Физическая оптика

Дифракция и фокусировка гауссова пучка

Параболическое уравнение. Приближение квазиоптики. Решение параболиче­ского уравнения. Распространение и дифракция гауссова пучка. Фокусировка гауссова пучка. Размеры фокальной области линзы. Критерий применимости приближения квазиоптики.

Параболическое уравнение. Приближение квазиоптики. Будем опи­сывать распространение света скалярным волновым уравнением

(Д13.1)

(Д13-2)

Рассмотрим распространение ограниченного светового пучка. Предположим, что пучок обладает осевой симметрией. Тогда для описания процесса распро­странения достаточно двух цилиндрических координат: расстояние вдоль оси пучка z и расстояние от оси пучка г. Запишем поле пучка в виде

E(r, z) = a(r, z) cos[u>t — kz + <p(r, z)],

где a(r, z), p(r, z) — действительные амплитуда и фаза волны в пучке. Форму­ла (Д13.2) выражает тот факт, что световая волна гармоническая, и ось пучка направлена вдоль оси z. Поле вида (Д13.2) с переменными амплитудой и фазой называется пространственно-модулированной или квазиплоской волной. Отме­тим сразу, что такое поле не является точным решением волнового уравнения (Д13.1), поэтому ниже речь пойдет о построении приближенных решений.

Для дальнейшего удобно перейти к комплексному представлению

(Д13.3)

E = ^A(r, z)e*u*-kz) + k. c.,

где A(r, z) — комплексная амплитуда поля. Комплексная амплитуда содержит в себе информацию как о действительной амплитуде, так и о действительной фазе волны и связана с ними соотношениями

(Д13.4)

A = a?%4>, a=|.4|, ip — arg.4.

Согласно (Д13.3)

= _w2 e = + K. C.

dt2 2

д2Е і

eHut-k*) +KC

И

(Д13.5)

dz2 2 V dz2

(Діз.6)

Допустим, что

Тогда можно пренебречь слагаемым д2А/дг2 в формуле (Д13.6). Подставляя (Д13.5), (Д13.6) в (Д13.1), учитывая формулу Д2/<? — к2 и условие (Д13.7), получим для комплексной амплитуды волнового пучка уравнение

ял і

^ + ^ДхЛ = °, (Д13.8)

где

д2 д2

А± = дх2 + ’ (Д13.9)

Дх — оператор Лапласа по поперечным координатам пучка, к— 2ж/ — вол­новое число, Л — длина’световой волны. Уравнение (Д13.8) называется пара­болическим уравнением. ..

Приближение, в котором справедливо параболическое уравнение (Д13.8), называется приближением квазиоптики. Согласно (Д13.7) это приближение оправдано, если производная амплитуды световой волны дА/дг относительно мало изменяется на расстоянии порядка длины световой волны. Более удобный для практики критерий мы дадим ниже. Здесь же отметим, что решение па­раболического уравнения (Д13.8) во всяком случае не должно противоречить условию (Д13.7).

Решение параболического уравнения. Представим комплексную ам­плитуду волнового пучка в виде пространственного разложения Фурье по по­перечным координатам пучка х, у:

оо 2 оо

A(f, z)= J АДг) ехр (гxr) d2х, A%(z) = J A(f, z) ехр (-гхг)сРг.

—оо —оо

^ (Д13.10)

Здесь г — радиус-вектор в поперечном сечении пучка, х — поперечная компо­нента волнового вектора. В более подробной записи г

ОО

Л(х, у, z) = JJ АХх tXy (z) ехр [i{xxx + хуу) dxx dxy,

(Д13.11)

— ОО

2 00

A*.,xy(z)= JJ A(x, y,z)exp[-i(xxx +xyy)]dxdy.

Подставляя (Д13.10) в уравнение (Д13.8), получим следующее уравнение для фурье-амплитуды пучка АДг):

где х? = х2 + х2. Решение уравнения (Д13.12) имеет вид

Az(z) = A%(z = 0)exp (ixiz/2k). (Д13.13)

Формула (Д13.13) описывает преобразование пространственных фурье-ампли-

As(z = 0) — спектральная амплитуда волнового пучка в начальном сечении z = 0. Она выражается через начальное распределение комплексной амплиту­ды пучка A(r, z = 0) = Ао(г):

2 °° ■ ’

As(z = 0)=(^) / МПе-^г. (Д13.14)

— ОО

Подставляя (Д13.14) в (Д13.13) и далее (Д13.13) в (Д13.10), можно получить формулу, связывающую комплексную амплитуду пучка Ао(г) в начальном се­чении г = 0с амплитудой A(r, z) на произвольном расстоянии z:

ОО

A(r, z) = J Ao{f')H(r-r',z)cPr'. (Д13.15)

-оо

Здесь функция Н(г, z) называется функцией Грина свободного пространства и определяется формулой

я<?'г) = ^“р('^)' W1316)

где г2 = х2 + у2. Формулы (Д13.15), (Д13.16) дают общее решение параболиче­ского уравнения (Д13.8).

