Метод контурних струмів
Метод контурних струмів дозволяє зменшити загальне число т спільно розв'язуваних рівнянь на (п - і) і звести систему до числа k = т - (п - і) рівнянь, що складені за другим законом Кірхгофа. Даний метод використовує поняття про контурні струми, під якими розуміють розрахункові (умовні) струми, що замикаються тільки у своїх контурах.
Розглянемо схему кола на рис. 3.3. Розіб'ємо її на три дотичні контури й умовимося, що по кожному з них протікає свій контурний струм II, III, IIII. Напрямок цих струмів задамо за годинниковою стрілкою. Зіставляючи контурні струми із струмами гілок, напрямок яких також нанесено на схему, можна встановити, що величини контурних струмів збігаються з величинами дійсних струмів тільки в зовнішніх гілках:
Ii = Ii, Iii = - I6 , Iiii = I3 . (3.10)
|
E |
|
R3 |
|
Рис. 3.3 - Схема складного кола для визначення струмів за методом контурних струмів |
|
|
Струми ж суміжних гілок дорівнюють різниці контурних струмів сусідніх контурів:
I2= III - IHI,
14 = ii - hi-,
15 = Iiii - Ii. (3.11) Отже за відомими контурними струмами схеми можна визначити дійсні струми її гілок. Для знаходження контурних струмів даної схеми досить скласти тільки три рівняння для кожного з контурів:
для контуру I: (Ri + Ri0+ R5 + R4) II - R4 III - R5 IIII = Ei + E4 ;
для контуру II: «R + R6 + R4)• In - Ii - R^ Iiii = E2 - E4 ; (3.12)
для контуру III: (R + R5 + R3> Iiii - R5^ Ii - R2 Iii = E3 - E2 .
Розв’язуючи отриману систему рівнянь, знайдемо контурні струми, а за ними - дійсні струми гілок.
Метод контурних струмів часто використовують для доказу інших можливих методів розрахунку, для аналізу кіл у загальному вигляді. У цьому випа
дку рівняння контурних струмів записують в узагальненому вигляді. Для цього сумарний опір даного контуру позначають двома нижніми індексами, що вказують номер контуру, і називають його власним опором контуру.
Так, власні опори трьох контурів схеми дорівнюють:
Rii = Ri + Rio + R5 + R4 ;
R22 = R2 + R6 + R4 ; (3.13)
R33 = R2 + R5 + R3 .
Загальні опори суміжних контурів розглядають як коефіцієнти при струмах і позначають двома нижніми індексами, що вказують, між якими сусідніми контурами включений цей опір. Наприклад, для розглянутої схеми
Rl2 = R4 , R13 = R5 , R23 = R2 • С3.14)
З огляду на ці позначення рівняння (3.12) можна переписати у загальному вигляді:
Rii' Ii - Ri2^ Iii - Ri3^ Iiii = Ei ;
- R21^ II + R22' III - R23' IIII = EII ; (315)
_- R3i^ II - R32 III + R33^ hn = EIII.
ЕРС у цих рівняннях
|
EI = Ei + E4 , Eii = E2 - E4 і EIII = E3 - E2 (3.16) є контурними ЕРС, величини яких визначають алгебраїчним підсумовуванням окремих ЕРС гілок даного контуру. При цьому ЕРС, що збігаються з напрямком контурного струму, підсумовують із знаком "плюс". Матрична форма запису системи (3.15) має вигляд
|
. . (3.17)
де коефіцієнти матриці-стовпця контурних ЕРС визначають співвідношеннями
(3.16) . У загальному випадку для схеми довільної конфігурації система рівнянь контурних струмів має вигляд
RI = E, (3.18)
де R - квадратна матриця коефіцієнтів при невідомих контурних струмах; I -
матриця-стовпець невідомих контурних струмів; E - матриця-стовпець контурних ЕРС.
Розв’язання системи рівнянь (3.18) має вигляд
I = R-1E, (3.19)
де R-1 - матриця, зворотна матриці коефіцієнтів R.
