ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В СТРОИТЕЛЬСТВЕ

ОСТЫВАНИЕ И НАГРЕВАНИЕ. ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД ВЫЧИСЛЕ­НИЯ ПРОФ. Э. ШМИДТА (МЮНХЕН)[45]

1. Выше было выведено общее уравнение Фурье:

<Х1>

Если представим это уравнение в виде уравнения конечных при­ращений, то получим:

причем значки под знаками Д показывают, под влиянием какого фак­тора происходят приращения. Этих факторов два: время т и место наблюдаемой точки на оси абсцисс х. Обозначим через tn, темпера­туру в пункте тела, отстоящем от начала координат на п элементов

длины Дл;, и в момент времени, отстоящий от начала наблюдения на k

элементов времени Дт, причем те и другие элементы, т. е. Дл: и Дт суть малые, но конечные величины. Тогда можем по существу обозна­чений написать для отдельных величии ДЛ н Дxt приведенного выше уравнения:

^-t = tn, К-j - 1 t, it к,

== tn +1, К t», к -

Величину Д[46]xt того же уравнения получим, если последнее получен­ное выражение сопоставим с тем, что было бы на его месте в пред­шествующий момент, и найдем их разность. В предшествующий момент здесь было бы, очевидно, tn 7.— tn_lifc; вычтя это из полученного, имеем:

Д®* = tn+1, Jc + tn—1, J. — 2 t„lc.

Вставив найденные выражения для AJ и Д%t в уравнение (XI), по­лучим:

tn, k\ t„j. = а • j£qs(fn +1,7; “Ь Ai-l. fc 2/;ifc). (XII)

Это равенство показывает, что если нам известны температуры *п+ик.*п. к,*п-ик тРех соседних точек п и п—1 для некоторого

момента времени k (отстоящего от начала наблюдении на k элементов времени), то мы можем весьма простыми действиями вычислить тем­пературу средней точки в следующий (через Дт) момент времени, т. е. температуру ^1>л+

И если первоначальное распределение температур дано нам для всех точек тела (что обычно и бывает при заданиях), то по такой кривой температур мы можем построить кривую для следующего мо­мента.

Прежде чем рассматривать этот способ в более конкретном виде, остановимся на его графическом воспроизведении, данном тем же автором.

Пусть на рис. 40 линия я— 2, п—1, я, и+1, я + 2 дает нам рас­пределение температур в слоях Длг тела для момента к (отстоящего от начала на к • Дт часов); таким образом ординаты *и-2,*Л-1,* 11 т - л - представляют ве­личины температур в соответствующих точках. Соединим прямой точки п — 1 и я-f-І; эта прямая пересекает орди­нату t„ h в точке п' причем по эле­ментарным геометрическим соображе­ниям получаем:

ИЯ == тр (4l-l-I, /с 4“ -1, fc 2 /„_;;)[47].

Сопоставляя это с последним выведенным выше равенством, видим, что величина пп', при умножении ее на постоянное (при заданной

Дт

величине Дт и Длг) количество ;• 2, дает нам действительно при-

vl-V)-

ращение (положительное или отрицательное) температуры в данном пункте. Поступая так со всеми точками данного сечения тела, мы, очевидно, построим новую кривую температур весьма простым обра­зом [см. линию (п — 1)', я', (я 4-1)' на нашем рисунке], а умножив

приращения ординат на 2а • - гг—^, будем иметь приращения температур

и следовательно самые температуры.

2. При практическом пользовании этим приемом мы получим еще большее упрощение, если подберем величины Длг и Дт так, чтобы

Ах 1 .

что іісегда возможно и не ограничивает общности метода. В таком случае отрезки,'^подобные пн', дадут нам непосредственно величины температурных приращений, а формула (XII) примет вид:

^п, к +1 Тр (?п+ 1,к 1 ^п — 1,к)г

т, е. температура в наблюдаемой точке по прошествии Дт часов равна полусумме температур в соседних двух точках (слева и справа) в пред­шествующий момент времени.

До сих пор мы говорили о внутренних температурах тела (огражде­ния). Но современная теория дает весьма простой подход и к опреде­лению температур поверхности ограждения в связи с кривой внутрен­них температур и с температурой прилегающей к ограждению среды (воздуха).

В аналитическом расчете для этих взаимо­отношений служит, как известно, уравнение (V). Написав его в виде:

t— Т„

dt

(t — Ти) ■

получаем, что тангенс угла наклона касательной к температурной кривой в точке пересечения последней с поверхностью ограждения равен частному от деления разности температур ука­занной поверхности н’ прилегающей среды (воздуха) на величину —.

Отсюда следует весьма простой способ геометрического построения этой касательной.

