ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В СТРОИТЕЛЬСТВЕ

ОСТЫВАНИЕ И НАГРЕВАНИЕ. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ И МЕТОД ФУРЬЕ

1. Основное уравнение физики, приведенное в главе 1 части 1 под знаком (1), может быть выражено па языке высшей математики следующим образом:

dQ = — X/— d~. (I)

Здесь dQ есть количество теплоты, передаваемое в d~ часов через элемент площади стенки / к такому же другому сечению, находящемуся на расстоянии dx от первого*, причем разность температур в этих сечениях составляет dt градусов. Знак (—) стоит потому, что при положительном dQ (притоке теплоты в сторону первого сечения)

dt о

величина —, т. е. изменение температуры на единицу длины-, является

1 При переменном / более общий вид формулы будет (s вместо. дг):

*<?=->./ g*.

что при интегрировании для стационарного режима дает:

ti ~~І2 ~д/=тz /7 ’

ds

-у зависит исключительно от формы тела: для плоскойстенкн (/= const) £

он дает у и приводит к обычной элементарной формуле теплопередачи, для

цилиндрической СТЄІІКП — к формуле (7), для стенки шарового очертания

, , „ _ , 4л • s, ■ s„t

в силу / = 4«2 имеем Q = h - - х—=—.

s2—sl

2 Температурный градиент; графически это—тангенс угла наклона к оси

EF

абсцисс касательной к температурной кривой в данной точке — см. на

рис. 37. Уравнение касательной в этом случае имеет, очевидно, следующую форму: /= а + Ьх.

отрицательной (в первом сечении t ниже второго) и обратно. Такой процесс можно представить себе в любом пункте какого-либо тела или среды, имеющей любое тепловое состояние — устойчивое или неустойчивое во времени, всюду одинаковое или же различное в про­странстве среды; разница будет только в конкретных величинах, осо­бенно же в величинах выражения — (температурного градиента по

длине), которая например при установившемся движении теплоты является постоянной (часть I, глава 1, стр. 10), в среде со всюду одинаковой температурой она равна нулю, а в среде с температурой переменной во времени и для разных точек она не постоянна и не равна нулю. В этом последнем наиболее общем случае температура какой-либо точки среды t есть, очевидно, функция положения этой точки иа направлении теплового потока. V и времени т, т. е.

<=/(*. ~)-

Определим общее свойство этой функции независимо от тех или других конкретных заданий.

В общем случае заданий, когда ~ не равно нулю, мы имеем,

очевидно, тепловой поток; говоря еще в более общем виде, мы имеем

его всегда, но с размой интенсивностью, причем в случае — = 0 эта

интенсивность также равна нулю.

Возьмем на пути этого потока элементарный объем среды dx dy dz. Количество тепла, поступающего в этот объем вдоль оси л: через грань dy dz в элемент времени dz, равно по формуле (I):

dQx=~),dydz^xdz,

а количество тепла, выходящего через противоположную грань,

С другой стороны, это количество равно увеличению теплосодер­жания элемента при изменении его температуры в dz часа на dt, т. е. ()£

величине dx dy dz су dz. Приравнивая это предыдущему и сокра­щая, имеем:

шешпо к теплоте самої! стены) температуры; например стена остывает при такой-то наружной температуре и такой-то комнатной.

В то время как перечисленные конкретные задания могут быть весьма разнообразными и не могут быть наперед учтены в какой-либо общей форме, требование уравнения Фурье носит общий характер и потому заранее может дать некоторые общие указания о способах ре­шения разных заданий по тепловым расчетам. Действительно, мы те­перь же можем поставить себе вопрос следующим образом: какого рода математические функции вообще могут удовлетворять требова­ниям уравнения Фурье? Очевидно, они и будут подходящими для определения температурного поля.

Простейший вид эти функции принимают конечно при каком-либо частном значении т, т. е. для распределения температур в теле в какой - либо определенный момент времени. С такого частного вида искомых функцій!, т. е. /(лг), мы и будем начинать с тем, чтобы затем восходить к более полному их виду /(.V, т).

