Теория и практика экструзии полимеров
МЕХАНИКА НЕСЖИМАЕМЫХ ИЕН ЫОТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ
Общее реологическое уравнение несжимаемых ньютоновских жидкостей можно записать как
т = рЛ, (1.28)
где Д — тензор скорости деформации — имеет компоненты, определяемые уравнением
э V,. OVj
которое выводится из (1.12) с учетом условия несжимаемости
(Vv)=0.
Коэффициент д в уравнении (1.28) не зависит от состояния сдвига.
Аналогичное уравнение
т=г|Д (1.30)
было постулировано для несжимаемых неньютоновских жидкостей. В (1.30) предполагается, что вязкость ц является функцией состояния сдвига как величина, характеризуемая или напряжением сдвига, или скоростью сдвига.
Вследствие того что г) является скаляром, она может быть функцией только скалярных инвариантов А (скалярных величин, составленных из компонент А, которые остаются неизменными при вращении координатных осей). Три скалярных инварианта тензора скорости деформации Л определяются уравнениями:
Л =ZA, y =2(v V);
|
(1.31) (1.32) (1.33) |
/2=ЕХ(А|У)2=(Д:Д);
/j = Х1Хе1>*д1/д2>дза =dctA. i J к
Для несжимаемых жидкостей первый инвариант исчезает. Следовательно, вязкость несжимаемых неныотоновских жидкостей «шисит только от второго и третьего инвариантов. И прямолинейном одномерном и двумерном течениях третий инвариант равен нулю; полагают, что он не очень важен и для других типов течений. Следовательно, вязкость ц является функцией только второго инварианта Л.
11ри разложении т в степенной ряд по Д Рейнер [21 показал, что наиболее общее реологическое уравнение для несжимаемых не - пьютоновских жидкостей имеет вид:
т = г|д +2*1с (Д: д)>
l ie По - ко^ффмииснг поперечной вязкости, являющийся скалярной функцией инвариантов /| и Л.
Степенной закон в общем виде можно записать так:
SHAPE * MERGEFORMAT
|
(1.34) |
|
П = По |
1ЛС По - вязкость при у = 1 с"
Скалярная величина (Д:Д) представлена ниже в прямоугольных, цилиндрических и сферических системах координат. Прямоугольные координаты (х, у, z)'
|
|
|
ГЭу Эх |
|
у Эу |
|
Эу |
2
|
,fef+ |
|
|
dz dx ./ |
|
Цилиндрические координаты (г, 0, z)
|
|
Гд_у,+^ dz dr |
|
Эу, |
|
+l^+3vj, г ЭО Эz |
Сферические координаты (г, 0, <р):
|
fd_vv Эг |
|
1^1 + ^. г ЭО г |
|
^(Л:Д)=2 |
|
_J_dv^+vv + v^O rsinO Э(р г г |
|
' rB(v0) |
1 >*• ГО - |
2 4_ |
sinO Э |
f1+ 1 нТ |
|
дг{ Г ; |
г ЭО |
Т |
г ЭО |
sinO 1 rsinO Эф] |
dvr д ■ + Гг
rsinO Эф Эг г
Для простого сдвига используют прямоугольные координаты, где единственной ненулевой компонентой скорости является у,, а единственной ненулевой производной от vx является Эух./Эу, так что выражение для (Д:Д) примет вид:
Эух
(Д:Д)=2
ду
и уравнение (1.34) запишется в виде:
|
я-1 |
( dvx
Л = По
= ЛоУ
Пример 1.2 (1).
Рассматриваемая здесь задача является такой же, как и в примере 1.1, за исключением того, что жидкость предполагается теперь неньютоновской, подчиняющейся степенному закону. Уравнения (1.16) и (1.17) для неньютоновского течения запишутся так:
|
эу^ Эг |
|
дР 1 Э |
|
= - тН гг) |
|
(1.35) (136) |
|
Эг гЭг |
|
A<L{r*L г Эг Эг |
где л определяется из (1.34).
|
Ду |
В цилиндрических координатах только v. является единственной ненулевой компонентой скорости, а так как ее производные по г и 0 равны нулю, то скалярный инвариант (Д:Д) примет вид:
l. ikiiM образом, r определяется выражением:
|
(1.37) |
i. ie приведенная скорость сдвига у выбирается равной 1 с1.
I i in ось zориентирована так, что давление возрастает с увеличением z, то жидкость будет течь в направлении отрицательных т. пений z, а скорость сдвига у положительна для всех значений / < лсдовательно, знак абсолютной величины в уравнении (1.37) мо+.ei быть опущен. Подставляя (1.36) в (1.35), получим уравнение
(1.38)
dZ
при интегрировании которого будем иметь:
1 dP С
|
(1.39) |
------ г--- !
|
дг |
2ro dz Г
Учитывая, что скорость сдвига на оси трубы должна быть равной пулю, получим, что постоянная интегрирования равна нулю. При интегрировании уравнения (1.39) получим:
|
1 dP |
Д Щ
(1.40)
|
П+ 1 |
2tio dz
л *
I до постоянная интегрирования С*определяется из условия
vz(^)~ 0 (1-41)
|
1 |
|
|
Но вычислении С2 уравнение (1.40) примет вид:
(1.42)
( корость на оси трубы г0, полученная подстановкой г = 0 в уравнение (1.42), определяется выражением:
|
dP |
я+|
|
(1.43) |
v0=-Rп
п + 1 По dz
i. ik что уравнение распределения скоростей может быть записано
и виде:
г
|
v0 |
|
v = |
(1.44)
|
33 |
l/Ui
|
Заметим, что в частном случае, при п = I, формула (1.44) переходит в выражение для ньютоновскою течения, рассмотренного в примере 1.1. Чтобы получить распределение температуры, подставим выражения (1.37) и (1.39) в уравнение (1.36). После однократного интегрирования, имеем: |
|
. д*1 |
|
А |
|
ЭГ дг |
|
1 ЬР 2по dz |
|
2п+1 |
|
ПО п к З/i+l |
|
(1.45) |
|
где постоянная Сз должна быть принята равной нулю, так как градиент температуры на оси трубы равен нулю. При интегрировании уравнения (1.45) получим: |
|
.л±1 |
|
1 <)Р 2по dz |
|
/’ =-Hi к |
|
г " +С4. |
|
(1.46) |
|
3/»+1 |
|
Константа интегрирования С4 вычисляется из условия 7R) =TW, где Tw - температура стенки грубы. Следовательно, |
|
. a±i |
|
2a±L |
|
. 7. по Г п ] w Л' [ 3/1 +-1 |
|
дР |
|
R |
|
1- |
|
(1.47) |
|
2 По dz |
|
Разность температур жидкости на оси трубы и на стенке, полученная подстановкой г - 0 в указанное выше уравнение, равна: |
|
Oil |
|
1 Э р V 2По dz } |
|
= ПоГ _п_ " к {3/» + |
|
?ntl |
|
Тп-П |
|
R |
|
(1.48) |
|
так что уравнение (1.47) можно записать в эквивалентной форме: Зя+1 |
|
r0-rw |
