Двигатели стирлинга

АНАЛИЗ ИДЕАЛЬНОГО ЦИКЛА ПРИ НЕПРЕРЫВНОМ ДВИЖЕНИИ ПОРШНЯ

Используя расчетные результаты, представленные в гл. 2, можно без особого труда оценить влияние непрерывного дви­жения поршня на характеристики идеальных циклов, но если учесть эти эффекты, то одновременно можно существенно обоб­щить анализ, приняв во внимание тот факт, что не все рабочее тело проходит через одну и ту же серию термодинамических состояний. С учетом обоих этих факторов получается классиче­ский анализ Шмидта работы двигателя Стирлинга. Анализ Шмидта правильнее было бы называть методом Шмидта. Этот вопрос рассматривается в приложении А, где дается полное опи­сание указанного метода. Метод Шмидта можно применять для анализа характеристик как непосредственно, так и в качестве составляющей более строгого раздельного анализа; это будет объяснено ниже в этой главе. В данном случае мы рассмотрим первый вариант. Процессы, происходящие в рабочих полостях переменного объема, могут быть изотермическими или адиабат­ными. Однако если принять изотермическую модель, то можно получить замкнутые математические решения, т. е, решения, не требующие применения численных методов для получения окончательных результатов.

В оригинальном анализе Шмидта [15] применялись изотер­мическая модель и соответствующие термодинамические харак­теристики идеального цикла Стирлинга. Предполагалось, что происходит идеальное течение рабочего тела, т. е. без падения давления, и что процесс регенерирования также протекает иде­ально. Система двигателя была разделена на три части и для каждой из них применялось свое уравнение состояния, которым был и пока остается закон для идеального газа, хотя, как по­казано Органом [16], можно использовать и другие соотноше­ния. Поскольку в замкнутой системе масса рабочего тела по­стоянна при любом положении поршня, можно вывести уни­версальное соотношение, связывающее все три полости. К этим полостям относятся:

1) полость расширения переменного объема Е

2) полость сжатия переменного объема С;

3) мертвый объем D.

Массы газа в этих полостях связаны следующим соотноше­нием:

MT = ME + MC + MD, (3.15)

Где М — масса.

Мертвый объем — это полость, не охватываемая поршнями при их перемещении; он включает в себя объемы нагревателя, холодильника, регенератора, зазоров в цилиндре и соединяю­щих каналов. При желании сам мертвый объем можно подраз­делить на отдельные элементы. Однако для простоты восполь­зуемся соотношением (3.15). Поскольку применяется закон для идеального газа, массу газа в каждой полости можно выразить формулой

М — pV/{RT). (3.16)

Температуру газа в мертвом объеме нужно определить, и это можно сделать различными способами, как описано в при­ложении А. Для удобства будет применяться следующее соот­ношение:

Td = (Te + Tc)/2. (3.17)

В таком случае, используя отношение температур определен­ное в гл. 2, получаем

То^Тс^-. (3.18)

Теперь можно найти переменные объемы полостей в зависи­мости от рабочих объемов и угла поворота кривошипа, а мерт­вый объем можно выразить как часть рабочего объема расши­рения:

VE=VSEf{f), (3.19)

Vc = kVSEf{f-a), (3.20)

VD = XVSE• (3-21)

Подставив эти выражения совместно с выражениями (3.16) — (3.18) в равенство (3.15), можно получить соотношение для переменного давления в ходе цикла. Давление будет одинако­вым во всех полостях, поскольку падение давления отсутствует. Находим

MTRTC

Р = VSE [If (0) + kf (0 - А) + 21X1 (I + I)] ■ (3-22)

Затем можно найти работу, совершаемую в полостях расши­рения и сжатия, применяя общее термодинамическое соотно­шение

Работа =jpdV. (3.23)

Этот интеграл можно легко вычислить, так как и р, и V яв­ляются функциями угла поворота кривошипа. Кроме того, по­скольку система считается изотермической, справедливы ра­венства

We = Qe, (3.24)

Wc = Qc, (3.25)

И можно показать, что

Qc = - IQe- (3.26)

Следовательно, если задано движение поршня, можно найти перенос тепловой энергии и работу. Чтобы получить решения, необходимо применить методы численного интегрирования. Если используется приближение о чисто синусоидальном движении, то переменные объемы для двигателя модификации альфа вы­ражаются соотношениями (2.89) и (2.90). Для двигателей дру­гой модификации эти соотношения будут несколько видоизме­ненными, как показано в приложении А. Если использовать это приближение, то получаются следующие соотношения:

Изменение давления

„___ Ртах (1 о) /о

Р— 1 + 6 cos (Ф — G) • {6-Z'>

Перенос энергии

Ртах ^SE11 Sin 6 (1 — 6)1/2

Qe=We= (1+6)1,2[l + (l_62)l/2] . (3.28)

П W/ Ртах MVsBn Sin (6 - а) (1 - 6)'/2

Wr (полезная работа) =--------------- -- + 6)1/2[l + (l • (3-30)

Массовые расходы

Из уравнения сохранения массы можно найти массовые рас­ходы в различных полостях, используя соотношение

„■. dM d<f> /о о I

Где d<f>/dt — скорость вращения вала. Массовый расход в мерт­вом объеме можно найти по формуле

MD = -(ME + MC)• (3.32)

Производная Мт равна нулю, так как величина Мт постоянна по времени. Поэтому массовые расходы выражаются соотно­шениями

• VSBPmАх (1 - 6) g {Ь [sin (Ф - 6) - sin 6] - sin Ф) О)

Ме~ 2/?3™с [1+6 cos (Ф-G)]2 '

• WSeP™* ~ 6> <6 Tsin (» - + S!" ~ еН ~ Sin (» ~ Д» ю

Мс— 2RTC[ + Ь Cos (Ф - Б)]2 • V-6*'

Где ю —угловая скорость вращения.