Распространение и дифракция гауссова пучка. Теперь конкретизиру­ем вид комплексной амплитуды пучка в плоскости 2 = 0. Положим

Ло(г) = А0ехр(-г2/2р1), А0 = const. (Д13.17)

Согласно (Д13.17) волновой фронт исходного пучка плоский, а распределение интенсивности в поперечном сечении имеет вид гауссовой кривой

7о(г) = Іо ехр(-г2/рі). (Д13.18)

Пучок такого вида называется гауссовым. Гауссова модель наиболее удобна для расчетов.

Поперечный размер пучка будем характеризовать радиусом (полушириной) по уровню интенсивности, равному е-1 максимальной интенсивности. Таким образом, согласно (Д13.18), радиус исходного пучка равен

ро = HWe-'M. (Д13.19)

Эта запись означает, что ро равен полуширине (радиусу) пучка по уровню интенсивности е-1 относительно максимума, а для сокращения использованы первые буквы английских слов “half width е-1 maximum”.

Рассмотрим теперь как будет меняться пучок в процессе распространения. Для этого подставим (Д13.16) и (Д13.17) в (Д13.15) и выполним интегрирова­ние. Получим

Формула (Д13.20) является основной и позволяет рассчитать характеристики пучка (волновой фронт, профиль интенсивности, радиус) в произвольной точ­ке г. Прежде чем написать соответствующие формулы, обратим внимание на то, что в формуле (Д13.20) фигурирует характерная длина, равная kpl. Назо­вем эту длину дифракционной длиной пучка и обозначим

(Д13.21)

(Д13.22)

(Д13.23)

kpl = 2Д.

По принятой в оптике терминологии величину

D = zjzA

называют волновым параметром, а обратную величину

-^ф = zjz

называют числом Френеля.

В соответствии с (Д13.20) действительные амплитуда а и фаза <р пучка равны

(Д13.24)

ip — а

[ 2p2(z)J

‘2 R(z)’

а = |До|~7^г ехр

P{z)

где обозначено

2д = kpl, а = arctg(z/zA).

(Д13.25)

p(z) = poJl + (z/zn)2

R(z) = z(l + z2/z2), Полное электрическое поле

E(r, z) 2 Aop(z) x

j + K. C.

(Д13.26)

+ a

2 R(z)

Г г2 1

г.

х ехр

2p2{z)

ехр < г

u>t — kz — к

Интенсивность излучения

(Д13.27)

p2(z)

p2(z)

I{r, z) = Jo-JT-гЄХр

Ро

Формулы (Д13.26), (Д13.27) выражают основной результат данного пункта. Они описывают электрическое поле и интенсивность гауссова светового пучка в произвольной точке с координатами г, г. Из (Д13.26), (Д13.27) следует, что в процессе распространения пучок сохраняет гауссову форму профиля интен­сивности, т. е. на любых расстояниях остается “гауссовым”. Радиус пучка p(z) монотонно увеличивается с ростом z (т. е. пучок расширяется — см. рис. Д13.1), а интенсивность, наоборот, уменьшается, так что полная мощность пучка оста­ется неизменной:

ОО

Рис. Д13.1. Дифракционное расплывание и трансформация волнового фронта гаус­сова пучка, распространяющегося в свободном пространстве: в — (kpo)~l — угол ди­фракционной расходимости пучка в дальней зоне, гД = кр2 — дифракционная длина пучка, ро — начальный радиус пучка, к = 2к/ — волновое число, А — длина волны

Покажем, что параметр R{z) в формулах (Д13.24)-(Д13.26) имеет смысл ра­диуса кривизны волнового фронта гауссова пучка в приосевой зоне. Для этого рассмотрим сферическую волну

Е = ——— ехр — А:Д)] + к. с., R = у/z2 + г2. (Д13.29)