Для этого обратим внимание на те виды, какие может принимать диаграмма распределения температур в теле при остывании или нагре­вании. В общем случае это, очевидно, есть некоторая кривая: так для стены, остывающей с поверхности, это будет восходящая от этой по­верхности кривая (рис. 43). Какие имеются типы уравнения для этой кривой, которые могут быть развиты затем в функции от двух пере­менных х и т, удовлетворяющие закону Фурье?

Возьмем сначала уравнение температурной линии при установив­шемся движении: t — С-- Dx. Оно выражает некоторое реальное рас­пределение температур в стене в определенный момент времени (т) и в этом смысле представляет интерес как частный случай искомой об­щей закономерности. Но может ли оно быть развернуто в f(x, т)?. Взяв вторую производную его по х (согласно закону Фурье), имеем пуль. Если бы мы развернули функцию введением в нее члена с т, то пер­вая производная этой развернутой функции по т должна также рав­няться нудю. Но легко видеть, что такое развитие функции затрудни­тельно; единственная форма ее, удовлетворяющая указанному условию, есть t — C--Dx^~0-т, т. е. все та же взятая нами функция, кото­рая формально все же удовлетворяет требованию -^—=0. Таким об­разом формально она может быть взята в число функций t — f(x, x), удовлетворяющих закону Фурье.

Другой тип функций, подходящий для восходящей кривой темпе­ратур, имеем в функциях sin х и cos х или в более общем виде sin(m. v) и cos (тх), которые дают при некоторых значениях т различные плав­ные кривые восходящего типа. Возьмем одну из таких функций для t:

t = A-cos (nix),

и попробуем развить ее вышеуказанным способом в /(х, х). Берем первую и затем вторую производную ее по л::

-4^ = — Am sin (тх);

= — Ли2 cos (тх) ----- — тЧ.

I

і

Чтобы удовлетворять закону, Фурье, эта производная, умноженная на коэфициент пропорциональности — должна быть равна т. е.

о, dt — а • тЧ — - з - .

СП

Из этого уравнения можем вывести ту функцию от т, которую мы должны ввести добавочно в рассматриваемый тип выражения для t.

Именно из этого уравнения видим, что ~ должно быть равно—а •

• т2 • d~, т. е.

-у - = — am2 dz,

или, интегрируя,

In t == — am2 х - f - С.

Постоянное интегрирование С можно всегда представить в виде логарифма некоторого постоянного числа М; поэтому имеем:

In t — — anfiz -]- In M;

In t — In ЛІ — — «m5T,

In = — am2z.

M

или где e—основание натуральных логарифмов.

Так как взятая выше функция t — A cos (тх) должна представлять собой лишь частное значение искомой полной функции прит = 0, то, приняв в найденной форме функции это значение для z и приравнивая результат к A cos (тх), получаем:

t == Me0 = М—А cos (тх).

Внеся это выражение для М в найденную форму искомой функции, получаем наконец ее развитой вид:

t — A cos (тх) е-атЧ.

Так мы получили для t функцию от х и т, удовлетворяющую за­кону Фурье и дающую нам, судя по начальному моменту (при z = 0), подходящую кривую температур. Совершенно аналогичным образом получим и другую функцию:

t — В sin (тх) е~атН.

Эта функция, как и предыдущая, удовлетворяет закону Фурье при произвольных значениях т. Поэтому каждая из них представляет в сущ­ности ряд функций; например первая распадается на следующие:

А і cos (mt. v) е~атЬ, А2 cos (m2 х) e~amlz

и т. д. Но если каждая из этих отдельных функций удовлетворяет за­кону Фурье, то и сумма их будет обладать тем же свойством (что по­
нятно из самого способа получения производных). Поэтому для охвата всех возможных случаев в определении температурного поля заменим каждую из двух тригонометрических функций суммами, т. е. положим:

