ВАКУУМНЫЕ ПОРШНЕВЫЕ НАСОСЫ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОЧЕГО КОЛЕСА И ЕЕ ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ

Теоретическая откачная характеристика рабочего колеса тур­бомолекулярного вакуумного насоса определяется, как сказано, максимальной быстротой откачки Smax при отношении давлений, равном единице, и максимальным отношением ттах давлений при быстроте откачки, равной нулю. Характеристика колеса зависит от отношения окружной скорости и скорости теплового движе­ния молекул, геометрии межлопаточного канала (угла а уста­новки лопатки или наклона паза, отношения ширины межлопа­точного канала к его длине), а также от закона взаимодействия молекул газа со стенками межлопаточного канала.

Построение теоретической модели перехода молекул газа через межлопаточные каналы или пазы рабочего колеса должно быть таким, чтобы при ряде допущений, существенно не иска­жающих сущности происходящих при откачивании газа явлений, оказалось возможным получение зависимостей для максимальной результирующей вероятности и максимального отношения давле­ний в форме, удобной для их теоретического анализа с целью определения оптимальной геометрии межлопаточного канала на заданные условия работы [14].

Величины потоков молекул газа, проходящего через рабочее колесо, во многом зависят от закона взаимодействия молекул со стенками межлопаточного канала или паза. Взаимодействие разреженных газов с твердой поверхностью часто удовлетвори­тельно описывается диффузным законом. В некоторых случаях, например при больших углах падения, закон отражения от шеро­ховатой поверхности близок к зеркальному, причем тем больше, чем больше скорость молекул.

Для описания взаимодействия молекул с поверхностью часто используют модель, предложенную Максвеллом, которую строят в предположении, что часть молекул о отражается от поверхности диффузно, а остальные (1 — о) — зеркально.

При построении теоретических моделей принимают, как пра­вило, следующие допущения: режим течения газа в рабочей по­лости молекулярный; распределение молекул по скоростям соот­ветствует закону Максвелла; движение молекул в канале рабо­чего колеса (т. е. в плоскостях, перпендикулярных торцовым по­верхностям колес) двухмерное; температура газа и внутренних поверхностей насоса не меняется в процессе откачивания; взаимо­действие молекул газа со стенками межлопаточного канала или паза при переходе на противоположные стороны рабочего колеса описывается диффузным или зеркальным законами, или тем и дру­гим одновременно.

Основные параметры откачной характеристики насоса при зеркальном законе взаимодействия молекул газа со стенками межлопаточного канала можно получить, рассмотрев теоретиче­ские модели, представленные на рис. 156.

Пусть молекула, относительная тепловая скорость которой С = V/VH меньше относительной скорости движения межлопаточ­ного канала сг = U/VH, попала в окрестность Dx точки D £ (ахх) (рис. 156, а). Молекула перейдет через межлопаточный канал, геометрические размеры которого удовлетворяют соотношению а b cos а, если вектор ее средней относительной скорости будет принадлежать области, ограниченной углом (я — 2ф). В этом случае с»

J cf (с) dc

CLcp — т, • J' f (с) dc О

Угол, при нахождении в плоскости которого вектора ср молеку­ла после столкновения со стенкой канала О^А отражается от нее на сторону /-/, ф = я/2 _ pv>

Где Рт = Arcsin ( —— Sin?) ;

clcp '

Х — 2A sin2 А у — arcsin. .

V (2A sin a cos а)2 + (х — 2A sin2 а)2

Вероятность того, что молекула, средняя относительная ско­рость которой с1ср, попав на участок ахъ перейдет со стороны I—I на сторону II—II,

Яи = р(0<с<с,)^М Ndx—J2 (Pdxj,

xt

-1

Где P (0 с Cj = | F (C) Dc Хг — значение X, при котором угол ф равен нулю 0

Или изменяется в зависимости от соотношения скоростей (сх и с1Ср) и геометриче­ских параметров канала (а, Ь, а):

^ я а при A Sz ;

Я

А при A<—G-, Я

*1 =

Аг при А<—, с>Л1>В1;

Я

Вг при а < , А1 ^ Bj

{At — значение х, при котором Clcp= CI S*N V> т- е - ПРИ всех х ^ Угол Ф = 0; Ах = 2A Sin A [Sin а Cos A V(C1/C1 ср)2 — 1; Вг—значение*, при котором ОБ = = ОС, т. е. изменяется функциональная зависимость <р= / (а, Ь, а, сл, с1Ср), Вл — 2А (а Cos А — Ь)/(2а Cos а — 6).

