Железобетон

Напряжения в бетоне и арматуре в сечениях с трещиной

Рассмотрим изгибаемый элемент двутаврового сече­ния после образования трещин (рис. VII.11). Бетон

6ІСЛ£ *Sc Nb+NsС

Рис. VII.11. К определению напряжений в бетоне и арматуре эле­мента таврового сечения с полкой в сжатой зоне

Ч

M

*ъАьш

<М

>5 «а

Растянутой полки в сечении с трещиной не работает. Начнем с анализа напряженного состояния при отсутст­вии предварительного напряжения. Будем исходить из следующих положений:

В зоне чистого изгиба средние сечения, располо­женные между трещинами и испытывающие слева и справа симметричные воздействия, после изгиба остают­ся плоскими;

Зависимость между высотой сжатой зоны в сече­нии с трещинами х и средней высотой сжатой зоны вы­ражается эмпирической формулой

0,7

ІООц+1 '

(VII. 78)

Ер = =1-

Хе

3) участок бетона растянутой зоны над трещиной в. Расчете не учитывается; влияние этого участка в неко­торых случаях существенно, одчако необходимые дан­ные для практического учета этого фактора пока не на­коплены.

Исходя из этих положений, выразим напряжения в бетоне и арматуре сжатой зоны сечения с трещиной че­рез напряжения в растянутой арматуре оа и определим высоту сжатой зоны. Деформации бетона сжатой зоны у края сечения

Е _£ьт =—£а__ в Ї—(vn<79)

% H — Xm % (Fh0 — X I|)6 Напряжение в бетоне у края сечения

О = е. = —— —~^ <v, (VII.80)

6 6 фЛ0 — [1] уфь

Напряжение в сжатой арматуре на расстоянии а' от края

А; = Eb eb = JLZ3SL JL 0s. (VII.81)

6 b *m фЛ0 — X

Запишем уравнение равновесия внутренних усилий в сечении с трещиной:

А8л8-аьль(0-а;л;=0, (VII.82)

Где

Аь = Bx + (B'F — B) H'F; (VII.83)

Ю — коэффициент полноты эпюры напряжений бетона сжатой зоны; сведения о вводимой в расчет ширине сжатой полки bf изложены в гл. III.

/

ФH0 — K Vi|>B S 6 Fh0—X І|>ь

Подставим в уравнение (VII. S2) значения аь и As по (VII.80), (VI 1.81):

(VII. 84)

Уравнение (VII.84) после умножения его на (ф/г0— —X)LoABho, подстановки значения Ль и преобразования приводится к квадратному уравнению относительно вы­соты сжатой зоиы:

Где Р = |т|>ь/(0Хьг|>5; (VII. 86)

Ф, = [(&;- 6) Л) + (vA„) As]/bh0. (VII.87)

Разделив уравнение (VII.85) на Hi и отбросив в сво­бодном члене значение ц'а'/цЛо как малое в сравнении с единицей, получим

S2H-(P + v')i —Рф = 0; (VII.88)

Отсюда относительная высота сжатой зоны в сечении с трещиной

(VII. 89)

Если высота сжатой зоны окажгтся X<Hf, ее следует определить вторично, рассматривая сечение как прямо­угольное с шириной сечения Bf.

Обратим внимание, что произведение ыХь в формуле (VII.86) при кратковременном действии нагрузки слабо зависит от формы эпюры нормальных напряжений бе­тона сжатой зоны. Напри­мер, при прямоугольной эпюре напряжений <о=1, и поскольку такая эпюра на­пряжений вызвана развити­ем неупругих деформаций, коэффициент А, ь=0,5; следо­вательно, (oJls=0,5. При тре­угольной эпюре напряжений в прямоугольном сечении ш = 0,5 и коэффициент Хь = = 1; следовательно, и в этом случае шА, й = 0,5. Поэтому при определении высоты сжатой зоны для удобства расчета принята прямоугольная эпюра напряжений (см. рис. VII.11).

При длительном действии нагрузки под влиянием ползучести бетона сжатой зоны нейтральная ось пере­мещается и высота сжатой зоны увеличивается (рис. VII.12).

