ВИБРАЦИОННЫЕ ПЛОТНОМЕРЫ

Расчет параметров механических резонаторов

В общем случае выходной частотный сигнал / первичного измери­тельного преобразователя является функцией истинного значения кон­тролируемого параметра р, вектора конструктивных параметров b и вектора условий q, в которых проводятся измерения:

/=F(p, b,q); ЬЄ Db q Є Dq.

Учитывая непосредственную связь между количеством получаемой при измерении информации и погрешностью, целесообразно принять в качестве критерия оптимальности при выборе конструктивных па­раметров преобразователя абсолютную погрешность измерения, по­скольку она удовлетворяет традиционным требованиям, предъявля­емым к критериям оптимальности, т. е. может быть количественно оценена, и выражается одним числом. Кроме того, абсолютная погреш­ность измерения плотности является эффективным показателем каче­ства работы прибора, однозначна в статистическом смысле, так как определенному набору геометрических параметров соответствует един­ственное значение функции цели. Немаловажно также, что выбранный критерий оптимальности имеет физический смысл.

86

Задачу параметрической оптимизации первичного измерительного преобразователя сведем к отысканию минимума результирующей по­грешности, определяемой выражением (3.28):

min Дп. п(р, b, q) = F(p, A,<p); b = Ia, kT, , b Є Db ; q = ^A, V ]•, q Є Dq,

где a — определяющий размер резонатора (внутренний диаметр труб­ки, радиус круглой пластины или срединной поверхности цилиндра); кт и ki — относительные толщина и длина колеблющихся элементов ре­зонатора; 'р — номинальное значение плотности среды.

Для решения задачи необходимо предварительно установить взаимо­связь отдельных составляющих результирующей погрешности с кон­структивными параметрами резонатора. . Воспользуемся формулой

(3.26) и запишем ее с учетом конкретного значения коэффициента у, характеризующего отклонение реальной упругой характеристики резо­натора от линейной (7 =80 ГПа/м) : Эквивалентная жесткость механического резонатора Сэ определяет­ся его видом и выражается следующими формулами [9, 39]: для трубчатого резонатора

Сэ = 192EI/13 w 9,4Edb(k* - 1)/Аг3;

для кругло пластинного резонатора

Сэ = 16я£7г30/12д2 (1 - v2) * А,6Еак-

для цилиндрического резонатора

Сэ = 2£7i30/0,27а2 » 1,АЕаЦ.

Установим связь составляющей общей погрешности преобразовате­ля Д^, обусловленной фазовыми сдвигами в системе возбуждения, с конструктивными параметрами резонатора. Обратимся* к форму­ле (3.27) и, используя соотношение (1.16), перепишем ее относительно коэффициентов поглощения ф и затухания а0 колебаний резонатора:

Найдем коэффициент поглощения ф = А £// £/, определив потенциаль­ную U и рассеиваемую AU резонатором энергию за цикл колебаний. Полная потенциальная энергия колебательной системы определяется через напряжения о статического прогиба. Так, для двухосного напря­женного состояния справедлива формула [40]

U = — f J S(a + al-2uoiai)dV,

2Е v

где V — объем резонатора; ог и о2 — главные напряжения на главных площадках.

Будем учитывать лишь нормальные напряжения в сечениях резона­торов, пренебрегая касательными ввиду их малости. Для перехода к одноосному напряженному состоянию достаточно положить о2 - 0.

Для определения потерь энергии за цикл колебаний резонатора вос­пользуемся формулой (1.17):

AU. = K0 J J J(a? + o)dV,

V

в которой К0 - коэффициент, зависящий от свойств материала, из ко­торого изготовлен механический резонатор.

Таким образом, коэффициент поглощения колебаний резонатора определится из соотношения

Проанализируем объемно-напряженное состояние резонаторов, схе­матично представленных на рис. 4.1. Напряжения в материале конструк­ций резонаторов во всех случаях связаны с функцией прогиба W.

Для трубчатого резонатора с жестко закрепленными концами, изоб­раженного на рис. 4.1, а у нормальные напряжения можно определить по формуле [39]:

d2W d2R

о = Еу = АЕу

dx2

в которой амплитудная функция R описьюается выражением (2.4).

При определении ф по формуле (4.7) можно воспользоваться при­ближенным выражением амплитудной функции в виде

R = 0,5(1-cos27rf); £=*//,

а интегрирование произвести в цилиндрических координатах у - г sin0; dV = lr drdf d0, где в — угол, отсчитываемый в окружном направлении сечения трубки; г — текущий радиус сечения трубки. В результате получим

ф = UAK0E2A(ksT-l)ldBk2(k^-l). (4.8)

Напряженное состояние круглопластинного резонатора (рис. 4.1, б) характеризуется нормальными напряжениями и а2, действующими соответственно в радиальном и окружном направлениях [39]:

Oi =

О, =

В этих выражениях амплитудная функция R соответствует равен­ству, полученному йз.(2.15):

R = 0,9486 [J0 (Xf) +0,0541/о (Xf)L f = г/а,

где /o(Xf) и (Xf) — бесселевы функции первого рода нулевого по­рядка с аргументом X (для первой основной частоты колебаний резо­натора Х = 3,196) [6].

Выражения отдельных составляющих, входящих в формулу (4.11), определяются видом механического резонатора и представляются сле­дующими равенствами:

для трубчатого резонатора

mo = —d(k —1) р0; 4

Подстановка этих соотношений в формулу (4.11) дает окончатель­ные выражения для определения отношения aQ/f: для трубчатого резонатора

где гвн — безразмерный коэффициент, характеризующий энергетичес­кие потери на внутреннее трение в материале резонатора; 6А и 6<р - относительные отклонения амплитуды и фазы колебаний резонатора от номинальных значений.

Выражения отдельных сомножителей, входящих в формулу (4.15), приведены в табл. 4.1.

Для расчета оптимальных геометрических параметров механичес­ких резонаторов по формуле (4.15) необходимо знать значения коэф­фициентов гвн и гм, характеризующих внутреннюю и внешнюю дис­сипации энергии. Коэффициент гвн =К0Е2 определяется лишь свойст­вами материала, из которого изготовлен резонатор, а коэффициент гм, связанный в основном с конструкционным гистерезисом, зависит от структуры и типа механического резонатора. Поэтому оба эти коэф­фициента должны определяться экспериментально для предваритель­но выбранного материала резонатора и его типа.