Если ^ Вг и л; < то молекула, попавшая в окрестность Dx точки D £ (хгхг), со средней относительной скоростью сг ср перейдет со стороны I—I на сторону II—II, если вектор ее ско­рости будет лежать в плоскости угла (л—2ф), где ф — значение угла ф при х < Вг (рис. 156, б):

Ф = - у - — pvl; pvl = arcsin sin Yi) ; Vi = arcsin -

V (A — X)2 — 2b (a — x) cos a + B2 '

Вероятность того, что молекула, средняя относительная ско­рость которой равна сг ср, попавшая на участок хгх2, перейдет со стороны I—I на сторону II—II,

Xi Xi

ndx— J 2tpdx,

Х2 Хг )

Где х2 — значение х, начиная с которого ф Ф 0:

А2 при Ах < В1ш А2^Вх,

Вг при Ах<Вх, А2> Вх, а ^ ;

Хг при а < —

(А2 — значение х, при котором сх ср= сд Siny1, т. е. при всех х А2 угол = = О, А2 = а — B cos а -(- ^ s'n а V(Ci!C ср)2 — !•

Молекула со скоростью с1ср, попавшая на участок х20 входа в межлопаточный канал OA, перейдет со стороны /—/ на сто­рону II—II, если вектор ее скорости будет лежать в плоскости развернутого угла я; вероятность перехода этой молекулы

Если тепловая скорость молекулы V > и (с > С]), то моле­кула, попавшая в окрестность Dx точки D £ (ах3) (см. рис. 156, а), перейдет со стороны I—I на сторону II—II, если вектор ее отно­сительной скорости с2 ср будет принадлежать плоскости угла

(у + Pi);

Со

J cf (с) dc

Саср = 5------------ J Pv = arcsin sin у) .

J f (с) dc

Ci

Вероятность перехода молекулы со средней относительной скоростью с20р, попавшей на участок ах3,

А

Ки = Р {сг <с < оо) -jL - J (у + Pv) dx>

X.

Где Xs = Вл—значение х, при котором углы у и pv меняют значения, т. е. О В = ОС.

Вероятность перехода молекулы со средней относительной скоростью с2 ср, попавшей на участок х30 входа в межлопаточный канал OA (рис. 156, б),

*ж

Кк = Р (сг < с < сю) -L- J (у, + р;,) Dx,

О

Где р'j = arcsin sin Vj ) .

С2Ср /

Таким образом, вероятность перехода молекул газа со сто­роны всасывания I—I на сторону нагнетания II—II

Кг зеР = Кгг + Кц + Ki3 + Ки + ^15 = 1

TOC o "1-3" h z A a Xt

J я dx — J 2ф dx — J 2г|)dx +

0 Xi x2 J

A x „ "j

X. D J

Аналогично определяется вероятность Кц аер перехода моле­кул со стороны нагнетания II—II на сторону всасывания I—I.

Пусть молекула, обладающая средней относительной ско­ростью сг ср, попала в окрестность Dx точки Юг £ (х4хб) входа в межлопаточный канал 01А1 со стороны II—II (рис. 156, е). Молекула перейдет на сторону I—I тогда, когда вектор ее ско­рости будет лежать в плоскости угла 2tp.

Вероятность того, что молекула, попавшая на участок х4хь Со средней относительной скоростью с10р, перейдет со стороны II—II на сторону I—I,

Л4

Kill = Р(0<с<сО —J<pdx,

Хъ

Где х4 — значение х, при котором для всех угол <р = 0:

А при А4^а; Хц= ■ Ац при а>А4>В1 . хъ при Ац Вг

(Ai — значение х, при котором С1СР = с1 Sin У, т. е. при всех х угол ф = 0, At = 2A Sin A [Sin А — Cos A LA(C1;/C1CJ))2 — 1]; хь — значение х, при котором угол ф меняет свою функциональную зависимость от соотношения скоростей и геометрических параметров межлопаточного канала:

' Вг при A4^s Вг; хъ= Аъ при А4 < Вц „ 0 при А4 <; 0

(Аь — значение х, при котором угол ф = 0, т. е. Clcp= Sin Vi. Аь = А — — B cosa — B sin a V(Cki cj>)2—1 (см. рнс. 156,6)].

