ЕЛЕКТРОТЕХНІКА У БУДІВНИЦТВІ

Закони Кірхгофа

У теорії електричних кіл важливе значення мають експериментально встановлені в 1847 р. німецьким фізиком Г. Р.Кірхгофом закони, що одержали назву 1-го й 2-го законів Кірхгофа.

2.6.1. Перший закон Кірхгофа. Цей закон відносять до вузлів кола й для випадку постійних струмів формулюють в такий спосіб: алгебраїчна сума струмів, що сходяться у вузлі, дорівнює нулю

n

£h - 0. (2.58)

k-1

При записі рівнянь за першим законом Кірхгофа підсумовування струмів роблять алгебраїчно: струмам, що спрямовані до вузла, привласнюють один знак, наприклад позитивний, а струмам, що спрямовані від вузла, - інший знак, наприклад негативний. Тому часто зустрічається ще інше формулювання пер­шого закону Кірхгофа: сума струмів, що притікають до вузла, дорівнює сумі струмів, що виходять з нього.

Якщо до вузла підключені кілька генераторів струму, то сума струмів, що генеруються ними, £ІГ повинна з відповідними знаками бути присутньою у

лівій частині рівняння (2.58).

Перший закон Кірхгофа є наслідком закону збереження кількості елек­трики, відповідно до якого ні в якій точці заряди не можуть безмежно накопи­чуватися: кількість електрики, що притікає до даної точки за певний про­міжок часу, повинна дорівнювати кількості електрики, що відтікає від неї за той же час.

Приймемо для схеми на рис. 2.10 струми, що входять до вузла d, позити­вними (Іг і І1), а струми, що виходять з вузла - негативними (І2 і Із). Тоді може­мо записати наступне рівняння за першим законом Кірхгофа

ІГ + І1 - І2 - І3= 0, _ (2.59)

що відповідатиме 1-му формулюванню першого закону Кірхгофа, або у вигляді

ІГ + і1 = і2 + і3 , (2.60)

що відповідає 2-му формулюванню першого закону Кірхгофа, або легко отримується шляхом перетворення спів­відношення (2.59).

2.6.2. Другий закон Кірхгофа. Цей закон є наслідком закону збереження енергії, внаслідок якого зміна потенціалу в замкнутому контурі дорівнює нулю. Зміну потенціалу між парою вузлів ділянки характеризують різницею потенціа­лів або рівною їй напругою.

При обході замкнутого контура по окремих ділянках потенціал кінцевого вузла т цієї ділянки підвищується щодо потенціалу його початкового вузла n на величину напруги, якщо напрямок обходу протилежний напрямку стрілки напруги, і знижується, коли напрямок обходу й напрямок стрілки напруги збі­гаються. Тому зміни потенціалу в замкнутому контурі можна визначити підсу­мовуванням напруг з урахуванням їхніх знаків. Відповідно до другого закону Кірхгофа алгебраїчна сума напруг ділянок замкнутого контуру дорівнює ну­лю (перше формулювання):

ZUmn = 0. _ _ (2.61)

При цьому умовилися напруги, позитивні напрямки яких збігаються з на­прямком обходу контуру, брати з позитивними знаками, а напруги, позитивні напрямки яких протилежні напрямку обходу, - з негативними знаками.

Стосовно до схем заміщення з джерелами ЕРС другий закон Кірхгофа формулюється в такий спосіб: алгебраїчна сума напруг на резистивних еле­ментах замкнутого контуру дорівнює алгебраїчній сумі ЕРС, що входять у цей контур (друге формулювання)

ZI R = Z E. (2.62)

2.6.3. Порядок аналізу кіл. Застосування першого й другого законів Кір­хгофа для аналізу електричних кіл дозволяє виконати розрахунок практично будь-якого кола. Як правило, при дослідженні відомі ЕРС і опори усіх елемен­тів схеми й потрібно знайти значення струмів і потужностей у гілках схеми. Порядок розрахунку розглянемо на прикладі схеми кола, що показано на рис. 2.11.

