ЕЛЕКТРОТЕХНІКА У БУДІВНИЦТВІ

Схеми з’єднання елементів кола

Можливі варіанти з'єднання елементів кіл постійного струму розглянемо на прикладі з'єднання пасивних електроприймачів.

2.5.1. Послідовне з’єднання елементів кола. Послідовним називають таке з'єднання, при якому в кожному з елементів проходить той самий струм. При послідовному з'єднанні n елементів струми заданої (рис. 2.5,а) і ек­вівалентної (рис. 2.5,б) схем будуть однаковими. Тому для них можна написати рівняння

Ui + U2 + ... + Un = U, або RiI + R2I + ... + RnI = Rekb I

і визначити з нього еквівалентний опір:

REKB = R1 + R2 + ••• + Rn (2.40)

Рис.2.5 - Схема кола з послідовним з'єднанням активних опорів (а) і її еквівалентний опір (б)

Еквівалентний опір послідовно з'єднаних елементів кола дорівнює сумі опорів окремих елементів. Для аналізу режимів роботи схеми запишемо в за­гальному вигляді наступні рівняння кола: для струму

I = U/R

для напруги n-го елемента

Un = Rn U/R

для потужності споживання енергії n-м елементом

Pn = Rn - I2 = Rn U/R2ekb

На підставі цих рівнянь можна отримати деякі загальні властивості по­слідовного кола:

1. З рівнянь (2.41) і (2.42) видно, що між напругою на вході схеми, стру­мом і напругою її окремих елементів є лінійна залежність. Усяка зміна напруги U в k разів спричиняє зміну струму й напруги кожного елемента теж в k разів. Потужність всього кола і його окремих елементів змінюється при цьому в k разів.

2. Струм всього кола й напруга на його окремих елементах залежать від величини опору кожного з елементів кола. При цьому, якщо опір якого-небудь елемента збільшується, струм у колі й напруги на елементах з незмінними опо­рами зменшуються, а напруга на елементі із зростаючим опором збільшується. У границі, коли опір цього елемента дорівнює нескінченності (холостий хід), напруга на затискачах, за допомогою яких даний елемент був приєднаний до іншої частини кола, дорівнюватиме напрузі джерела.

Послідовне з'єднання приймачів використовують у тому випадку, ко­ли їхні номінальні напруги нижче за напругу мережі. Якщо, наприклад, при­ймачі мають номінальні напруги 110 В, а напруга мережі 220 В, то ці приймачі можна з'єднати послідовно і включити на напругу мережі. Однак при цьому не­обхідно мати на увазі, що опір приймача зворотно пропорційний його номіналь­ній потужності R = U2JPn. Тому приймач великої номінальної потужності бу­де працювати з недовантаженням, а приймач малої номінальної потужності - з перевантаженням. Послідовно з'єднані приймачі з однаковими номінальними напругами будуть мати найкращі умови роботи при однакових номінальних потужностях.

Численними є застосування послідовних з'єднань елементів у різних об­ластях техніки. Наприклад, при використанні двигунів постійного струму по­слідовно з колом якоря включають резистори з регульованими опорами для об­меження пускового струму (пусковий реостат, див. розділ 10.9) і для регулю­вання швидкості (регулювальний реостат, див. розділи 10.9, 15.2).

У практиці електричних вимірів з послідовно з'єднаних резисторів утво­рюють вимірювальні магазини опорів, послідовним включенням додаткових резисторів до вимірника напруги домагаються розширення меж виміру напруги та ін.

2.5.2. Паралельне з’єднання елементів кола. На рис. 2.6,а показано схе­му з n пасивними гілками, які приєднані до двох вузлів, різниця потенціалів між якими дорівнює напрузі U джерела. Таким чином, струм у кожній n-й гілці ви­значається напругою між вузлами й опором цієї гілки Rn або її провідністю Gn = 1/Rn:

I1 = U/R1 = GVU

(2.44)

In = U/ Rn = Gn-U.

Та обставина, що паралельне з'єднання забезпечує однакову напругу на всіх включених приймачах і їхні незалежні один від одного режими роботи,

є важливою перевагою цього з'єднання, завдяки якій воно знайшло широке за­стосування. Як правило, всі приймачі електричної енергії включають у мережу паралельно. Для характеристики роботи паралельного кола визначимо його ек­вівалентний опір. Умови еквівалентності будуть дотримані, якщо струм! екв, що протікає по еквівалентному колу (рис. 2.6,б), буде дорівнювати струму I у не - розгалуженій частині кола або сумі струмів окремих паралельних гілок:

Іекв = I = Ii + I2 + • ••+!&. (2.45)

Підставимо в це рівняння значення струмів з (2.44) і одержимо вираз

GevnU = GiU + G? U+...+ GnU

з якого можна вивести формулу еквівалентної провідності:

^^екв = Gi + G2 +...+ Gn = ZGk (2.46)

або формулу еквівалентного опору

Шекв = 1/Ri +1/R2 +...+ 1/Rn = I1/Rk.

Отже при паралельному з'єднанні еквівалентна провідність кола дорі­внює сумі провідностей окремих гілок. Оскільки найбільшу провідність має гілка з найменшим опором, то провідність кола з паралельним з'єднанням еле­ментів не може бути меншою за провідність гілки з найменшим опором. Екві­валентний опір кола, що складене з паралельно з'єднаних гілок, зворотно пропорційний його еквівалентній провідності:

Rекв = Шекв, (2.48)

тому він завжди менший найменшого з опорів гілок.