Если молекула попадет на участок хьОг входа в межлопаточ­ный канал ОгАг со средней скоростью с10р, то вероятность ее перехода на сторону I—I (см. рис. 156, б)

Х.

Km = р (0 <с <ct) J pdx

Молекулы с относительной скоростью с > сх, попавшие в ок­рестность Dx точки Бг £ (ах3) (см. рис. 156, а) входа в межлопа­точный канал 01Л1, перейдут со стороны II—II на сторону /—I, Если векторы их скоростей с2ор будут принадлежать области, ограниченной углом у—а молекулы, попавшие на участок х30, Перейдут на сторону /—/, если векторы их скоростей будут лежать в плоскости угла Vi—Pvi-

В этом случае вероятность перехода со стороны II—II на сторону I—I

А х3

Кщ =p(ci<e<oo).

Таким образом, вероятность перехода молекул газа через межлопаточный канал со стороны II—II на сторону I—I

Ки зер = Кщ + Ки2 + Kus = р (0 < с < Сх) х

Xt хъ

<i)dx + ^dx + р{с1<с<°о)-±- X

О /

А хг П

О J

Если геометрия межлопаточного канала удовлетворяет соот­ношению а < fc/cos а, то зависимость углов ф, у и от соотно­шения скоростей и геометрических параметров межлопаточного канала не изменяется. Однако в этом случае х2 = хи Вх = О,

XS — Xt)

= 0. Следовательно, для межлопаточных каналов, пара­метры которых удовлетворяют соотношению а < ЫCos а, вероят­ности Ki зер и Ки зер соответственно равны:

Ki Зер = р (0<с ^Jta — 2 J ф^ +

А

+ р (ci <с < оо) JL j (Y _j_ p;) dx-,

0

Xt

KIiЗер = P (0 <C < CX) — j ф Dx +

О

A

+ p (Ci < с < оо) J (y - p^,) dx.

0

Результирующая вероятность перехода молекул газа через рабочее колесо при зеркальном законе взаимодействия их со стенками межлопаточного канала или паза

Ктах зер = Ki зер "

-Ки зер>

А максимальное отношение давлений

Тщах зер = Ki вер/К и зер-

Рассмотрим возможность перехода молекул на противополож­ные стороны вращающегося рабочего колеса насоса при т = 1 с учетом диффузного закона взаимодействия молекул газа со стенками межлопаточного канала. При этом за направление отра­жения молекул газа будем принимать преимущественное, совпа­дающее с нормалью к поверхности стенок межлопаточного канала рабочего колеса. При такой модели отражения молекул от по­верхности сохраняются средние характеристики отражения и зна­чительно облегчаются аэродинамические расчеты в разреженном газе. Близость суммарных результатов для лучевого и диффузного отражений оправдывает метод усреднения функций отражений молекул газа от поверхности [3].

Определим вероятность перехода молекул со стороны /—/ на сторону II—II при следующей геометрии межлопаточного канала или паза (рис. 157, а): ЫCos а а B cos а.

Пусть молекула попала в окрестность точки С £ Ах0. Как следует из рис. 157, а, молекулы, обладающие тепловой ско­ростью

Ci

| Cf (с) Dc Clcp = Tt »

J f(c)dc

О

Перейдут со стороны I—/ на сторону II—II, если вектор их сред­ней скорости будет лежать в плоскости угла 2ф—2я];. В этом слу­чае вероятность перехода молекул со стороны I—I на сторону II—II

2

Хо

Где Хг = а; х0= а — 6 Cos а -F- 6 Sin а ^(Cj/Cj ср)2 —1 при 6 Cos а > 6Sin а х X LA(Cl/Cl ср)2 _J — значение х, при котором сг ср= Ct Sin У, т. е. угол я]) = 0.