Рис. VII.12. Увеличение высоты сжатой зоны с течением време­ни

Нормы рекомендуют принимать приближенно высоту
сжатой зоны в сечении с трещиной одинаковую при крат­ковременном и длительном действии нагрузки и опреде­лять ее для изгибаемых и внецентренно загружённых эле­ментов (предварительно напряженных и без предвари­тельного напряжения) по эмпирической формуле

І=іЯі,8+1 + 5(6 + 7Ти h*±3L—t (VII.90)

Но не более 1. Для второго слагаемого правой части формулы (VII.90) верхние знаки принимают при сжи­мающем усилии Nm, нижние знаки —при растягиваю­щем усилии Ntot.

В формуле (VII.90) фу определяют по формуле (VII.87); для предварительно напряженных элементов вместо A'S принимается A'Sp, значение Хь — отвечающее кратковременному действию нагрузки; согласно нормам, ХЙ==0,45;

T = Y'{-Hf№0) (VII.91)

В формулу (VII.91) для прямоугольных сечений вместо А/ подставляют 2а';

6 = Ma/Bf%RbtSer, (VII.92)

Где Ма — заменяющий момент, т. е. момент относительно оси, прохо­дящей через центр тяжести растянутой арматуры, от внешних сил и усилия предварительного обжатия Р, определяемый по формулам:

Для изгибаемых элементов

Ms = М+Реар (VII. 93)

Для внецентренно сжатых и внецентренно растянутых элементов

Ма = Ne + Pesp-, (VII. 94)

Е3р — расстояние от точки приложения усилия предварительного об­жатия Р до оси, проходящей через центр тяжести растянутой арма­туры; е — расстояние от точки приложения усилия от действия внеш­ней нагрузки N до оси, проходящей через центр тяжести площади растянутой арматуры.

Высоту сжатой зоны в сечении с трещиной по приве­денным формулам определяют приближенно, однако на результаты расчета раскрытия трещин, кривизн, проги­бов и т. п. во многих случаях это не оказывает сущест­венного влияния.

Плечо внутренней пары сил для таврового сечения при прямоугольной эпюре напряжений в бетоне сжа­
той зоны равно расстоянию между усилием в растянутой арматуре и равнодействующей усилий в бетоне и арма туре сжатой зоны (см. рис. VII.11). Его можно опреде лить из отношения статического момента площади при веденного сечения сжатой ЗОНЫ Sred относительно оси проходящей через центр тяжести растянутой арматуры к площади приведенного сечения

Г_ Sred _Sh+(vAbKK-fl')

Zl Ared (<Pt + І) BK

После преобразований

' Fa/Hp) Ф, + Г 2(Ф/ + 8

Напряжение в бетоне сжатой зоны в сечении с трещиной найдем из равенства моментов внешних сил и усилия предварительного обжатия Р моменту внутренних уси­лий относительно оси, проходящей через центр тяжести площади растянутой арматуры,

Ms = Ob (Ф/ + І)іА0 Zi, (VII. 96)

Отсюда

<гь = ЛШГ' + 0 4Ао *iJ = MJWC. (VII. 97)

Знаменатель выражения (VII.97) представляет собой упругопластический момент сопротивления после обра­зования трещин по сжатой зоне

Wc — (ф/ +1) Bh0 Zf. (VII. 98)

Приращение напряжения в растянутой арматуре, после того как момент внешних сил превысит момент усилия предварительного обжатия, найдем из уравне­ния моментов в сечении с трещиной. Момент внешних сил и усилия предварительного обжатия относительно оси, проходящей через точку приложения равнодейст­вующей усилий бетона и арматуры сжатой зоны, равен моменту внутреннего усилия

Ms — Ntot Zi = As Zi і (VII.99)

Отсюда

= (М5 — NM z^/Asp Zi. (VII. 100)

Знаменатель выражения (VII.100) цредставляет со­бой упругопластический момент сопротивления после образования трещин по растянутой зоне:

(VII. 95)

Zi — Л„

Wa = AaPZi или №8 = л8гх. (VII. 101;

Формула (VII. 100) после подстановки значения Ма по (VII.93), (VII.94) и с учетом значения Nioi по (VII.71) принимает вид:

Для изгибаемых элементов

<xs = [М - Р (zi - Esp)]/Ws-, (VII. 102)

Для внецентренно сжатых элементов

0S = [JV (е— гд -P(Zi- EsP)]/Ws; (VII. 103)

Для внецентренно растянутых элементов

As = [JV(* + 2l)-P(zi-*sp)]/ttV (VII. 104)

Для внецентренно растянутых элементов при EA,Tot< <0,8 h0 значение os определяют по формуле (VII. 104), принимая гх равным Zs — расстоянию между центрами тяжести растянутой и сжатой арматуры.