Необхідно ясно уявляти, що при підключенні нового приймача до кола створиться додаткова паралельна гілка, загальна провідність кола при цьому збільшиться, а його еквівалентний опір зменшиться. Якщо паралельно з'єднані n гілок з однаковими опорами R, то їхній еквівалентний опір буде в n разів менший за опір однієї гілки: R^ = R/n. Зменшення загального опору кола буде супроводжуватися збільшенням струму й потужності:

Р = U-I = U<Ii+ І2 + ... + In),

Становить практичний інтерес коло з двома паралельно включеними ре­зисторами, які мають опори R1 і R2. Еквівалентний опір такого кола дорівнює добутку опорів, поділеному на їхню суму:

Rекв = RiR/(Ri + R2). (2.49)

Струми гілок цього кола дорівнюють:

h = U/R1 = Rекв• I/R1 = Rr l/(Ri + R2) I2 = U/R2 = Rекв• I/R2 = Rr l/(Ri + R2)

Відповідно до отриманих співвідношень струм в одній з паралельних гі­лок кола дорівнює струму нерозгалуженої ділянки кола, помноженому на від­ношення опору протилежної гілки й суми опорів обох гілок.

2.5.3. Еквівалентні перетворення з’єднань пасивних елементів «зір­кою» і «трикутником». Зустрічаються схеми із складним з'єднанням елемен­тів, які не можна віднести ні до паралельного, ні до послідовного з'єднання. Розглянемо одну з таких схем (рис.2.7), коли частина її утворює «трикутник», вершинами якого є три вузли, а сторонами - три пасивних гілки, включені між цими вузлами. Для спрощення розрахунку подібних схем у багатьох випадках буває зручно замінити «трикутник» еквівалентною трипроменевою «зіркою». На схемі (рис.2.7) маємо два «трикутники» резисторів 1-2-3 і 4-5-6. Розглянемо її перетворення на схему з еквівалентними «зірками» (рис. 2.8) з опорами рези­сторів променів Rr, R2, R3 і R4, R5, R6.

Визначимо рівняння, що зв'язують еквівалентні опори «трикутника» і «зірки» (рис.2.9,а та б).

Для вирішення завдання скористаємося загальною умовою еквівалентно­сті, за якою струми в гілках схеми, які не піддані перетворенню, повинні зали­шатися без зміни. Це означає, що струми, спрямовані до вузлів 1, 2 і 3 по про­водах схем «трикутника» (рис. 2.7) і «зірки» (рис. 2.8), повинні бути однакови­ми. Умова еквівалентності повинна бути збереженою в усіх режимах, в тому числі при обриві одного з проводів, які приєднані до вузлів 1, 2 і 3.

При обриві проводу, що приєднаний до вузла 1, напруга між вузлами 2 і 3, а також струми проводів, приєднаних до цих вузлів, повинні бути однакови­ми в схемах «трикутника» й «зірки». Отже опори між вузлами 2 і 3 схем «три­кутника» й «зірки» повинні бути рівними між собою. У схемі «зірки» (рис. 2.8) струм по резистору R1 не проходить. Тому між вузлами 2 і 3 буде включена ді­лянка, яка складається з послідовно з'єднаних двох променів «зірки», загальний опір яких дорівнює R2 + R3.

R23 + R31 + R

За умовою еквівалентності

R23 (R31 + R12) R23 + R31 + R12

Повторюючи вищенаведені міркування для випадку, коли обривається провід, приєднаний до вузла 2, а потім до вузла 3, одержимо ще два рівняння:

R31( R12 + R23)

R3 + Rj -

R23 + R31 + R23

R12(R23 + R31)

R1 + R2 —

R23 ^ R31 ^ R12

Розв’язуючи отриману систему з трьох рівнянь (2.51) - (2.53) відносно опорів «зірки», знаходимо:

Отже опір будь-якого променя еквівалентної «зірки» дорівнює добут­ку опорів сторін «трикутника», що прилягають до променя, поділеному на суму опорів усіх сторін «трикутника».

У разі рівності опорів резисторів сторін «трикутника» R12 = R23 = R31 = =Ra опори резисторів променів еквівалентної «зірки» R1 = R2 = R3 = RY будуть у три рази менші опорів резисторів сторін «трикутника»: RY = RJ3.

При заміні трипроменевої «зірки» еквівалентним «трикутником» опори резисторів «трикутника» R12, R23, R31 можна визначити за відомими опорами ре­зисторів «зірки» R1, R2, R3, вирішуючи систему рівнянь (2.54), (2.55) і (2.56) від­носно R12, R23, R31. Для цього перемножимо попарно (2.54) на (2.55), (2.55) - на (2.56), (2.56) - на (2.54), додамо ці добутки й проведемо відповідні перетворен­ня. У результаті одержимо

R • R • R

и и І и и і D D Jv12 jv23 jv31

R1R0 + R0Ro + RR —------------ .

1 2 2 3 3 1 R12 + R23 + R31

Розділивши це рівняння по черзі на (2.56), (2.55) і (2.54), знайдемо фор­мули переходу в остаточному вигляді:

R • R

Ru - R + R2 + -1R^

R3

R, - R + R + R ^R3

R1

ft, - R + R + R ^R1

R2

З отриманих формул видно, що опір резистора будь-якої сторони екві­валентного «трикутника» дорівнює сумі опорів резисторів променів «зірки», що примикають до цієї сторони «трикутника», і дробу, чисельник якого до­рівнює добутку опорів резисторів цих променів, а знаменник - опору резис­тора третього променя «зірки».