При 6 Cos а < 6 Sin А |F {рх1сх ср)2 — I х0= хг, так как = 0 во всей области изменения л: от 0 до а;

Ф = — Рг; ^ = -?Г — Pv;

Pi = Arcsin ( Sin i ) ; Py = Arcsin (—sin У ) ;

cicp / cicp J

(B — A cos a) sin a

I - arcsin

+ 2Д:(b — a cos a) cos a + (b — A cos a)2' Bsina

У = arcsin

У (a — X)2 — 26 (a — X)cosa+ i

Если молекула попала в окрестность Dx точки С £ (х0х4) со скоростью с1ср, то молекула перейдет со стороны I—/ на сто­рону II—II при условии, что вектор ее средней скорости будет лежать в плоскости угла 2ф.

Рис. 157. Теоретическая модель перехода молекул газа через межлопаточные каналы рабочего колеса с учетом диффузного закона взаимодействия

В этом случае вероятность перехода молекул со стороны /—I на сторону II—II

2 Х°

= р (0 < с < сг) — [ф Dx,

Где х4 — значение х, при котором сг ср = сх Sin I,

А при 0 ^ А ^ х0; О при А 0; Х0 при А^хО

[а = (Ь - A sin a) (sin а]/ - 1 - cos а) ] .

Если молекула попадает в окрестность точки С £ OA со ско­ростью с > сх (рис. 157, б), среднее значение отношения которой к наиболее вероятной скорости

J cf {с)

Ct

С2 op —

I dc

То она пройдет со стороны /—/ на сторону II—II при условии, что вектор ее средней скорости будет лежать в плоскости угла

(Y + Pv - * - Р»)-

Вероятность перехода молекул со стороны I—I на сторону II—II

Хх

Ян = р {Сх < С < оо)-^- j (Y + Pv - I - pf) Dx,

P (c1^c<oo) = | f (c) dc; Хг = А-, Хг = А—6 cos a; x3 = 0; P; =

= arcsin f—^i—sin I); pT = arcsin ( —-— sin У J .

C2 OP ' C2 Op '

Угол y в зависимости от геометрических параметров межлопа­точного канала может быть больше 90°. В этом случае вероятность перехода молекул

Г хг

Я13 = Р {Сх < с < «О-У f (Pv - * - Pi) dx +

Xy x%

+ ^ Y dx + J (n — Y) dx I.

Рассмотрим вероятность перехода молекул со стороны II—II на сторону /—I. Молекулы, обладающие скоростью с1ср, не пе­рейдут со стороны II—II на сторону I—I, если Сх £ {АхО^) (см. рис. 157, а). Тогда вероятность перехода молекул со стороны II—II на сторону I—/

ХJ

Яш = Р (Ci < С < оо) -L- J (Y — рт - I + р,) Dx,

Где хх = а; х3 = 0, Или

Lxs

XI || + ydx+ J (я — Y) dx .

Xz X*

Если молекула, обладающая скоростью 0 с < съ среднее значение отношения к VH которой сх ср попадает в окрестность точки С £ фХ0), то молекула не перейдет со стороны II—II На сторону /—I.

Молекула, попавшая в окрестность точки Сх £ (XD0L), перей­дет со стороны II—II на сторону I—/, если вектор ее средней теп­ловой скорости будет лежать в плоскости угла 2ч]? (см. рис. 157, б).

В этом случае вероятность перехода молекул со стороны II—II на сторону /—I

Km = Р (0 < с < Су) ~ J Ip Dx,

X,

Где х0 — значение х, при котором Ct Ср = сг Sin у; Х0 = а — Ft Cos а —Ft Sin а ср)2 — 1

При B cos а + Ft sin a r(cllc1 Cp)2 — 1 < A; X0 = X3 при B cos а -f- b sin a l/Vi/ci cp)2 — 1 > O.

Таким образом, значения общих вероятностей перехода моле­кул со стороны I—I на сторону II—II и обратно соответственно равны:

Kw = Кц + Кп + Л'та и KUn = Кш + Л'ш-

Рассмотрим геометрию межлопаточного канала или паза, когда а ^ B cos а. В этом случае

Ки, = 0.

При этом

Хг = а; = х3 = 0; х0 = A — B Cos а +

+ H sin а jA(Сл/С! op) — 1 при B cos а > B sin a V(Cxjc]_ cp)2 — 1; X0 — xx при b cos a <z b sin a ~f (cjci cp)2 — 1.