Коли к этим решениям вопроса о типе функций [43] присоединить пер­вое наше решение, т. е. t — C--Dx, то мы имеем таким образом три типа функций, дающих для начального момента времени подходящие кривые внутренних температур, а в последующем — удовлетворяющие закону Фурье. По соображениям, уже упомянутым выше, мы можем совместить все эти три типа функций в одну путем их сложения. Та­ким образом имеем окончательно:

t = С-}- Dx - j - Am cos (mx) - j - Bm sin (rnx) (IV)

Это и есть одна из форм решения вопроса на основах метода Фурье, каковой мы будем пользоваться ниже в практических примерах. Это уравнение носит пока еще очень общую форму ввиду неопреде­ленности величин Ат, Вт, С, D и т. При наличии более конкретных заданий эти величины примут определенные значения, вместе с тем из­менится и вид уравнения.

3. В числе таких конкретных заданий, как выше упомянуто, обычно фигурирует определенное температурное воздействие среды па поверх­ность остывающего или нагревающегося тела, например воздействие воздуха определенной температуры на стену постройки. Нам уже зна­ком этот процесс из части I, главы 1 в связи с рассмотренными там коэфициентами ав и сщ Количество теплоты, переходящее при этом от поверхности стены к среде (или обратно) в 1 час и на 1 м-, выра­жается формулой a(t—Гн), где і—температура поверхности, а Т — температура воздуха; с другой стороны, количество теплоты, притекаю­щей на поверхность стены из ее внутренней массы, составляет по

д t 2

уравнению (I) части II при d? = 1 и / = 1 величину X - - при. V бес­конечно близком к пулю; поэтому имеем вообще:

(V)

После этих предварительных замечаний перейдем к вопросу о при­менении метода Фурье к вычислениям процессов остывания и нагрева­
ния строительных конструкций, например стены толщиной е м. Послед­нюю будем предполагать однородной по материалу и имеющей перед началом процесса, например остывания, всюду одинаковую температуру Т. Остывание пусть будет происходить под влиянием воздуха с темпера­турой 0° ПО обе стороны стены!.

Только что приведенное выше общее уравнение (V) дает нам для двух поверхностей остывающей стены:

(VI)

(VII)

Принимая а = ап, как для всех теоретически общих случаев, най­дем выражения для • - и для Т уравнения (VI). Взяв производ-

vxx=o

дТ

ную от функции (IV), имеем:

—■ — D — m Am sin (mx) e-nm’~ - j - m ■ Bm cos (mx) e~mu'z.

При x = 0 это дает:

дТ = D + м Bm е~а»*. (VIII)

длг=о

В то же время при х — 0 по уравнению (IV)

Га=0=С+ЛтЄ-—ч Подставляя эти величины в уравнение (VI), получим: ;

D + ш Вш е-™"- * у (С + А. ш = у • С + £ • Ame-™ j

Так как это уравнение должно иметь место при всяких величинах m то неизбежно в нем должно быть:

D = fC (IX)

тВш ^ Ат

или

тп Вш А1П,

1 Заметим здесь кстати, что так как для процесса остывания имеют значение лишь относительные температуры воздуха н стены, то. мы всегда можем поло­жить первую равной 0°, придав второй соответствующее значение. Так это и предположено в дальнейшем.

2 Обратный знак необходимо ставить здесь потому, что процесс на другой стороне имеет направление, обратное предыдущему и dt там отрицательно.

7 Зак. 75fi. В. Д. МаТЯНвлай.

Для уравнения (VII) имеем: дТ

Dm Лш sin (тх) е~апЛ + т Вт cos (тх) е~атЧ

Ох„

Тх=0 — С-~ D • е-- Am cos (mx) -- Вт sin (тх) е-™*.

Вставляя все это в уравнение (VII), получим подобно предыду­щему:

D = - y(C--De) (X)

— шАт sin (тх) - f - тВт cos (тх) — — у - [Ат cos (тх) - j - Вт sin (тх)].