Пусть на рис. 41 А А есть поверхность ограждения, с которой пе­ресекается кривая его внутренних температур в точке п, причем ор­дината пА пусть означает температуру t поверхности. Отложим от оси абсцисс А

вверх температуру Т, проведя соответ­ствующую горизонтальную прямую, а от поверхности АА отложим влево расстоя-

нче и проведем здесь вертикальную,

параллельную указанной поверхности.

Пересечение двух проведенных прямых в точке У? и дает нам ту точку, от ко­торой прямая к точке п изображает нам вышеуказанную касательную к кривой внутренних температур в точке поверх­ности ограждения[48].

Это обстоятельство весьма облегчает нам завершение вышеуказанного метода
проф. Шмидта для графического построения последонлю. чьнич во времени кривых, равно как и аналитического расчета темпе­ратурных превращений. Действительно, пусть нам дана кривая О, /, 2, 3 внутренних температур в слоях некоторого ограждения (рис. 42) и требуется построить кривую для следующего момента времени. Первая слева точка, какую мы можем построить для этой кривой, есть 2', которую получаем при соединении точек 1 и 3 прямою, в пересе­чении последней с ординатой середины второго слоя. Далее вправо, если бы ограждение имело большое число слоев, мы могли бы про­должать это построение беспрепятственно; но для нахождения течек около поверхности, как точки 1’ и О', мы не можем применить указан­ного построения. Здесь нам и оказывает помощь вышеприведенное построение кзеательной.

Действительно, построим для данного случая уже известным нам способом точку R и соединим ее прямой с точкой О. Проведем влево

Д V

от поверхности ординату на расстоянии — от нее (как середину во­ображаемого слева слоя ограждения); пересечение этой ординаты с RO, т. е. точка а, явится для нас вспомогательной точкой для завершения всего построения.

Соединим ее с точкой 2 первоначальной кривой; тогда в пересече­нии этой прямой а2 с ординатой середины первого слоя получим точку /' искомой кривой, а соединив последнюю с R прямою 1 R, получим в пересечении последней с поверхностью ограждения точку О' — как последнюю для искомой кривой.

Легко убедиться, что указанное построение в предположении во­ображаемого добавочного слоя действительно обеспечивает основное требование—касательность всех приведенных из R лучей к получае­мым новым кривым температур.

Если бы во время процесса остывания или нагревания изменились величины Тн или о:, то пришлось бы только перенести точку R в новый пункт соответствующим построением и продолжать построение даль­нейших кривых тем же порядком. Это последнее обстоятельство также является большим преимуществом данного метода, ибо аналитический учет влияния указанных перемен величины Тя или а крайне сложен (он возможен был ранее лишь по методу Фурье).

3. Прежде чем останавливаться на других возможностях, даваемых излагаемым методом, приведем практический пример расчета. Возьмем пример, на котором мы демонстрировали метод Фурье: остывание в воздухе с температурой 0й бетонной плиты толщиною 0,4 м с тем­пературой 20° при физических характеристиках:

>.= 1,0, с = 0,25, -< = 2 000, а = 5, а =0,002.

C'j

Предполагая начало координат в середине остывающей стены (рис. 43)’, имеем е~ (см. обозначения главы 1) = 0,2 м, Т == 20° при тп = 0. Взяв абсциссу RO° и отложив от нее вверх заданную темпе­ратуру плиты 20°, найдем на абсциссе точку R путем отложения от поверхности стены влено расстояния = 0,2 м.

Задаемся далее произвольно толщиной слоя Длг, которую примем равной 0,05 м; таким образом имеем от поверхности стены до ее се­редины 4 слоя. Температуры поверхности стены и в серединах слоев будем обозначать соответственно /0, tv t2 и т. д.

Промежуток времени Дт для определения последующих кривых по­нижения температуры (начальная линия температур, изображается, оче­видно, верхней горизонтальной прямой чертежа) должен быть взят уже не произвольно, чтобы не усложнять дела, а по уравнению:

TOC o "1-5" h z л (А*У - 5

Дт = -^Г = Т часа.

После этого приступаем к построению кривых для периодов вре - 5 5 15

мени —, - г-, - с- и т. д. до 5 час. от начала наблюдений. После этого,

о 4 о

чтобы ускорить дело, слои взяты уже двойной толщины. Вместе с тем, как это видно из предыдущей формулы, промежутки времени соответ­ственно учетверяются; они будут следовательно после 5 час.: 7,5; 10;

12,5 и т. д. до 20 час. После этого еще раз удваиваем толщину слоев, и тогда соответствующие промежутки времени будут 30, 40 н 50 час. Но при указанных удвоениях надо новое построение сделать сначала для той же кривой, для которой было сделано построение при более тонких слоях, и уже из вновь нанесенной вторичной линии исходить при построении следующих кривых для увеличенных слоев[49].