Алгоритм розрахунку:

1. На вихідній схемі довільно наносимо напрямки струмів у гілках (на рис. 2.11,б струми І1, І2 і І3). Якщо в гілці є ЕРС, то напрямок струму краще за­дати співпадаючим з напрямком цієї ЕРС. Наносимо позначення вузлів (вузли 1 і 2 на рис. 2.11 ,б).

2. Визначаємо число вузлів п, гілок m і незалежних контурів k.

Незалежним називають контур, до якого входить хоча б одна нова гі­лка. Кількість незалежних контурів дорівнює k = m - (n - 1).

3. Для незалежних контурів довільно задаємося напрямком обходу (на рис. 2.11,б контури І і ІІ, напрямок обходу за годинниковою стрілкою).

Рис. 2.11 - Схема електричного кола: а - вихідна; б - з нанесеними позначеннями вузлів, струмів і напрямків обходу контурів

Для визначення невідомих струмів у гілках треба скласти систему ліній­них алгебраїчних рівнянь, кількість яких дорівнює кількості невідомих струмів. За першим законом Кірхгофа можна скласти n-1 незалежних рівнянь. Викорис­тати всі n рівнянь неможливо, оскільки одне з них обов'язково буде залежним.

4. Встановлюємо число незалежних рівнянь за першим законом Кірхгофа і записуємо ці рівняння.

5. Відсутні рівняння складемо за другим законом Кірхгофа. Кількість рів­нянь, що складають за другим законом Кірхгофа, повинна дорівнювати кількос­ті незалежних контурів k.

6. Вирішуємо отриману систему лінійних алгебраїчних рівнянь щодо не­відомих струмів у гілках.

7. Для перевірки правильності розрахунку отриманих значень струму складають рівняння балансу потужностей джерел і приймачів електричної енергії

(2.63)

в якому права частина характеризує потужність пасивних приймачів електрич­ної енергії, а ліва - потужність активних елементів кола. При складанні рівнян­ня балансу потужностей слід мати на увазі, що в лівій його частині із знаком плюс записують ті доданки, для яких напрямки ЕРС і струму збігаються. Якщо ж напрямки ЕРС і струми протилежні (робота джерела в режимі споживання електричної енергії), то відповідні доданки записують із знаком мінус у лівій частині рівняння або із знаком плюс у правій його частині, що відповідає поту­жності активного приймача електричної енергії.

Схема електричного кола на рис. 2.11,а містить два вузли (n = 2), три гіл­ки (т = 3) і два незалежних контури:

k = т - (п -1) = 3 - (2 -1) = 2.

За першим законом Кірхгофа для неї можна скласти одне незалежне рів­няння, наприклад, для вузла 1:

/і - /2 - /3 = 0. (2.64)

За другим законом Кірхгофа необхідно скласти два рівняння для двох не­залежних контурів (на схемі рис. 2.11,б контури І і ІІ). З урахуванням прийня­тих напрямків обходу контурів ці рівняння мають вигляд: для контура І

R1 I + R2 •12 = E1 - E2 ; (2.65)

для контура ІІ

-R? І2 + (R + R4 )• І3 = E2 + Е3. (2.66)

При складанні рівнянь (2.65), (2.66) із знаком плюс записуємо ті доданки, у яких струм і ЕРС мають напрямки, що збігаються з напрямком обходу контура.

Розв'язуючи систему рівнянь (2.64), (2.65) і (2.66), можна визначити неві­домі струми (три рівняння, три невідомих І1 , І2 , І3 ). Якщо в результаті розв’язання цих рівнянь вийдуть від’ємні значення струмів, то це означає, що істинні напрямки струмів у гілках кола протилежні напрямкам, прийнятим на рис.2.11,б.

Складемо рівняння балансу потужностей і виконуємо перевірку рішення. Для нашого випадку (рис.2.11,б) рівняння балансу потужностей має вигляд Еу І1 + Е2^ І2 + E3- І3 = І12 R1 + І22 R2 + І32 (R-2 + R4) .

Для інженерних розрахунків відносна похибка отриманого рішення 5 = 2 ^ 5 % для більшості випадків вважається задовільною.