Тогда

Kin = Kn + Kj$ + КI3 и Kim — Кщ-

Если геометрия межлопаточного канала или паза удовлетво­ряет соотношению ЫCos а ^ а, то t = рг = 0. Тогда

Ki1 = p(0<c<c1)-^-f(f-^)dx,

Xq______

Где Xt = а; х0 = а — B Cos а + B Sin а V(сг/сг ср)2 — 1 при Ft Cos а > Ft Sin A ^(CJ/CJ Cp)Z — 1; х0 = хх при 6 Cos а < 6 Sin а V(CI/CI ср)2 — 11

Ка = Р (сх < с < оо) J (Y + Pv) Dx.

*8

X, Xi

Xi

Я//1 = р(0<с<оо)^ j (Y — Pv) Dx. При y>90°

X± Xi

J y dx-- ^ (it — Y) dx — j fly dx

L*i

*0

Я№ = p (0 < с < Cjl) — j Ф dx,

Где x2 — a — 6 cos а; x^ = 0;

X0 = a — 6 cos а — 6 sin a Vic^jcx cp)2 — 1

При A ^ b cos а + B sin а V(cilci Cp)2 — 11

X0 = X3 при A <c b cos а + B sin а V(Cxl^i cp)2 — 1*

Результирующая вероятность перехода молекул газа через межлопаточный канал или паз рабочего колеса с учетом диффуз­ного закона взаимодействия их с поверхностью

ЯгаахЛГ = Я/JV - Кцц, а максимальное отношение давлений

ТтахЛГ = ЯТ!ЯUN •

Как показали теоретические исследования, переход молекул газа через межлопаточный канал с учетом диффузного или зер­кального законов взаимодействия при двухмерном и трехмерном движениях зависит от площадей сечений межлопаточного канала на начальном и конечном радиусах. Из-за сравнительной их малости по отношению к площади боковых стенок или торцовой площади межлопаточного канала влияние площадей этих сечений на процесс перехода молекул газа пренебрежимо мало. Вследствие этого при определении основных параметров откачной характе­ристики рабочего колеса насоса процесс перехода молекул газа через межлопаточный канал правомерно рассматривать, при­нимая движение молекул двухмерным. При этом не изменяется сущность явления перехода молекул газа через межлопаточный канал и практически отсутствуют количественные различия, однако решение уравнений для определения основных пара­метров откачной характеристики значительно упрощается.

Таким образом, процесс перехода молекул газа через межло­паточные каналы рабочего колеса может быть выражен теорети­ческой моделью, в соответствии с которой их взаимодействие
Ftmax

А~в ~ Кгшк = F (и>«яУ- г~е ~ тшах = F ("/»н)

Со стенками канала или паза рассматривают одновременно с уче­том диффузного и зеркального законов.

В этом случае результирующая вероятность перехода молекул газа через межлопаточные каналы или пазы с одной стороны рабочего колеса на другую

Ягпах = ®NKMax N (1 °N) Ягпах зер,

Где о'Л7 — коэффициент, учитывающий долю молекул, переходящих через рабо­чее колесо насоса и отражаемых при взаимодействии с поверхностью стенок меж­лопаточного канала или паза по нормали; 1 — AN — число молекул, переходя­щих через рабочее колесо и взаимодействующих с поверхностью стенок межло­паточного канала или паза по зеркальному закону.

Тогда

Яшах = Кг — Кц, (7.3)

А максимальное отношение давлений в рабочем колесе

Тшах = Кг/Ки- (7.4)

Здесь

Ki = отКт + (1 — Ki зер; Яц = OIlNKlIN + (1 — ст1Ш) Кц зер,

Где Ki, КЦ— вероятность пере­хода молекул газа через межло­паточный канал со стороны /—/ на сторону II—II и обратно; сгцу и о'п N—коэффициенты, учитываю­щие долю молекул, переходящих через рабочее колесо насоса соот­ветственно со стороны /—/ на сто­рону II—// и обратно и отражае­мых при взаимодействии с поверх­ностью стенок межлопаточного ка­нала или паза по нормали.