R

В области, где

г2 » г2, (Д13.30)

справедливы приближенные формулы: Д«ги

const г2

Е=—— ехр[г(ші - kz - к—-)] + к. с. (Д13.31)

К 2 Н

Сравнивая формулы (Д13.26) и (Д13.31) видим, что параметр R(z) в (Д13.26) имеет смысл радиуса кривизны волнового фронта. Зависимость кривизны вол­нового фронта от пройденного гауссовым пучком расстояния z, вычисленная по формуле (Д13.25), показана на рис. Д13.2.

vR(z)

0,5

0 1 2 3 4 5 г/гк

Рис. Д13.2. Изменение кривизны волнового фронта гауссова светового пучка при рас­пространении в свободном пространстве

Фокусировка гауссова пучка. Действие тонкой сферической линзы на световой. пучок математически можно описать с помощью комплексного ко­эффициента передачи Л(г), зависящего от поперечной координаты пучка г. А именно, можно написать

(Д13.32)

Лі (г) = А(г)А0(г)

где Ао(г) и Лі (г) — распределения комплексных амплитуд световой волны вдоль радиуса пучка г соответственно на входной и выходной поверхностях линзы. Так как линза не изменяет распределение интенсивности, а лишь ис­кривляет волновой фронт пучка, положим

(Д13.33)

Л(г) = ехр (ikr2/2f),

где к — волновое число световой волны, / — фокусное расстояние линзы. Формула (Д13.33) написана по аналогии с множителем exp(—ikr2/2R), описы­вающим кривизну волнового фронта в формуле (Д13.26). За радиус кривизны волнового фронта пучка, вносимой линзой, естественно принять ее фокусное расстояние. Знак “+” в показателе экспоненты в (Д13.33) соответствует вогну­той форме волнового фронта пучка, прошедшего линзу, т. е. описывает действие фокусирующей (выпуклой) линзы.

Пусть слева на линзу, расположенную в плоскости z = 0, падает гауссов световой пучок с плоским волновым фронтом и комплексной амплитудой, опре­деляемой формулой (Д13.17). Тогда в соответствии с (Д13.32), (Д13.33), ком­плексная амплитуда пучка на выходе из линзы будет равна

р2 j.2

Аг (г) = А0 ехр - —j + гк— 2р0 2/

р Ро f

1 1 гк

(Д13.34)

ИЛИ

(Д13.35)

где

Итак, действие линзы сводится к замене вещественного радиуса пучка ро на комплексную величину р. Поэтому световое поле во всей зоне фокусировки г, z > 0 можно определить по формулам (Д13.20), (Д13.24)-(Д13.26), сделав в них замену

Ро Рі, (Д13-37)

где pi определяется формулой (Д13.36). Так, делая замену (Д13.37) в (Д13.20), для комплексной амплитуды сфокусированного пучка получаем

(1 + z/ikpl)

Далее, подставляя (Д13.36) в (Д13.38), находим

_2

expji а~к2Щ^ }’ (Д13.39)

2р{ + z/ikp)

ехр

где

(Д13.38)

A(r, z)

A(r, z) = Ло-у^т ехр

РІ*)

2 p4z)

(Д13.40)

2д — kpQ

2/ 2 /=>(*) = Ро

± _ 5» Л -

/V //

1И)Ч0

( _Фя_

1 - z/f)'

(Д13.41)

а = arctg

ВД

Как и для фундаментального гауссова пучка, электрическое поле и интенсив­ность излучения можно записать в виде (Д13.26), (Д13.27), однако для сфо­кусированного пучка параметры p(z), R(z), а выражаются теперь формулами (Д13.40), (Д13.41). Итак, фокусировка гауссова пучка полностью описана. На практике удобно записывать формулу для радиуса гауссова сфокусированного пучка в виде

(Д1342)

Р (z) - Poi1 - z/f) + (г/крої, к - 2тг/А.