Все построение подробно указано на рис. 43.

Параллельный этому аналитический подсчет исходит из предвари­тельного определения „вспомогательной“ температуры в воображаемом пункте а. Нетрудно видеть (из подобия соответствующих треуголь­ников), что

X .'.v

X Длг

Т~ Т

*e = V

В свою очередь t0 определяется через температуру t{ средины первого слоя по формуле (также из подобия треугольников):

_Х_

/ — t “

to — h - х д v •

а + 2

После этих предварительных замечаний самый подсчет располагается гак, как показано в прилагаемой таблице.

Так как в начале процесса все температуры стены равны 20°, то для первой строки (начальный момент при т — 0) имеем везде 20° за исключением вспомогательной температуры ta, которая определяется по приведенной выше формуле (при t0= 20’). Во второй строке (для момента через с/8 часа) все температуры составляем из вышележащих по вышеприведенному правилу полусуммза исключением t0, которая определяется но последней из выведенных выше формул (при опреде­ленном уже /,).

Если вычислить температуры тех же пунктов данной стены по ме­тоду Фурье, то при точности, достигаемой нахождением пяти членов ряда, получим следующие величины для некоторых пунктов стены:

Укажем ее построение, удовлетворяющее только что приведенному условию.

На горизонтали через точку 4 откладываем от АА вправо величину

Дд?9 Лі л „ о

• ~ до точки С; соединяя последнюю с точкой о, получим в пере­чь А-2

сечении с АА искомую точку О.

При построении по этой кривой таковой же для следующего мо­мента не встретится затруднений для таких точек, как 2 или 5, имею­щих нормальные соседние точки по обе стороны. Но для таких точек, как 3 или 4, нужны вспомогательные приемы. Так, для отыска­ния помещения точки 3 мы должны продолжить вправо прямую 3 — О и отложить равную ей на этом продолжении до точки Ь соединив последнюю с точкой 2, получим искомую точку 3'. Таким же приемом строится точка 4' и точка О'.

5. Метод проф. Шмидта весьма прост и остроумен. Его практи­ческое применение для решения некоторых конкретных вопросов строительной теплотехники будет демонстрировано в главе 4.

Но следует отметить тот важный недостаток метода, что он до­пускает лишь сплошной расчет температур ограждения с самого на­чала за все последовательные промежутки времени, притом принуди­тельно вытекающие из выбранной толщины слоев. Если даже нам нужны лишь температуры некоторых пунктов и в некоторые моменты, мы вынуждены считать или строить все сначала, подобно тому, как неумелые танцоры танцуют лишь от печки. Это конечно неудобно; требуются более общие математические приемы в виде определенных функций для t no t и х.

Затем графический характер решения в неко­торых его частях (при сложных стенках) предста­вляет существенный дефект, весьма неудобный в практике.

Наконец не менее серьезным недостатком этого метода является то обстоятельство, что он неприменим к воздушным пустотам в стенке

^для них a — 0. так как а = 0^ , а следо­вательно и к пустотелым стенкам вообще.

Французские инженеры Nessi и Nisolle[51] не­сколько улучшили метод Шмидта. Сущность этого улучшения состоит в следующем. Пусть линия 1 —2 — 3 и т. д. на рис. 45 представляет темпера­турную кривую внутри тела за какой-либо заданный момент. Для по­строения кривой температур для следующего момента времени Шмидт

Д-t 1

вынужден полагать, что — — > чему соответствует определенный

, (Дл)[52]

интервал времени Дт = 9-' •, и тогда получает для середины среднего

слоя величину падения температуры в виде отрезка 2 — 2', как выяснено выше.

Французские авторы берут в более общем виде: ^ , где k—

произвольная величина, которую по практическим удобствам следует выбирать в пределах 0,25—1,0. Отложив от средины рассматривае­мого слоя в обе стороны по I = k&x и проведя вертикали, они по­лучают падение в виде отрезка 2— 2" для промежутка времени Лт =

— более короткого, чем у Шмидта, и с большей свободой

выбора.

Преимущество этого приема особенно сказывается при стенках составных. В приведенном выше графическом построении темпера­турных кривых для этого случая (рис. 44) французские авторы не определяют температурного падения ОО'. Они делают все построение

X

не с абсциссой х, а с новой абсциссой? —-г-. Тогда они получают:

Л.

Так как Лт должно быть постоянной величиной, то для каждого слоя стенки величина k (Д£)2 должна быть взята обратно пропорцио­нальной величине кск. Таким образом введением произвольного фак­тора k достигается та выгода, что каждый строительный' слой стенки будет разбит на целое число равных слоев, тогда как у Шмидта этого не достигалось.

Несмотря на эти улучшения, сохраняются те общие недостатки метода Шмидта, которые указаны выше.