Для изгибаемых элементов без предварительного на­пряжения:

<хь = Af/Wc; (VII. 105)

Os = M/Ws. (VII. 106)

Полученные значения as подставляют в расчетные фор­мулы при определении ширины раскрытия трещин.

4. Расстояние между трещинами

Приращение напряжений в растянутой арматуре, пос­ле того как момент внешних сил М превысит момент

Усилия предварительного об­жатия Мгр в сечении с тре­щиной as, crc (как только она появилась), найдем из усло­вия, что при переходе сече­ния из стадии I в стадию II изгибающий момент один и тот же Mere■ Тогда с учетом выражения (VII.29)

Os. crc = (МСГС — Мгр)/Ws = = Rbt,SerWpl/Ws. (VII. 107)

3FVOpO?C

-Эпюра т.

Рис. VI 1.13. Напряженное со­стояние изгибаемого элемента при образовании трещин

Расстояние между тре­щинами в зоне чистого изги­ба lav, найдем, как и при
центральном растяжении, из условия, что разность уси­лий в растянутой арматуре в сечениях с трещиной и ме­жду трещинами уравновешивается усилием сцепления арматуры с бетоном (рис. VII. 13). Тогда, согласно урав­нению (VII.68),

(о8р + аз, сгс) Л3р — (а3р + 2VRbtlser) Аср = тс Alcrc со,

После подстановки значения As,Crc по (VII.107)

(Wpl/W3 - 2v) %,8ЄГ А,Р = тс Alcrc <■>. Отсюда расстояние между трещинами

/сгс = (Wpi/VW, - 2) VuRbt,Ser/°>Тс (VII • 108)

Или

LCTC = K1Vu ті; (VII. 109)

K^WpihW^-li (VII. 110)

Где и, г) имеют такие же значения, как н в (VII.70) при центральном растяжении.

Расстояние между трещинами в элементах без пред­варительного напряжения также определяют по формуле (VII. 109).

5. Закрытие трещин

Закрытие трещин, нормальных и наклонных к про­дольной оси элемента, должно быть обеспечено в пред­варительно напряженных конструкциях, отвечающих тре­бованиям 2-й категории трещииостойкости. Это обуслов­лено тем, что для коррозии арматуры наиболее опасно продолжительное раскрытие трещины. Если при полной нагрузке — кратковременной и длительной — образуются трещины, то при снижении нагрузки до длительно дейст­вующей они закроются лишь при условии, что арматура работала упруго, необратимые деформации не возни­кали.

Для надежного закрытия трещин, нормальных к про­дольной оси элемента, должны соблюдаться требования:

1) ®зР + °s < 0,8RStSer,

Где Стер — предварительное напряжение в арматуре с учетом всех потерь; а, — приращение растягивающего напряжения в арматуре от действия виешинх нагрузок; K — коэффициент, принимаемый: для высокопрочной проволочной арматуры равным 0,65; для стержневой арматуры — 0,8;

2) сечение с трещиной в растянутой зоне при посто­янной и длительной нагрузках должно оставаться обжа­тым с нормальными напряжениями на растягиваемой внешними нагрузками грани: аь^0,5 МПа.

Сжимающие напряжения аь определяют для упруго­го приведенного сечения от действия внешних нагрузок и усилия предварительного обжатия Р.

Для надежного закрытия трещин, наклонных к про­дольной оси элемента, оба главных напряжения amt= = Omc на уровне центра тяжести приведенного сечения должны быть сжимающими и по значению аь^0,5 МПа. Чтобы обеспечить это требование, может оказаться необ­ходимым создание двухосного предварительного напря­жения (с помощью напрягаемых хомутов или отогну­тых стержней).