Подставив (22.38), (22.42), (22.52) в (22.34),

(22.35) , получим

Р = Рл + Рнл, (22.55)

где

Рл = Ьрлеі{ші~~кр) + к. с., (22.56)

Рп — линейная поляризация,

РпЛ = іраеі<2"*-2Й') + ±Vo + К. с., (22.57)

Рыл — нелинейная поляризация, а величины РЛ: Vo, Vo определяются форму­лами

Рл = Nexл, V2 = Nex2, Vo = Nexo (22.58)

или, в силу (22.44), (22.54),

V„ = Nea{u))£,

а)

б)

Рис. 22.11. Спектр возбуждающей световой волны (а) и спектр поляризации (б) в квадратично-нелинейной среде

где а{и>) — линейная поляризуемость атома, определяемая формулой (22.45).

Формулы (22.55)-(22.59) показывают, что поляризация рассматриваемой не­линейной среды содержит три спектральные компоненты: компоненту на ча­стоте возбуждающей световой волны (линейная поляризация), компоненту на частоте 2сд и постоянную составляющую (рис. 22.11). Компонента поляризации на частоте 2из ответственна за генерацию второй оптической гармоники.

Оптические восприимчивости. Линейная оптическая восприимчи­вость среды н{ш) вводится как коэффициент пропорциональности между ком­плексными амплитудами поля и поляризации на частоте ш:

ТЛ = х(ш)£. (22.60)

Введем квадратичную нелинейную восприимчивость среды на частоте второй гармоники (2ш), определив ее как коэффициент пропорциональности между

комплексной амплитудой поляризации среды на этой частоте V2 и квадратом комплексной амплитуды поля:

7>2 = Х[39]( 2ш)£2. (22.61)

Наконец, квадратичную нелинейную восприимчивость среды на нулевой часто­те (0) определим формулой

Vo = х(2)(0)|£|2- (22.62)

Из (22.59)-(22.62) следует, что

х(и>) = Nea(u;),

X(2)(2w) = --vNe q2M__________________________

, х V») 2 Uq — 4а>2 + 2г<дГ’ (22.63)

где

«И = — ~2--------------------------------------------------------- . р, (22.64)

тшл-ыЧ ги>Г

а(ш) — линейная оптическая поляризуемость атома.

Световой

импульс

Рубиновый лазер

Импульс электрического тока

Пластины

Рис. 22.12. Схема опыта по наблюдению оптического детектирования. Световой пучок рубинового лазера пронизывает кристалл кварца, помещенный в электрический кон­денсатор. Вследствие детектирования световой импульс лазера возбуждает импульс электрического тока в цепи конденсатора

Осциллограф

Кристалл ^ кварца

Итак, мы вычислили линейную и нелинейные оптические восприимчивости для модельной нелинейной среды, представляющей собой ансамбль нелиней­ных классических осцилляторов. Полученные формулы (22.63) показывают, что нелинейная восприимчивость среды зависит, во-первых, от ангармонично­сти элементарного осциллятора, характеризуемой параметром 7, а во-вторых, от линейной поляризуемости атома а{и>). Поэтому нелинейные среды нуж­но искать, прежде всего, среди сред с большими показателями преломления (жидкости, кристаллы). Кроме того, из (22.63), (22.64) следует, что нелиней­ная восприимчивость среды возрастает в резонансных условиях, когда частота возбуждающей световой волны ш либо частота второй гармоники 2и> близка к собственной частоте колебаний элементарного осциллятора uiq.

Оптическое детектирование. Наш расчет показывает, что под действи­ем мощной световой волны в квадратично-нелинейной среде должна возникать постоянная поляризация, величина которой пропорциональна интенсивности света. Этот эффект называется оптическим детектированием или выпрямле­нием света. Постоянная поляризация, в свою очередь, приводит к появлению постоянного электрического поля в среде, которое может быть зарегистриро­вано и измерено.

На рис. 22.12 показана схема опыта по наблюдению оптического детектиро­вания в кристалле кварца. Световой пучок рубинового лазера пронизывает кри­сталл кварца, помещенный в электрический конденсатор. Вследствие эффекта детектирования световой импульс лазера возбуждает импульс электрического тока в цепи конденсатора. Заметим, что подобные опыты можно использовать для измерения квадратичной оптической нелинейности различных сред.

Физическая оптика

Из истории физической оптики

Цитаты из оригинальных работ Франкена, Бломбергена, Ахманова, Хохлова. Питер Франкен. Генерация второй оптической гармоники. Развитие импульсных рубиновых оптических мазеров1,2 сделало возможным получение монохроматических (6943 А) световых пучков, которые при фокусировке …

Нелинейная пространственная динамика световых полей

Самоорганизация светового поля в нелинейных системах с обратной связью. Оптическая синергетика. Оптическое моделирование нейронных сетей. В течение длительного времени в нелинейной оптике исследовались про­блемы временной динамики светового поля. При этом …

Оптика фемтосекундных лазерных импульсов

Предельно короткие импульсы света и сверхсильные световые поля. Генера­ция фемтосекундных световых импульсов. Новое поколение твердотельных фемтосекундных лазеров. Фемтосекундные технологии. Фемтосекундные ла­зерные импульсы в спектроскопии. Управление амплитудой и фазой молеку­лярных колебаний …

Как с нами связаться:

Украина:
г.Александрия
тел./факс +38 05235  77193 Бухгалтерия
+38 050 512 11 94 — гл. инженер-менеджер (продажи всего оборудования)

+38 050 457 13 30 — Рашид - продажи новинок
e-mail: msd@msd.com.ua
Схема проезда к производственному офису:
Схема проезда к МСД

Оперативная связь

Укажите свой телефон или адрес эл. почты — наш менеджер перезвонит Вам в удобное для Вас время.