Значения стш и ctIIw-при­ведены в работе [14]. На рис. 158, а—в приведены зависи­мости результирующей веро­ятности Кшах от u/vu при различных значениях а и Alb, определенные по уравне­нию (7.3), а на рис. 158, г— Е — зависимости ттах от Ulvn, Определенные по уравнению (7.4) для тех же значений а и Alb. В упрощенной теоретической модели (рис. 159), поясняющей процесс перехода молекул на противоположные стороны рабочего колеса, взаимодействие молекул газа со стенками межлопаточного канала рассматривают с учетом диффузного закона, при этом за направление отражения молекул принимают преимуществен­ное, совпадающее с нормалью к поверхности стенок канала. Кроме того, скорости всех молекул газа принимают одинаковыми и равными наиболее вероятной скорости VB теплового движения молекул.

В этом случае результирующая вероятность перехода моле­кул через рабочее колесо

Ктах = (Ф/ ор — Ф// cp)/tt = Ki— Kin (7.5)

Где Ki = Фг ср/"; Кц— Фи ср

Углы срг и фн характеризуют вероятности перехода молекул через межлопаточные каналы рабочего колеса со стороны пони­женного давления на сторону повышенного давления и обратно. Предполагая, что все молекулы, соударяющиеся с набегающей стенкой лопатки, переходят на сторону повышенного давления, а молекулы, соударяющиеся с уходящей поверхностью лопатки, переходят на сторону пониженного давления (рг = I = 0), сред­ние значения углов

Ф/ ср = Yep + Рт ср5 Ф// ср = Yep — Pv ер, (7-6)

Где Yep = «------ In | (а/6)2 — (2A/b) cos а + 11 +

. /, cos а Г я, .

""К1 ф~) [T"a+arctg ■/"(a/ft —cos a)2 + (1 — «2/o|)sin

(ы/%) sin a

■ cos a + i/^l — (ы2/г2) sin2 a

Alb — cos a + - yf (a/6 — cos a)2 + (1 — н2/»|) sin2 a

Яшах = 2pV0P/Jt. (7.7)

Максимальную быстроту откачки колеса определяют по урав­нению (7.2).

Максимальное отношение давлений в рабочем колесе насоса Ттах = ф/ ср/ф/; ср - (7.8)

Уравнения (7.7) и (7.8) для определения основных параметров откачной характеристики рабочего колеса насоса применимы при U/VH < 1,0 по принятому допущению.

В теоретической модели перехода молекул газа через межло­паточные каналы рабочего колеса, предложенной Савадой, Сузуки, Танигухи [23], принято диффузное отражение молекул от поверх­ности лопаток колеса, а также учтено влияние отраженных от корпуса насоса молекул на общее число молекул, проходящих через каналы рабочего колеса. Приведенные в работе результаты экспериментального исследования показали, что основные пара­метры откачной характеристики колеса насоса Sraax и тпшх с доста­точной степенью точности могут быть определены и без учета влияния молекул, отраженных от корпуса насоса.

Для колеса с лопатками бесконечной длины коэффициент, учи­тывающий часть молекул, перешедших со стороны всасывания на сторону нагнетания,

+0,5 +0,5

M12 = m12-f | Тх2Их dx + j my2,uvdy,

—0,5 —0,5

Где M12 — вероятность перехода молекул со стороны I—I на сторону II—II без соударений со стенками межлопаточного канала, основные геометрические раз­меры которого, отнесенные к его длине, показаны на рис. 160; тх2, MV2 — ве­роятность того, что молекулы, отраженные от участка Dx или Dy, переходят на
сторону II—II; Uxdx, Иу Dy — доля молекул, соударяющихся с участком Dx Или Dy в единицу времени, из всего числа молекул, попавших в межлопаточный канал со стороны /—I.

Вероятность перехода молекул

TOC o "1-3" h z S„ Г / —с Sin е,

= "2iT I ал^е-еои* 1+4- j е-'* Dtj

S=o L о /

Sine. -i

J Е-'2 Dt\ds,

N a

4 о

Где Sin 6i = — (s cos a — S^fa; cos 6x = Sin a/Г,; Sin 60 = — (s + Cos a)//•„; Cos 60 = Sin a/r0; rt — ]A(s cos a — S0)2 + Sin2 a ; R0 = ]/s + Cos a)2 + Sin2 a. Вероятность Mx2 Определяется По Уравнению

+0,5

Mx2 + J mX2F (x, y) dy = I — Dxl, -0,5

Где F (x, y) dy — доля молекул, соударяющихся в единицу времени с участком Dy, из общего числа молекул, отраженных от участка dx,

Ю, . . 1 Sin2 a ,

F(x, = °— 3/ dy,

2 [(* + У + S0 cos a)2 + Sg sin2 a] '

DX1 — вероятность того, что молекулы, отраженные от участка dx, перейдут на сторону 1—1 без соударения,

Х + 0,5 + s0 cos a

_(х + 0,5 + su cos a)2 - f s2 sin2 a]I/2 . Вероятность Tny2 — 1 — Tnx2.