Обобщение этой формулы на случай пространственно-некогерентного падаю­щего пучка с радиусом ро и поперечным радиусом когерентности рко имеет вид

(Д13.43)

Р (z) = Poi1 - z/f)2 + (z/k)(1/Ро + !/Рко)-

Размеры фокальной области линзы. Как видно из формулы (Д13.40), минимальный радиус сфокусированного пучка (перетяжка) достигается в точ­ке 2 = zw, где

Таким образом, точка перетяжки пучка расположена немного левее фокуса. Согласно (Д13.41), в этой же точке обращается в ноль кривизна волнового фронта пучка. В точке перетяжки радиус пучка равен

р- = Ро~7тГгГГ^' (Д13‘45)

Л + (//2д)2

а в точке фокуса

Pt = P0 — - (Д13.46)

д

Z

Обычно в оптике хорошо выполняется условие

(f/za)2 « 1. (Д13.47)

Поэтому с хорошей степенью точности можно считать, что точка перетяжки пучка находится в фокусе. Радиус фокального пятна определяется формулой (Д13.46) или, с учетом (Д13.40),

Pf = kio (Д13.48)

Соответственно площадь фокального пятна

Sf = 7rpf2. (Д13.49)

По мере удаления от фокуса площадь поперечного сечения пучка S(z) = np2(z) нарастает и в точках

*1,2 = /±5 (Д13.50)

становится вдвое больше площади фокального пятна, т. е. ,

p2(Zl) = p2(z2) = 2 pi (Д13.51)

Величина Ь в формуле (Д13.50) определяется выражением

2 7772 (Д13.52)

Л

kpl

и называется конфокальным параметром. Физический смысл этой величины — расстояние между плоскостями, расположенными симметрично относитель­но фокуса, на которых площадь поперечного сечения сфокусированного пуч­ка вдвое превышает площадь фокальной перетяжки. Общая картина фокуси­ровки гауссова пучка дана на рис. Д13.3. В заключение этого раздела рас­смотрим численный пример. Пусть Л = 0,5 мкм, / = 10 см, ро = 0,1 см. Тогда к = 2-к/Х = 1,3 х 105 см-1, и по формулам (Д13.40), (Д13.48), (Д13.52) получа­ем гд = 13 м, pf = 0,8 х 10~3 см, Ъ = 0,16 см.

Критерий применимости приближения квазиоптики. Опираясь на решения параболического уравнения, данные выше, можно показать, что усло­вие (Д13.7) выполняется в пределах пучка (г < р) для не слишком узких и

Рис. Д13.3. Картина фокусировки гауссова светового пучка

достаточно когерентных световых пучков, чьи характерные поперечные разме­ры (радиус р и поперечный радиус когерентности рк) значительно превышают длину световой волны:

Р, Рк » А. (Д13.53)

Для излучения тепловых источников, обладающего малым радиусом когерент­ности рк, условие (Д13.53), вообще говоря, выполняется не всегда. В то же вре­мя для когерентных лазерных пучков условие (Д13.53) как правило хорошо выполняется. Поэтому квазиоптическое приближение, существенно облегчаю­щее описание дифракционных эффектов, широко применяется на практике, и в первую очередь для решения задач лазерной оптики.

Физическая оптика

Из истории физической оптики

Цитаты из оригинальных работ Франкена, Бломбергена, Ахманова, Хохлова. Питер Франкен. Генерация второй оптической гармоники. Развитие импульсных рубиновых оптических мазеров1,2 сделало возможным получение монохроматических (6943 А) световых пучков, которые при фокусировке …

Нелинейная пространственная динамика световых полей

Самоорганизация светового поля в нелинейных системах с обратной связью. Оптическая синергетика. Оптическое моделирование нейронных сетей. В течение длительного времени в нелинейной оптике исследовались про­блемы временной динамики светового поля. При этом …

Оптика фемтосекундных лазерных импульсов

Предельно короткие импульсы света и сверхсильные световые поля. Генера­ция фемтосекундных световых импульсов. Новое поколение твердотельных фемтосекундных лазеров. Фемтосекундные технологии. Фемтосекундные ла­зерные импульсы в спектроскопии. Управление амплитудой и фазой молеку­лярных колебаний …

Как с нами связаться:

Украина:
г.Александрия
тел./факс +38 05235  77193 Бухгалтерия

+38 050 457 13 30 — Рашид - продажи новинок
e-mail: msd@msd.com.ua
Схема проезда к производственному офису:
Схема проезда к МСД

Партнеры МСД

Контакты для заказов оборудования:

Внимание! На этом сайте большинство материалов - техническая литература в помощь предпринимателю. Так же большинство производственного оборудования сегодня не актуально. Уточнить можно по почте: Эл. почта: msd@msd.com.ua

+38 050 512 1194 Александр
- телефон для консультаций и заказов спец.оборудования, дробилок, уловителей, дражираторов, гереторных насосов и инженерных решений.