ЕЛЕКТРОТЕХНІКА У БУДІВНИЦТВІ

Застосування законів Кірхгофа для аналізу складних кіл

Число невідомих струмів схеми дорівнює числу її гілок т. Тому для роз­в'язання задачі необхідно скласти систему, яка має т = 6 незалежних рівнянь.

В заданій схемі (рис. 3.1) число вузлів n = 4. Задамося довільним напрям­ком струмів окремих гілок схеми. Умовимося, що струми, спрямовані до вузлів,

мають знак "плюс", а струми, спрямовані від вузлів - знак "мінус". Вибравши вузли b, c і d як незалежні, можна скласти наступну систему рівнянь: для вузла b: /2 - /4 - 15 = 0,

для вузла с: /4 - /6 - /3 = 0, >- (3.1)

для вузла d: /3 - /1 - /2 = 0.

Відсутнє число рівнянь m - (n - 1) = 6 - (4 - 1) = 3 складаємо, користую­

чись другим законом Кірхгофа. Щоб кожне з рівнянь було незалежним від по­передніх, треба всю схему розбити на незалежні контури. Розбивку доцільно почати з вибору найпростішого контуру (з найменшим числом гілок), а потім стежити, щоб кожний наступний контур був незалежним від попереднього, для чого до нього повинна входити хоча б одна гілка, що не ввійшла до розглянутих раніше контурів.

Виберемо три незалежних контури (на рис.3.1 позначені римськими циф­рами I, II, III) і приймемо їх обхід за напрямком руху годинникової стрілки. То­ді за другим законом Кірхгофа отримаємо:

для контуру I: Ry /і - R5 /5 - R2 /2 = Ei - E2, "

для контуру II: R2- /2 + R4- /4 + R3- /3 = E2, > (3.2)

розв язання якої дає значення струмів у гілках схеми.

Розглянемо вирішення задачі з розрахунку режиму мережі в загальному випадку, коли схема заміщення кола має n вузлів і m гілок, з яких mj гілок міс­тять джерела струму. При заданих ЕРС і опорах гілок розрахунок зводиться до знаходження струмів у m гілках.

Розглянемо спочатку розрахунок для схеми без джерел струму. Як ми вже зазначали, для розв’язання задачі необхідно скласти n -1 незалежних рів­нянь за першим законом Кірхгофа і k = m-(n-1) незалежних рівнянь за другим законом Кірхгофа. Отримана система лінійних алгебраїчних рівнянь у матрич­ній формі запису має вигляд

A I = C, (3.4)

де A - матриця коефіцієнтів системи; I - матриця-стовпець невідомих струмів системи; C - матриця-стовпець правої частини системи.

Для системи (3.3) матриці A, I і C мають вигляд

Систему алгебраїчних рівнянь (3.4) для складних кіл звичайно розв’язують чисельними методами на ПЕОМ з використанням сучасних пакетів програм, наприклад MATLAB або MATCAD.

При розрахунку схем, в mj гілках яких є джерела струму, порядок розв'я­зуваної системи зменшується. Оскільки струми mj гілок відомі, число незалеж­них контурів (без джерел струму), для яких необхідно скласти рівняння за дру­гим законом Кірхгофа, дорівнює k = m - mj - (n — 1).

3.1. Метод вузлових потенціалів

Метод вузлових потенціалів дозволяє зменшити число спільно розв'язу­ваних рівнянь до n - 1, де n - число вузлів схеми заміщення електричного кола. Метод заснований на застосуванні першого закону Кірхгофа і полягає в наступному.

1. Один вузол схеми заміщення приймають за базисний з нульовим поте­нціалом. Таке допущення не змінює значення струмів у гілках, тому що струм у кожній гілці залежить тільки від різниці потенціалів вузлів, а не від дійсного значення цих потенціалів.

2. Для інших n -1 вузлів складають систему рівнянь за першим законом Кірхгофа, записуючи струми в гілках через потенціали вузлів.

3. Розв’язанням отриманої системи визначають потенціали n-1 вузлів від­носно базисного, а потім струми гілок за законом Ома.

Розглянемо застосування методу вузлових потенціалів на прикладі схеми кола (рис. 3.2), що містить n=3 вузли. Вузол 3 приймаємо за базисний, тобто ф3 = 0. Для вузлів 1 і 2 складемо рівняння за першим законом Кірхгофа.

Рис.3.2 - Розрахункова схема

Після підстановки отриманих значень струмів у рівняння для 1 і 2-го вуз­лів одержимо систему рівнянь

де G11 і G22 - власні провідності вузлів 1 і 2, які визначаються як сума провідно - стей гілок, що підключені відповідно до вузлів 1 і 2; G12 і G21 - взаємні провід­ності вузлів 1 і 2 (провідність гілки, що з'єднує вузли 1 і 2); G3 - провідність гіл­ки з ЕРС Е. У нашому випадку G12 = G3.

Відзначимо, що перше рівняння системи (3.7) записане відносно вузла 1, а друге - відносно вузла 2. Права частина системи містить вузлові струми, які визначаються як алгебраїчна сума струмів гілок з джерелами струмів і струмів короткого замикання гілок з джерелами ЕРС, що сходяться до розглянутого ву­зла, причому доданки беруть із знаком плюс (мінус), якщо струм джерела й ЕРС спрямовані до розглянутого вузла (від вузла).

У загальному випадку система (3.7) має вигляд

Gik ф = Іуі, при U к -1 m _ mj _ 1 , (3.8)

де Gik - матриця власних і взаємних провідностей вузлів; фк - матриця-стовпець шуканих потенціалів вузлів; Іуі - матриця-стовпець вузлових струмів.

Метод вузлових потенціалів ефективніший за метод контурних струмів у випадку, якщо число вузлів у схемі менше або дорівнює числу незалежних кон­турів. Він особливо ефективний при розрахунку електричних кіл з двома вуз­лами й великою кількістю паралельних гілок. У цьому випадку, якщо прийняти потенціал одного з вузлів рівним нулю, наприклад ф2 = 0, то напруга між вуз­лами буде дорівнювати потенціалу іншого вузла:

к-1

де n - число паралельних гілок кола; m - число гілок, що містять джерела ЕРС.

У деяких випадках метод вузлових потенціалів називають методом вуз­лових напруг, а його окремий випадок для двох вузлів - методом вузлової на­пруги.