Разделив обе части последнего уравнения на cos(тх) и вставив нз

А X

предыдущего вывода вместо величину т • —, получим для опреде-

а

ления т уравнение:

, , ч т ■ 2аХ

Это уравнение (с одним неизвестным) разрешимо проще всего гра­фическим путем. Пусть нам дана бетонная стена толщиною е = 0,4 м, нагретая до Т = 20° и остывающая при температуре воздуха с обеих сторон в 0°; возьмем для бетона Х=1,0 и а = 5 при весе 1 л8

у = 2 ООО кг и теплоемкости с — 0,25 ккал. Тогда а = — = 0,002.

Уравнение для m примет вид:

tg 0,4 in ■■

Чтобы определить m, возьмем произвольную ось координат (рис. 38) и построим по точкам н выбранном масштабе две кривые: одну по

уравнению ^ = tg0,4.v (4 ветви) и другую по уравнению у —

(2 ветви).

Обе кривые представлены на рисунке; абсциссы точек нх пересе­чений и дают нам, очевидно, величины т в выбранном масштабе. Они суть: 4,3; 9,8; 17; 24,6.

Коэфицненты С и D получим путем решения относительно их урав­нений (IX) и (X). Очевидно, из последних имеем С— 0 и D — 0. Коэ-

фпциенты Ат, как выведено, равны Вт ■ т -

Таким образом наше основное уравнение получает' для данных конкретных заданий следующий еид:

Г— В1 [0,86 cos 4,3л; - f - sin 4,3л;] е-°.037* _[_

-ф-Во [1,96 cos 9,8л;-]-sin 9,8л;] е-о, ів2т_ф и т. д.

Для определения коэфициеитов В обратим внимание на то обстоя­тельство, что при т = 0 будет Тх=о—20° и Тх=е~ 20°; поэтому имеем:

20 = В, • 0,86 -!-В2- 1,96-ф - —,

20 = Bt [0,86 cos 1,72 -|- sin 1,72] - f - B2 [1,96 cos 3,92 -{- sin 3,92] - ф-...

Так как выбор коэфициеитов В является по смыслу всех этих уравнений произвольным, лишь бы они удовлетворяли этим уравнениям, то полагаем Bs — 0, Bi~ 0 и т. д. Тогда получаем два уравнения с двумя искомыми коэфициеитами Bj и В2, которые и определяем из них.

4. Очевидно, введя дальнейшие добавочные условия для начального состояния температур, например то условие, что при т = 0 величина Т = 0,5е = 20, можем получить вместо двух уравнений три, четыре и т. д. с соответствующим числом искомых коэфициеитов, каковые и определим из них; это даст нам лишь дальнейшие уточнения тех при­ближенных величин, какие можем иметь из последнего полученного уравнения для Т.

Однако надо заметить, что сколько-нибудь достаточная точность получается лишь при вычислении не менее пяти коэфициеитов. Из этого видно, насколько длительны и хлопотливы подобные решения тепловых вопросов даже в их простейшей постановке.

Правда, в данном случае вид уравнений может быть несколько упрощен, если мы возьмем начало координат не на внешней поверх­ности стены, а в ее середине. Тогда основное уравнение примет вид:

Т — С ф - Am cos (тх) е~тпЧ,

что проще предыдущего случая.

Для определения ш получим:

tg (т • 0,5е) = ^;

при принятых конкретных числовых значениях это дает нам:

ctg (0,2/л) = 0,2 т.

Построив кривую _y = ctg0,2x и наклонную прямую у=0,2х (рис. 39), па Идем величины т и заканчиваем расчет аналогично пре­дыдущему[44].

Однако первая рассмотренная нами форма расчета является более общей и обычной, применяемой и в тех случаях, когда с обеих сто­рон стены на нее действуют разные температуры. Она выглядит такою, как мы ее представили здесь, только для однородной остывающей или нагревающейся строительной массы. При составе ее из нескольких слоев дело еще необычайно усложняется и уже не применяется при этих условиях даже в теоретических исследованиях, не говоря уже о прак­тических расчетах. Наконец было бы бесполезно упоминать о таких еще более сложных случаях, как неуста - новившнеся тепловые процессы в кон­струкциях с воздушными прослойками.