Эти соотношения действительно очень полезны. Выходную мощность идеализированного двигателя можно рассчитать по формуле (3.30), и обычно ожидают, что грамотно сконструиро­ванный двигатель развивает мощность, равную по крайней мере трети этого «идеального» значения. Можно определить идеаль­ную величину перенесенной энергии QE и идеальную тепловую нагрузку на холодильник Qc■ Значения массовых расходов не­обходимы для последующих расчетов теплообменников, посколь­ку они позволяют найти коэффициенты теплоотдачи и коэффи­циенты аэродинамического сопротивления. Расчетное значение КПД, полученное с помощью данного метода, совпадает с КПД идеального цикла Стирлинга или цикла Карно, как и предпо­лагалось в анализе. Мгновенные значения тепловых потоков в рабочих полостях можно рассчитать, применяя уравнение энергии к течению в этих полостях, что особенно важно для регенератора, так как можно найти величину параметра и определить тепловую нагрузку на этот элемент конструкции.

Мгновенные значения потоков в горячей и холодной поло­стях определяются с помощью уравнения энергии для неста­ционарного течения в рабочих полостях [2], и окончательные уравнения являются фактически дифференциальными эквива­лентами соотношений (3.28) и (3.29) соответственно. Найден­ные значения потоков позволяют рассчитать максимальные теп­ловые нагрузки. Аналогичным образом определяется тепловой поток в регенераторе. Величины тепловых потоков описываются соотношениями

_ PmaxVS^£ ~ 6> <1 + Cos Tsin <» ~ е» Ю ,оогЧ

ЧЕ1--------------------------------------------- 2 [1 +6 cos (0-е)]2 •

_ _ PmaVSEM (1 - 6) [1 + cos (0 - a)] [sin (<Ф - 0)] (О

^С/— 2[1 +6 cos (0-0)]2 т ~~'

Q^^^Uic + MEr1)-- Ртох О ~ 6> XVSB sin (0 - 6) [VfR + V (VfH + ^К)] "

(Y— 1) [1 + 6 cos (0 — б)]2

(3.37)

Члены, стоящие в квадратных скобках в числителе соотно­шения (3.37), выражают величины мертвого объема в отдель­ных теплообменниках (приложение А). Поскольку во все эти соотношения входят только основные рабочие и термодинамиче­ские параметры, а также геометрические характеристики, тре­буется очень немного данных, чтобы провести расчеты и быстро оценить влияние различных параметров, по крайней мере, на выходную мощность. Однако следует отметить, что результаты расчета переноса энергии не зависят от типа рабочего тела, так что при скорости вращения вала более 1000 об/мин легче по­лучить расчетные значения мощности для водорода и гелия, а не для воздуха. Но величины массовых расходов зависят от характеристик используемого рабочего тела, и именно по этой причине они так важны для дальнейших расчетов. В анализе Шмидта предполагается, что выходная мощность двигателя Стирлинга зависит от нескольких рабочих и геометрических ха­рактеристик:

Индикаторная мощность = F (|, рср, a, X, K, N), (3.38)

Где N ■—скорость вращения вала.

На рис. 3.2 показано влияние различных параметров на ин­дикаторную мощность. Разумеется, чтобы создать оптимальный

Двигатель, нужно одновременно учесть влияние всех этих фак­торов, и, поскольку это является скорее конструкторской зада­чей, методы, позволяющие выполнить эту задачу, будут рас­смотрены ниже.

Метод Шмидта можно обобщить, если применить адиабат­ную модель процесса на основе анализа псевдоцикла. При ис­пользовании этой модели рабочий объем делится не на три, а на пять частей. Считается, что процессы, происходящие в ра­бочих полостях переменного объема, являются адиабатными, а в теплообменниках — по-прежнему изотермическими, хотя предполагается, что стенки регенератора являются теплоизоли­рованными, чтобы обеспечить идеальную регенерацию. Все предположения, использованные при анализе изотермических процессов, сохраняются, за исключением, разумеется, исходной модели процесса расширения и сжатия. Этот анализ известен под названием полуадиабатный, и он имеет такое же отношение к псевдоциклу, как изотермический метод Шмидта к идеаль­ному циклу Стирлинга.

Полуаднабатный метод не приводит к замкнутым решениям, и получить необходимые результаты можно лишь с помощью итерационных численных методов. Чтобы вывести уравнения, которые можно решить, было использовано понятие «условная энтальпия». Оно означает, по существу, что рабочему телу, про­ходящему границу между двумя отдельными объемами, припи­сывается температура той полости, из которой оно вышло, т. е. температура, и, следовательно, энтальпия рабочего тела зависят от направления, в котором оно перемещается. Вывод основных уравнений и методика их решения подробно рассмотрены в ра­ботах [2, 17], в которых представлены также программы чис­ленного расчета на алгоритмическом языке Фортран. Конечно, полуадиабатный метод значительно сложнее изотермического, но, как и в случае псевдоцикла, с его помощью удается полу­чить более правильные результаты. В справочниках для кон­структоров [6, 18] и в диссертации [2] подробно обсуждаются оба метода и проводится их сравнение. В полуадиабатном ме­тоде не используется КПД цикла Карно, так что он позволяет определить реальное значение индикаторного КПД. Эти методы часто называют методами второго порядка. Они применимы к любым модификациям двигателя Стирлинга. Различие между двигателями — применение различных поршней (жидкого, сво­бодного, твердого) —учитывается при описании переменных объемов [18, 19].