Произведение

Я

Их Dx = — Г ( °г— е-®8 sin (ср + а) + е*-с*cos' х

So J I V п

<Р=<Ро

/ ^ С Sin (<р+а) 1

X [с2 sin2 (ф + а) + - g-J I 1 + — J е-'1 Dt | cos ф Dcp Dx,

О

Где S0 = Arctg {[(x -{- 0,5) -J - s0 cos a ]f(s0 sin a)}.

Заменив в выражении для Uydx значения с = V/VH, А и х соот­ветственно на —С, п — а, —У, получим выражение для Uxdy.

Таким образом, вероятность перехода молекул газа через рабочее колесо со стороны /—/ на сторону II—II при определенной относительной скорости = U/VH складывается из вероятности безударного прохода через канал и вероятности перехода молекул после соударений со стенками межлопаточного канала.

Вероятность перехода молекул со стороны I—I на сторону II—II для рабочего колеса с конечной длиной лопатки

Д f+0'5

М12 = Mi2 + (1----------- 2~) ( J т*2"ж dx +

V—0,5

+0,5 +0.5

+ J туфу Dy -F- -G- J M*X2 (Ux + Uy) dx,

—0,5 —0,5 J

Где A — коэффициент, учитывающий разность между числами столкновений мо­лекул, отраженных от корпуса насоса, и столкновений молекул с элементарными площадками поверхностей х и у межлопаточного канала в единицу времени; т*2 — вероятность того, что молекулы, попавшие после соударения с корпусом насоса на участок Dx и отраженные от него, перейдут на сторону повышенного давления II—II.

Коэффициент

St / с — csinipo

А = sin a J ( - L J е-'2 Dt + sin фее"12 c°sS Ъ -L J Dt Ids,

S=0 О 0 '

Где ыпф0= —S/(s2+ 1),/2; cos ф0 = 1/(5®+ 1),/2 (рис. 161). Вероятность

Г)*

X2

Mh =

Здесь

Dh = (—sin +D** = 4"(sin Ф2+1),

X 4- 0,5 4- S0 cos a Sin q>i = — 1

Ti Г/.. I n с I » „„о

[(* + 0,5 + So cos af + SQ sin2 a],/2 ' 1 — (x + 0,5 + S0 cos a) {[ 1 — (* + 0,5 + S0 cos a)]2 + SQ sin2 a}1/2 '

А = 20°, D^ 1,4

Ki 0,3982 0,5027 0,5877 0,6550 0,7061 0,7451 0,7754 0,7994 0,8189

/Сц 0,0333 0,0470 0,0603 0,0727 0,0889 0,1208 0,1676 0,2202 0,2722

Ктах 0,3650 0,4557 0,5274 0,5823 0,6172 0,6243 0,6077 0,5792 0,5467

Тгаах 11,96 10,69 9,750 9,013 7,945 6,167 4,625 3,630 3,008

Вероятность М21 перехода молекул через межлопаточный канал рабочего колеса на сторону пониженного давления опре­деляется по уравнению для определения М12 при изменении знака относительной скорости на обратный.

Коэффициент, характеризующий максимальную быстроту от­качки рабочего колеса при т = 1 (максимальный скоростной фак­тор),

ЕР1=Рг = Л*Is - М21; Kmax = К,- Ки, (7.9)

А максимальное отношение давлений при 6=0

Значения результирующей вероятности Ктах перехода моле­кул газа через межлопаточные каналы, имеющие различные гео­метрические параметры а и Alb при различных отношениях ско­ростей движения канала к наиболее вероятному значению тепло­вой скорости, а также максимального отношения давлений ттах, определенные по уравнениям (7.9), (7.10), приведены в табл. 7.1 [6].