ВОПРОСЫ ТЕОРИИ. И ИННОВАЦИОННЫХ РЕШЕНИЙ. ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ. ГЕЛИОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРАФОВЫХ ПОСТРОЕНИЙ

Теория графов - область дискретной математики, осо­бенностью которой является геометрический подход к из­учению объектов и явлений [2, 3]. Она связана со многими областями математики - теорией множеств, математиче­ской логикой, комбинаторикой и пр. При исследовании графов случайных процессов используются методы теории вероятности.

Характеризуя проблематику теории графов, можно от­метить, что некоторые направления приложения этой тео­рии имеют более комбинаторный характер, другие - более геометрический. К первым относятся, к примеру, задачи о построении графов с заданными свойствами. Геометри­ческий (топологический) характер имеют многие группы задач. К ним относятся графов отходы, имеющие приложе­ния в технических и экономических задачах, а также гра­фов укладка, которые используются при автоматическом проектировании.

В теории графов существуют специфические методы решения экстремальных задач. Для конечных графов, т. е. для графов с конечным множеством вершин и ребер, про­блема существования алгоритма решения задач, в том числе экстремальных, чаще всего решается положитель­но. Построение эффективных алгоритмов, находящих ре­шение с требуемой степенью точности, для теории графов имеет существенное значение.

Для решения задач математического моделирования, анализа и оптимизации энергетических систем обраща­ются к топологическим моделям системы. Они позволяют установить зависимость между изменениями технологи­ческой топологии и количественными характеристиками изучаемой системы от входных переменных, воздействую­щих на систему.

Можно выделить четыре группы потоковых графов энергосберегающих систем: параметрические потоковые графы (ППГ), материальные потоковые графы (МПГ), те­пловые потоковые графы (ТПГ) и эксергетические потоко­вые графы (ЭПГ). При решении оптимизационной задачи для энергосберегающих систем в первую очередь будем об­ращаться к параметрическому потоковому графу.

Параметрические потоковые графы - это взвешенные по дугам и вершинам связные орграфы, отображающие пре­образование элементами исследуемой системы параметров физических потоков системы. Вершины параметрических потоковых графов отображают элементы (технологические операторы) системы, а также точки стыковки технологиче­ских трубопроводов, источники и стоки физических пото­ков системы. Вес каждой вершины соответствует системе уравнений математической модели изучаемой установки. Дуги параметрических потоковых графов соответствуют физическим потокам (массы, теплоты, энергии) системы.

Эксергетические потоковые графы - это взвешенные по дугам связные орграфы, отображающие преобразование элементами рассматриваемой системы расходов эксергии потоков вещества и энергии, а также потери эксергии в элементах системы. Вершины эксергетических потоко­вых графов соответствуют элементам (технологическим), преобразующим расходы эксергии, а также источникам и стокам эксергии, дуги - потокам эксергии и потерям эксер­гии в элементах системы. Вес дуг равен расходам эксергии. Для каждой вершины эксергетических потоковых графов справедливо уравнение баланса эксергии.

Материальные потоковые графы - это взвешенные по дугам орграфы, отображающие преобразование элемента­ми (технологическими операторами) массовых расходов физических потоков системы. Вершины материальных по­токовых графов соответствуют технологическим операто­рам системы, которые трансформируют массовые расходы физических потоков; точкам стыковки трубопроводов; ис­точникам и стокам вещества физических потоков. Дуги материальных потоковых графов соответствуют физиче­ским потокам энергетической системы (ЭС).

Тепловые потоковые графы - это взвешенные по дугам связные орграфы, отображающие преобразование элемен­тами системы потоков теплоты энергетической системы. Вершины ТПГ отображают элементы (технологические операторы), которые изменяют тепловые расходы физиче­ских потоков, точки стыковки трубопроводов, источники и стоки теплоты ЭС. Дуги ТПГ соответствуют физическим потокам теплоты.

Следует подчеркнуть, что кроме внешних источников теплоты могут быть и внутренние (фиктивные), например тепловой эффект, вызванный экзотермической химиче­ской реакцией.

Матричное представление графов позволяет отобразить структурные особенности графов.

Граф можно отобразить при помощи следующих ма­триц: ветвей ||L||, смежности ||Н||, циклов ||М||, отсечений ||N||, инциденций ||S||.

Топологический метод составления системы уравнений базируется на анализе топологических особенностей пото­ковых графов.

Материальному и тепловому циклическому потоковым графом определенной энергетической системы соответ­ствует матричное уравнение вершин, составленное для по­токов по дугам графа:

l|S|| х ||С|| = 0, (2.3)

где ||S|| - матрица инциденций циклического потокового графа, имеющая размер (R ж е), где R - ранг матрицы; е - число дуг; ||С|| - матрица-столбец потоков ЭС размера (е х 1).

Вместо матричного уравнения вершин (2.3) можно со­ставить эквивалентное матричное уравнение отсечений:

l|N|| х ||С|| = 0, (2.4)

где ||N|| - матрица отсечений графа, имеющая размер (R ж е).

Топологический метод следует применять к материаль­ному потоковому графу и к тепловому потоковому графу.

Если уравнения для всех материальных и тепловых потоковых графов образуют совместно разомкнутую си­стему уравнений, то получают ациклический информаци­онный граф системы уравнений балансов энергетической системы.

Если уравнения связей рассматриваемого потокового графа образуют совместно замкнутую систему уравнений,
то получают циклический информационный граф системы уравнений балансов энергетической системы.

При решении задач расчета балансов энергетической системы, для которых справедливы системы линейных уравнений материальных и тепловых балансов, топологи­ческий метод позволяет разработать ациклический инфор­мационный граф системы уравнений балансов энергетиче­ской системы.

Для анализа сложных встречно направленных энер­гетических систем следует обращаться к иной стратегии анализа. Алгоритм оптимального анализа сложной энер­госберегающей системы, отображаемой многократным параметрическим потоковым графом, представляет собой упорядоченный по слоям вершин эквивалентный ацикли­ческий параметрический потоковый граф. Его получают из многоконтурного исходного графа в результате разрыва минимального множества особых дуг Q*. Это устанавли­вает порядок расчета математических моделей отдельных элементов энергетической системы, соответствующих вер­шинам параметрического потокового графа.

Необходимо в исходном ППГ определить множество особых дуг

Q* = (?!, q2,.... qp), Q*<= Q, Q* =p, p^m (2.5)

с минимальной суммой параметричностей.

Для энергетических систем основным критерием эф­фективности обычно служит преобразование потоков энергии в системе, а также термодинамическая степень совершенства функционирования системы в целом и ее от­дельных элементов. При таком выборе оптимума решение определяется условием минимальных потерь энергии в системе:

ЪЕ = min.

ПОТ