Интегрирование системы уравнений (2.61), (2.64)
Используем следующий метод определения t(г): представим эту величину в виде произведения двух неизвестных пока величин V и W:
t(T) = V(T)-W(T) (2.65)
и подставим (2.65) в (2.64):
r^dV dW, . Р(т)
щ +тоу) + у =тоф) + —1'
dt dt С
Выберем функцию v = v(t) так, чтобы сумма в скобках обратилась в нуль:
W Г/ А
h mt, V = 0:
dt 0
решение этого уравнения даёт выражение для V в виде:
V = Схе^т (2.66)
где Cj - постоянная интегрирования.
Из (2.64) и (2.65) получаем дифференциальное уравнение для W:
dW 1 г, . Р(г)1
= — [пиит) + ——],
dt V С
решение, которого имеет вид
W=Hk Г е^ [t (г) + ^l]dt + С2 С J тпС
где С2 - новая постоянная интегрирования.
Принимая во внимание это выражение, а также (2.64) и (2.66), получаем
t{t) = e-m°T{D + mae^Fdt}, (2.67)
где D = C{C2, F = tc+
m0C
Неопределённый интеграл в (2.67) заменим определённым, взяв его в пределах от г0 до г.
При т = т0 последнее выражение примет вид
*0
t0 =e-m°r°[D + rn0jem°rFdT].
Интеграл в последнем выражении равен нулю, отсюда
D = ґ0е~щч.
Подставив значение D в (2.67), получим
t(r) = t, e-ma{T-To) + т0е~щт Jem°TFdT. (2.68)
ч
Далее применим к интегралу в правой части (2.68) формулу
интегрирования по частям
Т Т г
m0F{r)dr = j*F(r)ci?(efflor) = [F(r)effl“r]^ - ^еЩТF'{r)dT,
го То Та
после чего формула (2.68) примет вид
г
t = f0e“"«(r-r«) + е~ЩТ {Fev ~~ F0em°4 - Je^F’dr}, (2.69)
где FQ=tc0+-^-, F = tc + P
m0C m0C
Последнее выражение перепишем в несколько ином виде:
г
t-F = (t0 - F0)e'm°(r'ro) - e~v je^F'dr. (2.70)
Дальнейший анализ можно проводить, если задан вид функциональных зависимостей te =te(r) и р = р(т).
Здесь возможны различные сочетания, поэтому рассмотрим случаи, наиболее часто встречающиеся на практике.