Таким образом метод Фурье при всех его теоретических достоинствах, как общность и доступность неогра­ниченного уточнения, практически мало применим в строительной тепло­технике с ее весьма разнообразными и сложными конструкциями ограждений.

Этим и объясняется то обстоятельство, что в последнее время появился ряд методов более простых, дающих достаточную для прак­тики точность и потому вполне применимых даже в рядовых расчетах самих строителей (главы 2, 3 и 5 этой части). При этом становится доступнымч расчет температур и в составных ограждениях; в позд­нейших видах этих приближенных вычислений (глава 5) наиболее важ­ные для практики величины теплового процесса весьма легко опре­деляются даже для ограждений весьма сложных, имеющих помимо разных твердых слоев также и воздушные прослойки.

Однако прежде чем перейти к изложению упрощенных методов,

. охарактеризуем вкратце весь ассортимент более строгих чисто матема­тических приемов.

5. Рассмотренное выше решение вопроса сводится к нахождению в общей форме функций, удовлетворяющих основному уравнению Фурье (ІІІ), следовательно к нахождению частных его интегралов, и затем к такому преобразованию (раскрытию) их отдельных терминов, чтобы уравнения удовлетворяли краевым условиям задачи—краевым в смысле времени и пространства.

Такие способы решения вопросов (подбор функций) мы будем называть чисто-математическим в отличие от физико-математических, которые сводятся к составлению диференциального уравнения для рассматриваемого физического процесса и к последующему его интегри­рованию.

В области чисто-математических решений вопроса об охлаждении и нагреве стенки имеется помимо функций синуса и косинуса, данных самим Фурье, еще ряд частных интегралом, которые более или менее легко приспособляются к различным краевым условиям; приведем эти функции:

t = A - J - Вх - j - Се - Р*еФ>, t — A--Bx-- Се-Ш?- cos (qx),

(I/ — х?

.* = A-fВх-—ре,

Уг

Их приспособление к конкретным условиям каждой задачи делается совершенно аналогично тому, что приведено выше для функции синуса или косинуса. Однако не все эти функции одинаково применимы и удобны в разных случаях заданий. В частности с их помощью сравни­тельно легко решаются следующие задачи:

а) Расчет температур внутри бесконечно толстой стенки для раз­ных моментов времени и разных сечений стенки, если при первона­чально заданной общей температуре ее одна из поверхностей сразу подвергнута постоянному действию иной температуры, остающейся затем постоянной.

б) Для той же задачи при конечной толщине стенки несложны некоторые приближенные и частичные решения, точное же гораздо более сложно; оно дано американцами Адамс и Виллиамсон (см. список лите­ратуры в конце книги), притом для разных форм тела.

Для практики наиболее удобной из приведенных выше функций, особенно для решения вопроса по п. „а“, бывает обычно интеграл оши­бок Гаусса, так как для этого интеграла (именно для всей функции, стоящей после С) имеется готовая кривая, построенная в функции

от —'^=т - (см. по списку литературы S с h а с к, стр. 38).

2 У яг

Чрезвычайно удобны также для практики при расчете охлаждения и нагрева однородных тел (плиты, бесконечного цилиндра и шара) кривые Гребера, построенные по критериям этих процессов, или ана­логичные американские графики.

0 критериях см. часть IV, главу 1, § 1 настоящей книги, где они трактуются для области конвекционной теплопередачи. Здесь нее заме­тим лишь, что критериями однозначного изменения температуры тела

яг ае

являются величины - j - и, где для цилиндра и шара величина тол­щины стенки должна быть заменена радиусом /? а. :

Рамки настоящем книги, ііосвяіденпоіі главным образом практиче­ским расчетам, не позволяют останавливаться на этом вопросе, тем более, что он весьма полно изложен в основных иностранных руко­водствах по теории теплопередачи, переведенных на русский язык (осо­бенно в книгах Гребера — см. список литературы).