ЭКСТРУЗИОННЫЕ головки ДЛЯ ПЛАСТМАСС И РЕЗИНЫ
Уравнение энергии
Закон сохранения энергии для объемного элемента, через который наблюдается течение, может быть сформулирован аналогично закону сохранения импульса [ I ]:
|
Изменение внутренней и кинетической энергии за единицу времени |
Возрастание внут - Потери внутренней и
|
кинетической энергии вследствие конвекции за единицу времени |
ренней и кинетической энергии за единицу времени
|
(4.12) |
Изменение внутренней энергии за счет проводимости за единицу времени
Работа, выполняемая системой над окружающей средой за единицу времени
Изменение внутренней энергии за счет источников тепла за единицу времени
Кинетическая энергия трактуется как энергия, непосредственно связанная с движением жидкости. Внутренняя энергия интерпретируется как энергия, непосредственно связанная с движением молекул и межмолекулярным взаимодействием; она зависит от локальной температуры и от плотности жидкости.
Вывод уравнения энергии для декартовой системы координат можно найти, например, в работе [ 1 ]. Это уравнение выглядит следующим образом:
(4.13)
|
д dt |
|
а Н у ду у |
|
р U + — pv2 |
|
дх^х |
|
1 , PE/ + - PV2 |
|
1 , pU + — pv2 |
|
1 Л а ри+2 pvT&v* |
|
(дЯх д% dq 1 — -|------------ дх ду dz j |
( а а а + р(ухёх+V*+ VA) p''/*+typ' vy V p
|
+ ф. |
^ (w+Txyvy + w)+ jy (туЛ+VV+ + &(T^ + Vv + w)
|
В обобщенной векторной символике уравнение принимает вид: а |
|
( 1 -0 |
( 1 ^ |
||
|
- |
V pv |
t/+-V2J |
|
|
_ |
|
dt |
|
Изменение энергии за единицу времени па единицу объема |
|
Vq + |
|
Изменение энергии за Изменение энергии за единицу времени на единицу единицу времени на единицу объема за счет конвекции объема за счет теплопровод ности |
|
(4.14) |
|
+ рОЪ) |
|
V(p-v) |
|
V(t-v) + |
|
Ф- |
|
Изменение энергии за единицу времени на единицу объема за счет сил гравитации |
Работа сил Работа в единице Изменение внутреи-
давления в объема за единицу ней энергии за счет
единице объема за времени вследствие внешних источни-
единицу времени сил вязкости ков тепла
Здесь q — вектор потока тепла (с компонентами qx, qy, qz), a v2 = ?х + v* + v^.
После преобразования в субстанциальную форму уравнение (4.14) приобретает вид [1]:
D ( 1 Л
р—|^У + —v2 = - V<f + p(yg) - V/?v - V(tv) + ф. (4.15)
|
D(i |
Как было показано в работе [1], вычитая из этого уравнения выражение
,получаем
|
DU ' Dt |
|
-V? Изменение энергии на |
|
p(Vv)- |
|
Восстанавливаемая часть |
|
Изменение внутренней г - --------- энергии на единицу объема единицу объема за единицу работы па единицу объема за |
|
единицу времени за счет сжатия |
|
времени вследствие теплопроводности |
|
за единицу времени |
|
(4.16) |
|
Ф - Изменение энергии в единице объема за единицу времени за счет источников тепла |
|
- (т : V v) Невосстанавливасмая часть работы в единице объема за единицу времени за счет диссипации энергии вследствие вязкости (работа сил трения в текущей среде) |
|
Диссипационный член выглядит следующим образом: |
|
’X ^ + —- ду дх |
|
dv. |
|
dvv |
|
т : Vv = xvv —— + —— + т__ —— хх дх уу ду 22 dz |
|
+ т |
|
(4.16.1) |
|
•г + fO дх dz |
|
dv. |
|
dv.. dv. |
|
+ т. |
|
+ т |
|
-уг |
|
dz |
|
дУ |
|
Во многих случаях уравнение энергии (4.16) удобнее формулировать в терминах температуры и удельной теплоемкости вместо внутренней энергии. Как показано в работе [1], при постоянном давлении: |
|
dU= с dT-pdv |
|
(4.16.2) |
|
где vp — удельный объем. Следовательно |
|
DU |
|
DT |
|
(4.16.3) |
|
Р — “ f^p — - РР — Dt ^ Dt Dt |
|
При этом |
|
DT дТ — - — + (v • V)T, Dtdt |
|
(4.16.4) |
|
что вытекает из определения субстанциальной производной |
|
Dvv 5vv р— = р — +P(v-V)v Dt dt 1 |
|
(4.16.5) |
|
а также |
Из уравнения (4.16) получаем
|
(4.17) |
дТ _ _
рср — + (v-V)T = - Vq-i: W + ф.
В соответствии с законом теплопроводности Фурье вектор теплового потока пропорционален изменению температуры:
(4.18)
|
(4.19) |
рср — + (v - V)T = - X V*T - т : Vv + ф.
Уравнение (4.19), пригодное для расчета температурных профилей течений в экструзионных головках, кроме диссипативного члена содержит еще один член, ф, учитывающий влияние дополнительных источников тепла. Этот член следует принимать во внимание, например, в случаях, когда в процессе течения происходит химическая реакция с выделением тепла. При моделировании процессов, протекающих при переработке термопластичных материалов, этим членом обычно пренебрегают. Однако при рассмотрении композитных материалов, образующих поперечные связи, может возникнуть необходимость учета данного члена.
